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（第 1 页，共 24页） 安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院 第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期 实变函数试卷一实变函数试卷一实变函数试卷一实变函数试卷一 专业 _班级 _姓名 学号 注 意 事 项 1 、本试卷共 6 页。 2 、 考生答题时必须准确填写专业 、 班级 、 学号等栏目 ， 字迹要清楚 、 工整 。 一、 单项选择 题 （ 3 分 5 = 1 5 分） 1 、 1 、 下列各式正确的是（ ） （ A） 1l i m n kn n k nA A = = ; （ B ） 1l i m n kn k nn A A = = = ; （ C） 1l i m n kn n k nA A = = ; （ D ） 1l i m n kn k nn A A = = = ; 2 、设 P 为 Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （ A ） =P c (B) 0mP = (C) PP = (D) PP = 3 、 下列说法不正确的是 （ ） ( A ) 凡外侧度为零的集合都可测 （ B ） 可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （ D ） 波雷耳集都可测 4 、设 ( )nf x 是 E 上的 . .a e 有限的可测函数列 , 则下面不成立的是 ( ) 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 得 分 考 生 答 题 不 得 超 此 线 （第 2 页，共 24页） （ A ）若 ( ) ( )nf x f x , 则 ( ) ( )nf x f x (B) s up ( )n n f x 是可测函数 （ C ） i nf ( )nn f x 是可测函数 ; （ D ）若 ( ) ( )nf x f x , 则 ( )f x 可测 5 、 设 f(x)是 , ba 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )( xf 在 , ba 上有界 (B) )( xf 在 , ba 上几乎处处存在导数 （ C ） )( xf 在 , ba 上 L 可积 (D) =ba afbfdxxf )()()( 二 . 填空 题 ( 3 分 5 = 1 5 分 ) 1 、 ( ) ( ( ) )s sC A C B A A B = _ _ 2 、设 E 是 0,1 上有理点全体，则 E = _,oE = _,E = _. 3 、 设 E 是 nR 中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集 T 都 有 _，则称 E 是 L 可测的 4 、 )( xf 可测的 _条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 . （填 “ 充分 ” ， “ 必要 ” ， “ 充要 ” ） 5 、 设 ( )f x 为 ,a b 上 的 有 限 函 数 ， 如 果 对 于 ,a b 的 一 切 分 划 ， 使 _,则 称 ( )f x 为 ,a b 上的有界变差函数。 三、 下列命 题是否 成立 ? 若成 立 , 则证 明之 ; 若不 成立 , 则举 反例说明 . ( 5 分 4 = 2 0 分 ) 1 、设 1E R ，若 E 是稠密集，则 C E 是无处稠密集。 2 、 若 0=mE ，则 E 一定是可数集 . 得 分 得 分 （第 3 页，共 24页） 3 、 若 | ( ) |f x 是可测函数，则 ( )f x 必是可测函数。 4 设 ( )f x 在可测集 E 上可积分，若 , ( ) 0 x E f x ，则 ( ) 0E f x 四、 解答题 （ 8 分 2 = 1 6 分） . 1 、 （ 8 分 ） 设 2 ,( ) 1 ,x xf x x= 为无理数为有理数 ， 则 ( )f x 在 0,1 上是否 R 可积 ， 是否 L 可积，若可积，求出积分值。 得 分 （第 4 页，共 24页） 2 、 （ 8 分） 求 0 l n( )l i m c osxn x n e x dxn + 五、 证明题 （ 6 分 4 + 1 0 = 3 4 分） . 1 、 （ 6 分） 证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c . 得 分 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线 （第 5 页，共 24页） 2 、 （ 6 分 ） 设 ( )f x 是 ( ), + 上 的 实 值 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 常 数 , | ( ) a E x f x a= 是闭集。 3 、 （ 6 分） 在 ,a b 上的任一有界变差函数 ( )f x 都可以表示为两个增函数之差 。 