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概率论与数理统计及其应用习题解答 1 第1章随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4）抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：（1）7,6,5,4,32=S；（2）,4,32=S；（3）, THTHTHS=；（4） 6,5,4,3,2,1, TTTHTS=。2，设BA,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)( = ABPBPAP，求 )(),(),(),( _ABBAPABPBAPBAP 。解：625.0)()()()( =+= ABPBPAPBAP，375.0)()()()( = ABPBPBASPBAP， 875.0)(1)(_=ABPABP，5.0)(625.0)()()()( _ = ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在10，10，9这90个3位数中，任取一个3位数，求 不包含数字1个概率。 概率论与数理统计及其应用习题解答 2 解：在10，10，9这90个3位数中不包含数字1的3位数的个数为64898=，所以所求得概率为72.0900648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于30的概率。解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全 体三位数的个数有1045=个。（1）该数是奇数的可能个数为4834=个，所以出现奇数的概率为48.010048=（2）该数大于30的可能个数为 48454542 =+，所以该数大于30的概率为48.010048= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。（2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。解:（1）所求概率为33841213125 =C； 概率论与数理统计及其应用习题解答 3 （2）所求概率为1656749520141241832824 =+CCC；（3）所求概率为1657495354 1247 =C。6，一公司向M个销售点分发)(Mn张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一 特定的销售点得到)(nk张提货单的概率。解：根据题意，)(Mn XPXPXPXPXP 0611.0)0()1( = XPXP4，设有一由n个元件组成的系统，记为/Gnk，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k )0( nkXP，求2XP。解：（1）0487.09513.0115115 = XPXP； 概率论与数理统计及其应用习题解答 14 （2）根据5.01010 = eXPXP，得到2ln=。所以1534.02/)2ln1(5.011012 = eXPXPXP。 7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数)2(tX（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(X。 （1）1353.00 2=eXP；（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则YB(5,0.135)，所以0145.)135.01(135.04 445 =CYP。 （3）每个人收到的讯息次数相同的概率为()= = 0 5100 52 !32!2 k kk k keke 8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为 =他其100)( 2 xkxxf，（1）确定k；（2）求31XP； （3）求2141XP；（4）求32XP。解：（1）根据3)(1 102 kdxkxdxxf = +，得到3=k； （2）27131331 33/102 =dxxXP；（3）647412132141 332/1 4/12 = dxxXP；（4）2719321332 313/22 =dxxXP。 9，设随机变量X的概率密度为 =他其1000003.0)( 2 xxxf，求t的方程04522 =+XXtt有实根的概率。 概率论与数理统计及其应用习题解答 15 解：方程04522 =+XXtt有实根表明0)45(442 = XX，即0452 +XX，从而要求4X或者1X。因为001.0003.01 1 0 2= dxxXP，936.0003.04 104 2= dxxXP所以方程有实根的概率为0.1+0.936=0.937.10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为 =他其00100)( 20/2 xexxf x（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。 解：（1）00498.011001 200/110 200/2 = + edxexXP x；（3）25158.010010020262026 200/276 20200/26 200/22 = + + edxex dxexXPXXP xx。 