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北京邮电大学通信原理笔记第一章绪论1.1信息、消息、信号信息是要表示和传送的对象（内容），例如：“2001年7月13日北京申奥成功”即为一条信息。信息由消息表示，消息是表示信息的媒体，象语言、文字、图象、符号、声音等。同一条信息可以用不同的消息表示。例如前面用中文表示的申奥信息也可由英文、法文、俄文、德文、日文等其他文字表示，也可用不同语言等其他方式表示，这说明信息和消息有密切的关系，但它们并不等同。消息可分为连续消息和离散消息两大类。离散消息的可能取值是离散的、可数的，例如文字、符号等都是离散消息。连续消息的可能取值是连续的、不可数的，例如语音、音乐、活动图象等都是连续消息。取两种值的离散消息称为二元消息或二进制消息（例如取1，0或1，1）；取值数大于二的称为多元消息或多进制消息。信号是与消息对应的某种物理量，通常它是时间的函数，例如随着时间变化的电压（电流），随时间变化的电磁波等都是信号，这种信号统称为电信号。利用电信号传送信息的通信称为电通信，简称电信。随时间变化的光（激光）称为光信号，利用光信号传输信息的系统称为光通信系统。信号常常由消息变换而来。传输离散消息的通信系统通常称为数字通信系统；传输连续消息的通信系统称为模拟通信系统。由于数字通信系统具有模拟系统不具有的许多优点，所以得到了迅速的发展和应用。数字通信的特点可归纳为：1 抗干扰能力强，可消除噪声积累；可消除噪声积累；2 差错可控，传输性能好；3 便于与各种数字终端接口，用现代计算技术对信号进行处理、加工、变换、存储，形成智能网；4 便于集成化，从而使通信设备微型化；5 便于加密处理，且保密强度高。事物总是一分为二的，一般来说，数字通信的许多优点都是用比模拟通信占据更宽的系统频带为代价而换取的。以电话为例，一路模拟电话通常只占据4KHz宽带，但一路接近同样话音质量的数字电话可能要占据2060KHz的宽带，因此数字通信的频带利用率不高。数字通信的另一个缺点是对同步要求高，系统设备比较复杂。1.2模拟通信系统与数字能信系统图11模拟通信统模型图12数字通信统模型1.3离散消息的信息量离散消息的各种可能取值称作其元素，简称元，在通信技术中常称其为符号或码元。由消息的元素组成的集合称为消息集，例如：由26个英文字母abcd.xyz组成的集合就是一个26元的（或26进制的）消息集。信息通常由消息集的元素构成的序列表示，例如由26个英文字母组成的词或句子就是这种表示信息的序列。序列中每一个元素所表示的平均信息量与消息集的进制和各元素在序列中的出现概率有关。设由M个符号x1,x2,x3xixM构成的M元消息集的无素xi在序列中出现的概率为：p(xi)i=1、2、.M，且各符号在序列中出现相互独立，则每一个符号平均信息量等于：由于H同热力学中的熵形式一样，故通常又称它为消息集的符号熵，单位为bit/符号。可以证明，当消息集的各个元素（符号）在消息序列中等概独立出现时，其符号熵最大，等于：bit/符号（13）当二元消息集的元素在消息中等概率独立出现时，其符号熵最大，等于：H2=1bit/符号这个信息量就定为离散消息信息量的单位，称为bit。例如：某消息集的符号熵等于3 bit/符号，则其每一个符号所表示的平均信息量为3 bit，换句话说，如果用二进制符号表示此消息集的符号，则平均须用3个二进制符号。1.4通信系统的主要性能指标通信系统的最主要的性能指标是其有效性和可靠性。有效性是指在给定信道内传输的信息量的多少，可靠性是指接收信息的准确程度。这两者是相互有联系又有矛盾的，且可以互换。模拟通信系统的有效性通常用单位带宽内传送的电话路数或电视路数表示，而可靠性是用接受端的输出信噪比来度量。数字通信系统的有效性的主要性能指标是传输速率、频带利用率。可靠性主要是差错率。1传输速率1） 码元传输速率（Rg）码元传输速率简称传码率，也称码元速率或符号速率。它被定义为单位时间（s1）内传输码元的数目，单位为波特，记为Baud或B。码元速率与所传的码元进制无关，即码元可以是多进制的也可以是二进制的。通常一个M进制的码元可以用log2M个二进制码元表示。码元速率双叫做调制速率。它表示信号调制过程中，1秒中内调制信号波形的变换次数。如果一个单位调制信号波形的时间长度为T秒，则调制速率为（14）2）信息传输速率（Rb）信息传输速率简称传信率，又称信息速率。它被定义为单位时间（s1）内传递的信息量（bit数），单位是比特/秒，也记为bit/s或bps。2频带利用率频带利用率可以有两种表示方法，一种是单位带宽中的传码率，即： B/,Hz(15)或单位带宽内的传信率，即：bit/s，Hz(16)其中：f为系统带宽。严格讲，第二种表示方法更为确切地反映了系统的频带利用率。3可靠性指标数字通信系统的可靠性指标是差错率，常用误码率和误信率表示。误码率（也称误符号率）为接收码元错误的概率，可表示为：（17）误信率（也称误比特率）是信息比特错误的概率，可表示为：（18）显然，对于二进制有：Pb=Pe对于多进制，我们以八进制为例说明：八进制符号x0,x1,x7与二进制符号1，0的编码关系如图所示：X0000X1001X2010X3011X4100X5101X6110X7111假设传送了1000个八进制符号，接受端错判了10个符号，则误码率约为1%。