4 、 （ 6 分） 设 , ( )m E f x ，存 在闭子集 F E ，使 ( )f x 在 F 上连续，且 ( )m E F = 是一开集 . 得 分 （第 11页，共 24页） 2.(6分 ) 设 0, ,G E 开 集 使 * ( )m G E ， 必存在 E 上的连续函数 ( )x ，使 | ( ) ( ) |ba f x x dx . 得 分 阅卷人 复查人 （第 13页，共 24页） 安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院 第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期 实变函数试卷三实变函数试卷三实变函数试卷三实变函数试卷三 专业 _班级 _姓名 学号 注 意 事 项 1 、本试卷共 6 页。 2 、 考生答题时必须准确填写专业 、 班级 、 学号等栏目 ， 字迹要清楚 、 工整 。 一、 单项选择 题 （ 3 分 5 = 1 5 分） 1 、设 1 , 2 ( 1 ) , 1 , 2,nnA nn= + = ，则（ ） (A) l i m 0, 1 n n A = （ B ） = nn Al i m ( 0 , 1 (C) l i m ( 0, 3n n A = （ D ） l i m ( 0, 3)n n A = 2 、设 E 是 0,1 上有理点全体， 则下列各式不成立的是（ ） （ A ） 0,1E = (B) oE = (C) E = 0 ， 1 (D) 1mE = 3 、 下列说法不正确的是 （ ） ( A ) 若 BA ，则 BmAm * （ B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （ D ） 凡开集、闭集皆可测 4 、 设 nE 是 一列可测集 ， nEEE 21 ， 且 + (B) 1 l i mn nn nm E mE= = （ C ） 1 l i mn nn nm E m E= = ; （ D ）以上都不对 5.设 )( xf 为 , ba 上的有界变差函数 , 则下面不成立的是 ( ) (A) )( xf 在 , ba 上 L 可积 (B) )( xf 在 , ba 上 R 可积 (C) )( xf 在 , ba 上 L 可积 (D) )( xf 在 , ba 上绝对连续 二 . 填空 题 ( 3 分 5 = 1 5 分 ) 1 、设 1 1 , 2 , 1 , 2,nA nn n= = ，则 = nn Al i m _。 2 、设 E R , 若 ,EE 则 E 是 集； 若 0EE ，则 E 是 _集；若 EE = ，则 E 是 _集 . 3 、设 iS 是一列可测集，则 1 1 _i ii i m S m S= = 4 、 鲁津定理 ： _ _ 5 、设 ( )f x 为 ,a b 上的有限函数，如果对于 ,a b 的一切划分，使 _， 则称 ( )f x 为 ,a b 上的有界变差函数 。 得 分 得 分 阅卷 人 复查 人 （第 21页，共 24页） 三 . 下列命题 是否成立 ? 若成立 , 则证明之 ; 若不 成立 , 则说 明原因或 举出反例 . ( 5 分 4 = 2 0 分 ) 1 、 A 为可数集， B 为至多可数集，则 A B 是可数集 . 2 、 若 0=m E ，则 0=Em . 3 、 若 | ( ) |f x 是可测函数，则 ( )f x 必是可测函数 4 设 ( )f x 在可测集 E 上可积分，若 , ( ) 0 x E f x ，则 ( ) 0E f x 得 分 （第 22页，共 24页） 四 . 解答 题 ( 8 分 2 = 1 6 分 ) 1 、 设 ,( ) 1,x xf x x= 为无理数 为有理数 ， 则 ( )f x 在 0,1 上是否 R 可积 ， 是否 L 可积 ， 若可积，求出积分值。 2 、 （ 8 分） 求 0 l n( )l i m c osxn x n e x dxn + . 得 分 （第 23页，共 24页） 五 . 证明 题 ( 6 分 3 + 8 2 = 3 4 分 ) 1 、 （ 6 分 ） 设 ( )f x 是 ( ), + 上 的 实 值 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 常 数 , | ( ) a E x f x a= 是闭集。 2.(6分 ) 设 0, ,G E 开 集 使 * ( )m G E ，则 E 是可测集。 3. （ 6 分）设 ) ( xf n 为 E 上可积函数列， eaxfxf nn .)()(l i m = . 于 E ，且 E n kdxxf |)(| ， k 为常数，则 )( xf 在 E 上可积 . 得 分 （第 24页，共 24页） 4.（ 6 分 ） 设函数列 ( )nf x ( 1 , 2 , )n = 在有界集 E 上 “ 基本上 ” 一致收敛于 ( )f x ， 证明： ( ) . .nf x a e 收敛于 ( )f x . 5.（ 10 分）试用 Fatou引理证明 Levi定理 . 得 分 阅卷人 复查人
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