1，设实验室的温度X（以C计）为随机变量，其概率密度为 =他其210)4(91)( 2 xxxf （1）某种化学反应在温度X1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。（3）求2=YP，2XP。 解：（1） =21 2 275)4(911 dxxXP；（2）根据题意)275,10(BY，所以其分布律为 概率论与数理统计及其应用习题解答 16 10,2,10,2722275)( 1010 = kCkYP kkk（3）2998.02722275)2( 82210 =CYP，578.0)1()0(1)2( = YPYPYP 。12，（1）设随机变量Y的概率密度为 YYP。（2）设随机变量X的概率密度为 =他其422008/8/1)( xxxxf求分布函数)(xF，并求31xP，3|1 XXP。 解：（1）根据24.0)2.0(2.0)(1 1001 CdyCydydyyf +=+= +，得到2.1=C。 11001 1)2.12.0(2.0 )2.12.0(2.0 2.00)()( 01 1001 01 += yyyydyydydyydydydyyfyF yyy 11001112.02.06.0 )1(2.002 FYPYPYYP （2）442200881881810)()( 2 0 42 20 20 += xxxxdxxdxdxxdxdxdxxfxF xx 442200116/8/02 =+他其，0,00),( )42( yxCeyxf yx试确定常数C，并求2XP，YXP，1yx dxdyyxf，可得8),(1 04020 )42(00,0 CdyedxeCdyCedxdxdyyxf yxyxyx = +，所以8=C。 404220 )42(22 8),(2 + = edyedxedyedxdxdyyxfXP yxyxx；32)1(2428),( 0 4204020 )42(0 = + + dxeedyedxedyedxdxdyyxfYXP xxx yxx yxyx 2210410210 )42(101 )1(8),(1 + =+ edyedxedyedxdxdyyxfYXP xyxx yxyx。 16，设随机变量（X，Y）在由曲线1,2/, 22 = xxyxy所围成的区域G均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),( yfxf YX。 解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(61),(),(1 2 2/10 yxfdyyxfdxdxdyyxf xxG = ，得到 =他其，0),(,6),( Gyxyxf。 概率论与数理统计及其应用习题解答 19 （2） = +他其，,0 1036),()( 22/22 xxdydyyxfxf xxX； = =+他其，0,002),( )1(3 yxexyxf yx， （1）求),(YX关于X的边缘概率密度)(xfX；（2）求条件概率密度)|(| xyfXY，写出当5.0=x时的条件概率密度；（3）求条件概率5.0|1 =XYP。 解：（1） = + +其他,0 0,22),()( 0 2)1(3 xexdyexdyyxfxf xyxX。（2）当0x时， = 其他,0 0,)(),()|(| yxexfyxfxyf xyXXY。特别地，当5.0=x时 = 其他,0 0,5.0)5.0|( 5.0| yexyf yXY。（3） 5.01 5.01| 5.0)5.0|(5.0|1 + = edyedyxyfXYP yXY。19，（1）在第14题中求在0=X的条件下Y的条件分布律；在1=Y的条件下X的条件分布律。 （2）在16题中求条件概率密度)|(| xyfXY，)|(| yxfYX，)5.0|(| xfYX。 概率论与数理统计及其应用习题解答 20 解：（1）根据公式0 0,0| = XPiYXiYP，得到在0=X的条件下Y的条件分布律为Y 0 1 20|=XYP 5/12 1/3 1/4类似地，在1=Y的条件下X的条件分布律为0 1 21|=YXP 4/17 10/7 3/17（2）因为 =他其，0),(,6),( Gyxyxf。 =他其，,0 1036)( 22/22 xxdyxf xxX； =他其，0 15.0)1(6 5.00)2(6)( yy yyyyfY。所以，当10x时， =其他,02/,2)(),()|( 222| xyxxxfyxfxyf XXY；当5.00y时， =其他,0 2,21)(),()|( | yxyyyyfyxfyxf YYX；当15.0y时， =其他,0 1,11)(),()|( | xyyyfyxfyxf YYX；当5.0=y时， =其他,0 15.0,5.11)|( | xyxfYX。 20，设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy =,2所围成的区域G均匀分布。（1）写出（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),( yfxf YX； （3）求条件概率密度)|(| xyfXY，并写出当5.0=x时的条件概率密度。 概率论与数理统计及其应用习题解答 21 解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1 210 yxfdyyxfdxdxdyyxf xxG = ，得到 =他其，0),(,3),( Gyxyxf。（2） = + 他其，,0 10)(33),()( 22 xxxdydyyxfxf xxX； = = +他其，他其，0 10)(30 103),()( 22 yyyydxdxyxfyf yyY。（3）当10x时， =其他,0,1)(),()|( 2 2| xyxxxxfyxfxyf XXY。特别地，当5.0=x时的条件概率密度为 =其他,0 2/4/1,124)5.0|(| yyfXY。21，设),(YX是二维随机变量，X的概率密度为 +=他其，,0 2062)( xxxfX且当)20( =xxX时Y的条件概率密度为 +=其他,0 10,2/11)|(| yxxyxyfXY，（1）求),(YX联合概率密度；（2）求),(YX关于Y的边缘概率密度； （3）求在yY=的条件下X的条件概率密度)|(| yxfYX。 概率论与数理统计及其应用习题解答 2 Y 解：（1）他其10,20031)|()(),( | += yxxyxyfxfyxf XYX；（2） +=+= + 其他0 10)1(3231),()( 20 yydxxydxyxfyfY；（3）当10y时， +=其他,0 20,)1(21)(),()|( | xyxyyfyxfyxf YYX。2，（1）设一离散型随机变量的分布律为Y -1 0 1 kp 2 1 2又设21,Y是两个相互独立的随机变量，且21,Y都与Y有相同的分布律。求21,Y的联合分布律。并求 21YYP=。（2）问在14题中YX,是否相互独立？解：（1）由相互独立性，可得 21,Y的联合分布律为, 2121 jYPiYPjYiYP =，1,0, =ji结果写成表格为 2/)1(101 2221212121 +=+=+= YYPYYPYYPYYP。（2）14题中，求 出边缘分布律为X 0 1 2 iXP= 0 0.1 0.8 0.6 0.241 0.4 0.2 0.14 0.382 0.2 0.6 0.3 0.38jYP=0.16 0.34 0.5 1 Y1 Y2 -1 0 1-1 4/2 2/)1( 4/20 2/)1( 2)1( 2/)1(1 4/2 2/)1( 4/2 概率论与数理统计及其应用习题解答 23 很显然，000,0 = YPXPYXP，所以YX,不是相互独立。23，设YX,是两个相互独立的随机变量，)1,0(UX，Y的概率密度为 。解：根据题意，X的概率密度为 =其他0 101)( xxfX所以根据独立定，YX,的联合概率密度为其他2/10,1008)()(),( yyx dxdxdxyyxfYXP24，设随机变量X具有分布律X-2-1 01 3 kp 1/51/61/51/51/30求12+=XY的分布律。解：根据定义立刻得到分布律为Y1 25 10 kp1/57/301/51/3025，设随机变量)1,0(NX，求XU=的概率密度。 解：设UX,的概率密度分别为)(),( ufxf UX，U的分布函数为)(uFU。则当0u时，0)( = uXPuUPuFU，0)(=ufU；当0u时，1)(2)( = uuXuPuXPuUPuF U， 概率论与数理统计及其应用习题解答 24 2/ 22)(2)()( uXUU eufuFuf = 。所以，0002)( 2/ 2 = uueuf uU 。 26，（1）设随机变量X的概率密度为=其他00)( xexf x 求XY=的概率密度。（2）设随机变量)1,(UX，求2/)1(+=XY的概率密度。（3）设随机变量)1,0(NX，求 2XY=的概率密度。解：设YX,的概率密度分别为)(),( yfxf YX，分布函数分别为)(),( yFxFYX。则 （1）当0y时，0)( = yXPyYPyFY，0)(=yfY；当0y时，)()( 22 yFyXPyXPyYPyF XY =， 22)(2)()( 2 yXYY yeyyfyFyf =。所以，0002)( 2 =yyyeyf yY。 （2）此时 =其他0 112/1)( xxfX。因为)12(122/)1()( =+= yFyXPyXPyYPyF XY， 故， 121,1)12(2)()( = yyfyFyf XYY，所以，其他1001)( = yeyyf y Y 。27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为 +=其他0 208/)13()( xxxf求圆面积A的概率密度。解：圆面积2XA=，设其概率密度和分布函数分别为)(),( yGyg。则)/(/)( 2 yFyXPyXPyG X=，故 2/0,1638321)/(21)()( +=+= yyyyyyfyyGyg 所以， z时，)( 222 zYXPzZPzFZ += 2222 222 0 220 121),( zz rzyx erdreddxdyyxf + = ， 概率论与数理统计及其应用习题解答 26 故， 其他00)()( )2/(2 22 = zezzFzf zZZ 。29，设随机变量)1,(UX，随机变量Y具有概率密度)1(1)( 2yyfY +=，+y，设X,Y相互独立，求YXZ+=的概率密度。解：因为 =其他0 0)( 2 yyeyf yY 0，X,Y相互独立。求YXZ+=的概率密度。解：根据卷积公式，得 zz zXYZ ezdyyedyyzfyfzf + = 2303 2)()()(，0z。所以YXZ+=的概率密度为 =其他0 02)( 23 zezyf zY 。31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求YXZ+=的概率密度。解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以 =其他0 101)( xxfX， =其他0 101)( xyfY根据卷积公式，得dyyzfyfzf XYZ )()()( =+ = 0,1 0,0)( 3xexxF xX；220012/0)( = 2,1 20,12 0,0)()()( 33 ze zez zzFzFzF zzYXZ。（3）2/33412141)2/1()1(12/1 += eeFFZP ZZ。3，（1）一条绳子长为l2，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。（2）两条绳子长度均为l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y 的概率密度为 =他其，00/)(2)( 2 lylylyfY。 概率论与数理统计及其应用习题解答 28 Y 解：（1）根据题意，随机变量),0(lUX，所以概率密度为 =其他001)( lxlxfX。 （2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为21,X，则它们都在),0(l上服从均匀分布。,m in21XY=，其分布函数为 lylyyFyFyF XXY = 0,)1(1)(1)(11)( 221，所以密度函数为( ) =他其，00/)(2()( 2 lylylyFyf YY。34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1）求),m ax(YXU=的分布律。（2）求),m in(YXV=的分布律。（3）求YXW+=的分布律。 0 1 20 1/2 1/6 1/241 1/4 1/4 1/402 1/8 1/20 0 3 1/20 0 0解：（1）),m ax(YXU=的分布律为3,2,10,),max( =+= XYPYXPVP 000=+=，其余类似。结果写成表格形式为U 0 1kp27/4013/40（3）YXW+=的分布律为5,4,32,10, 0 =+= = kikYiXPkYXPkWP ki如，12/58/14/124/12,2 20 =+=i iYiXPWP，其余类似。结果写成表格形式为W 01 2 3kp1/25/125/121/2 （第2章习题解答完毕）第3章随机变量的数字特征 1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为X45 6 7 kp1/51/51/52/55/29)77654(51)( =+=XE .2，解：个单词字母数还是，。这时，字母数更 概率论与数理统计及其应用习题解答 30 多的单词更有可能被取到。分布律为Y45 6 7 kp4/295/296/2914/2929/175)147654(291)( =+=YE .3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0， 1，2台的概率分别为1163123100 =Cp，229312210121 =Cp，22131211022 =Cp。所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为 )(21222112290116台=+=E。4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概 率得分小于6。分布律为Y1234578910112 kp6161616161361361361361361361得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(6点=+=E。 5，解：（1）根据)(X，可得6!6!55 65 = XPeeXP ，因此计算得到6=，即)6(X。所以)(XE=6。 概率论与数理统计及其应用习题解答 31 （2）根据题意，按照数学期望的公式可得21 121 2211 1 ln6)(66)()()( = += += += k kk kk k kkXPXE，因此期望存在。（利用了11, 1)1()1ln(0 +=+= xnxxn nn）（不符书上答案）6，解：（1）一天的平均耗水量为 + + + = 0 3/0 3/0 3/20 3/2 )(2320)(39)()( xxxx exddxxeedxdxexdxxxfXE 620 0 3/ =+=+dxex（百万升）。（2）这种动物的平均寿命为1050)251()()( 525 2 = + dxxxxdxxdFXE（年）。7，解： =+ 10 6210 52 )1(7)1(4)()( xdxdxxxdxxxfXE +=+= 10 710710 710 61062 )(2)1(2)1(2)1(14)1(7 dxxxxxxddxxxxx=1/4。 8，解：2ln23)ln2()/1(2)()( 21221 2 = + xxdxxxdxxxfXE。9，解： += + 10 201 2 )1(23)1(23)()( dxxxdxxxdxxxfXE 概率论与数理统计及其应用习题解答 32 0)1(23)1(23 10 201 2 =+= dxxxdxxx。（对第一个积分进行变量代换yx=）10，解： = 40 44 )1(2sin)2(sink kkk ppCkXE )221)(1(4)1()1( 213343114 ppppppCppC +=+=。（不符书上答案）1，解：R的概率密度函数为 =其他,00,/1)( axaxf，所以2416)( 303 adrarVEa =。 12，解： + + = 4 3.040 3.02 3.0163.0)()()( dxedxexdxxfxgXgE xx)584200(91 2.1= e（不符书上答案） 13，解：因为),2,1( niXi =的分布函数为 = 1,1 10, 0,0)( xxxxxF，所以可以求出nY,1的分布函数为 = 1,1 10,)1(1 0,0)(m in yyyyyF n， = 1,1 10, 0,0)(m ax yyyyyF n。nY,1的密度函数为 = 其他,0 10,)1()( 1m in yynyf n， k时，2)()( 2122 = + kkdxxkdxxfxXE kk ，所以， )2()1()1(21)()()( 222222 = = kkkkkkkXEXEXD 。（4）当2=k时，+= + dxxdxxfxXE 222 )()(，所以)(XD不存在。 21，解：（1）根据14题中结果，得到56/94/32/114/3)()()(),( = YEXEXYEYXCov； 概率论与数理统计及其应用习题解答 36 Y 因为7/4)( 2022 =k kXPXE，28/27)( 2022 =k kYPYE，所以 28/9)()()( 22 = XEXEXD， 112/45)()()( 22 = YEYEYD，55)()( ),( = YDXDCov XY。（2）根据16题结果可得：() 75/25/215/2)()()(),( 2= YEXEXYEYXCov；因为5/124),()( 1 031022 = yR ydxxdydxdyyxfxXE，5/124),()( 1031022 = yR xdxydydxdyyxfyYE，所以， 25/1)()()( 22 = XEXEXD， 25/1)()()( 22 = YEYEYD75/2),(2)()()( =+=+ YXCovYDXDYXD，32)()( ),( = YDXDCov XY。（3）在第2章14题中，由以下结果X0 1 2 kXP= 00.10.80.60.2410.40.20.140.3820.20.60.30.38 kYP=0.160.340.5 1得到，14.1)(=XE，34.1)(=YE，8.1)(=XYE，9.1)(2=XE，34.2)(2=YE，所以，2724.0)()()(),( = YEXEXYEYXCov； 概率论与数理统计及其应用习题解答 37 6004.0)()()( 22 = XEXEXD， 5444.0)()()( 22 = YEYEYD ,4765.05717.02724.0)()( ),( = YDXDCovXY .2，解：根据题意有),(2)()()( YXCovYDXDYXD +=+ )()(2)()( YDXDYDXD XY+= 116)6/1(249 =+=。)3,4(2)3()4()43( YXCovYDXDYXD +=+ ),(6)(9)( YXCovYDXD += 516)6/1(6369 =+=。 23，解：（1）因为321, XX相互独立，所以 168)4()()4( 233222322123221 XXXEXXEXEXXXE += 168168 2332223322 XEXEXEXEXXXE +=+= 171601 =+=。（2）根据题意，可得 3/1)()()(,2/1)( 22 =+= iiii XEXDXEXE，3,2,1=i。 4244)2( 233121232212321 XXXXXXEXXXE +=+ 4244 23312123221 XEXEXEXEXEXEXEXEXE += 211211313431 =+=。24，解：因为3/2),()( 10 = xxR dydxdxdyyxxfXE，0),()( 1 0 = xxR ydydxdxdyyxyfYE，0),()( 10 = xxR ydydxdxdyyxxyfXYE，所以，0)()()(),( = YEXEXYEYXCov， 即，验证了X,Y不相关。 概率论与数理统计及其应用习题解答 38 又因为， = +他其，,0 1021),()( xxdydyyxfxf xxX； += = +他其，他其，0 15.01 5.0010 101 011),()( 11 yyyyydxydxdxyxfyf yyY，显然，)()(),( yfxfyxf YX，所以验证了X,Y不是相互独立的。25，解：引入随机变量定义如下=个盒子个球未落入第第个盒子个球落入第第ii iiX i 01则总的配对数 =ni iXX1，而且因为nXPi 11=，所以，)1,(nNX。故所以，11)( =nnXE。第4章正态分布 1，（1）设)1,0(NZ，求24.1ZP，37.224.1 ZP，24.137.2 ZP；（2）设)1,0(NZ，且9147.0=aZP，0526.0=bZP，求ba,。解：（1）8925.0)24.1(24.1 =ZP， 0986.08925.09911.0)24.1()37.2(24.137.237.224.1 = ZPZPZP 0986.0)37.2(1)24.1(1)37.2()24.1(24.137.2 =ZP（2）)37.1(9147.0 =aZP，所以37.1=a； 概率论与数理统计及其应用习题解答 39 10526.0 bZPbZP =，所以)62.1(9474.0 =bZP，即62.1=b。2，设)16,3(NX，求84XP，50XP。解：因为 )16,3(NX，所以)1,0(43NX。2957.05987.08944.0)25.0()25.1(4384343484 = CCXP，即95.0)23(,05.0)23( CC或者，从而645.123C，29.0C。 4，已知美国新生儿的体重（以g计）)575,3315( 2NX。（1）求25.439075.2587 XP；（2）在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求 4YP。解：根据题意可得)1,0(5753315NX。（1）)575331575.2587()575331525.4390(25.439075.2587 =XP 8655.0)8962.01(9693.0)2648.1()87.1( =（或0.8673）（2）1492.0)04.1(1)57533152719(2719 =XP， 概率论与数理统计及其应用习题解答 40 根据题意)1492.0,25(BY，所以6664.08508.01492.04 254025 = = kk kkCYP。 5，设洗衣机的寿命（以年计）)3.2,4.6(NX，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。解：所要求的概率为 1761.08212.08554.01)92.0(1 )06.1(1)3.24.65(1 )3.24.68(1585|8 = XPXXP6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为1.9欧，标准差为0.2欧的正态 分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在1.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量 ,YX则)04.0,9.11(NX，)04.0,9.11(NY（1）3.127.113.127.113.127.11,3.127.11 = YPXPYXP 2)2.09.117.11()2.09.113.12( = 6699.08185.0)1()2( 22 =；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为 2)2.09.114.12(14.124.1214.12,4.121 = YPXPYXP 0124.09938.01 2=。 概率论与数理统计及其应用习题解答 41 7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值160=，均方差为的正态分布，若要求80.0200120 XP，允许最大为多少？解：根据题意， )1,0(160NX。所以有80.01)40(2)160120()160200(200120 = XP，即，)28.1(9.0)40( ，从而25.31,28.140。故允许 最大不超过31.25。8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在 Cd，液体的温度X（以C计）是一个随机变量，且)5.0,(2dNX，（1）若90=d，求X小于89的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.9，问d至少为多少？ 解：因为)5.0,(2dNX，所以)1,0(5.0NdX。（1）0228.0)2(1)2()5.09089(89 =XP；（2）若要求99.080 XP，那么就有99.0)5.080(180 = dXP，即 01.0)5.080( d或者)326.2(99.0)5.080( =d，从而326.25.080d，最后得到163.8d，即d至少应为81.63。9，设 YX,相互独立，且X服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y服从数学期望为10，方差为16的正态分布。 概率论与数理统计及其应用习题解答 42 （1）求YXW+=1，YXW+=22，2/)(3 YXW+=的分布；（2）求6.24+YXP。解：根据题意)16,100(),9,150( NYNX。（1）根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书10页定理2） 的性质，立刻得到)25,250(1NW，)52,200(2 NW，)425,125(3NW（2）因为)25,250( 1NW，)425,125(3NW，所以)1,0(5250NYX+，( ) )1,0(2/51252/ NYX+。因此0694.0)48.1(1)52506.242(6.242 =+ YXPYXP = )5.25()5.25(1)2(22= 0456.=10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以m m计）)2.0,10(NX，垫圈直径（以m m计）)2.0,5.10(NY，YX,相互独立。随机地取一 只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。（2）在（1）中若)2.0,10(NX，),5.10( 2NY，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.9。解：（1）根据题意可得 )08.0,5.0(NYX。螺栓能装入垫圈的概率为9616.0)77.1(08.0)5.0(00 = YXPYXP。（2）)04.0,5.0( 2+NYX，所以若要控制 概率论与数理统计及其应用习题解答 43 )282.1(90.004.0)5.0(00 2 = +=WP，随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布 )8849.0,5(B，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为8955.08849.0)8849.01(8849.0 55445 =+ CC（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量 501,WW，=501501i iWW。则)50025.0,63.1(501 2501 NWWi i=，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为 概率论与数理统计及其应用习题解答 4 1)49.8()50/025.063.160.1(160.1 =WP12，（1）设随机变量),( 2NX，已知20.016 =XP，90.020 =XP，求和；（2）ZYX,相互独立且都服从标准正态分布，求7623 +ZYXP。解：（1）由 )84.0(20.0)16(16 = XP，得到84.016=；)282.1(90.0)20(20 = XP，得到282.120=；联立84.016=和282.120=，计算得到8850.1,5834.17=。（2）由 ZYX,相互独立且都服从标准正态分布，得到)49,0(623 NZYX+。故所以 1587.0)1(1)707(76237623 = XPXPXPi i 16，以1001,XX记10袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，.100,2,1,1)(),(25)( = iXDkgXE ii 1001,XX服从同一分布，且相互独立。 =10011001i iXX，求25.75.24 XP的近似值。解：根据题意可得1001)(),(25)( = XDkgXE。由独立同分布的中心极限定理可得 )5.2()5.2(1.02525.1.0251.02575.2425.75.24 = XPXP 9876.01)5.2(2 =17，有40个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它 的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间)105.0,105.0( 77 服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于 6105.0的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）解：以4001,XX记这40个数据的舍入误差， =40014001i iXX。则480010)(,0)( 14=XDXE。利用独立同分布的中心极限定理可得10125.010125.0105.0 8864001 = = XPXPi i 概率论与数理统计及其应用习题解答 47 48001010125.048001048001010125.0 14814148 nn，即645.116.05.492.0 nn，从而 概率论与数理统计及其应用习题解答 48 025.2450232964.2004.02 + nn，解出95.304n或者201n（舍去）。所以最少要安装305部电话。19，一射手射击一次的得分 X是一个随机变量，具有分布律X8 9 10 kp0.1 0.29 0.7（1）求独立射击10次总得分小于等于96的概率。（2）求在90次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。解：根据题意， 69.)(=XE，2339.069.913.94)( 2=XD。（1）以101,XX分别记10次射击的得分，则2776.0)59.0() 339.29.9696(339.29.9696339.29.9696 101101 = = i ii i XPXP（2）设在90次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则 )01.,90(BY。由DeMoivre-Laplce定理，计算得8790.0)17.1(1)99.001.090001.09005.06(16 =YP。 （第4章习题解答完毕）第5章样本及抽样分布 概率论与数理统计及其应用习题解答 49 1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，4321 , XX是来自总体的容量为4的样本，求（1） 4321 , XX的联合概率密度；（2）2.17.0,15.0 21 XX）（2）21,X的联合概率密度为)(221xxe+，所以 = 2.17.0 2215.0 1215.02.7. 212221 212142.17.0,5.0 dxedxedxeXXP xxxx )( 4.24.121 = eeee（3）, 21)(41)( 41 =i iXEXE 1612141)(161)( 241 =i iXDXD；（4）41)()()( 2121 = XEXEXE，（由独立性）41)()(214121)5.0()()5.0( 2222221221 +=+= XEXEXXEXEXEXE 8141214124121)()(21 2222 =+=+= XEXD；（5） 222121222121 41)()()()()( = XEXEXEXEXD 163161)4141)(41(161)()()()( 222121 =+=+= XEXDXEXD。2，设总体 )100,75(NX，321, XX是来自X的容量为3的样本，求（1）85),max( 321 XXP
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