传送的1000个八进制符号等价于3000个二进制符号，错误的10个八进制符号引起的二进制符号的错误数目小于30。因为由上图可见，由X0错到X1或X2 或X4 只引起一个二进制符号的错误，由X0 错到X3或X5 或X6 引起两个二进制符号的错误，而由X0错到X7 才引起三个二进制符号的错误。由此可见，对于多进制通信系统，误信率（误比特率）小于误码率。第二章随机过程2.1随机过程的基本概念2.1.1定义随机过程是随时间变化的随机变量，它的实现（样本函数）是时间函数。无穷多个样本函数（实现）的集合构成一个随机过程。我们用大写字母X（t）,Y（t）,Z（t）,等表示随机过程；用小写字母x(t),y(t),z(t)等表示对应的随机过程的实现（样本函数）。在确定的时刻t1，随机过程X(t1),是一个随机变量在时刻t1,t2,X(t1),X(t2)构成一个二维的随机向量；在时刻t1,t2,t3,tn,X(t1),X(t2),X(t3),X(tn)，构成一个n维的随机向量。2.1.2分布函数和概率密度随机过程X(t)在任意一个时刻t1的取值是随机变量X(t1)，则随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率：（21）称作随机过程X(t)饿一维分布函数。如果存在（22）则称f1(x1,t1)为X(t)的一维概率密度。显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，通常还需要在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。X(t)的n维分布函数被定义为（23）如果存在（24）则称其为X(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。2.1.3随机过程的数字特征在实际工作中，有时不需要了解随机过程的分布函数和概率密度，只需知道随机过程的某些数字特征，如均值、方差及相关函数等即可满足需要。下面介绍几种主要的数字特征：（1）均值（数学期望或统计平均）：（25）并记为EX（t）=a(t)。均值表示随机过程的摆动中心。（2）方差：（26）DX（t）常记为2（t）。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在某时刻对于其均值的偏离程度。当均值a(t)=0时，方差为2（t）=EX（t）2（27）均值和方差是刻画随机过程在各个孤立时刻统计特性的重要数字特征，为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。（3）相关函数：在衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度时，常用自协方差函数B（t 1，t2）和自相关函数R（t 1，t2）来表示。其定义分别为：（28）（29）X（t）与Y(t)的互相关函数定义为：（210）2.2平稳随机过程2.2.1狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程，又称严平稳妥过程。其n维分布函数和n维概率密度与时间起点无关。平隐随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。例如，其一维概率密度与时间无关（211）而二维概率密度函数只与时间间隔有关其中：（212）2.2.2广义平稳随机过程广义平衡随机过程，又称宽平稳随机过程。其定义为：若随机过程的数学期望和方差与时间无关，而相关函数仅与时间间隔有关，即（213）则称其为广义平稳随机过程。在通信系统中所遇到的信号及噪声的大多数均可视为广义平稳随机过程。后面的分析中如果不加特殊说明，平稳随机过程均指广义平稳随机过程。可以证明，狭义平稳随机过程一定是广义平稳随机过程；广义平稳随机过程不一定是狭义平稳随机过程。2.2.3广义平稳随机过程的性质1 各态历经性（遍历性）设x（t）是平稳随机过程X（t）的任意一个实现（样函数），若X（t）的数字特征（统计平均）可由X（t）的时间平均代替，即（214）则称平稳过程X(t)具有各态历经性，简称遍历性。注意，只有平稳随机过程才具有遍历性，在能信系统中所遇到的随机信号和器声，一般均能满足遍历条件。2自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，则其自相关函数具有如下性质：(1)R(0)=EX2(t)=S(X(t)的平均功率) （215）(2)R（）=（）（R()是偶函数）（216）(3)R()R(0)（R()的上界）（217）(4)R()=E2X(t)（X(t)的直流功率）（218）(5)R(0)R()=2（方差，X(t)的交流功率）（219）3功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度表示其单位带宽中平均功率在不同频率上的分布情况。可以证明：平稳随机过程的功率谱密度Px()与其自相关函数Rx()是一对傅立叶变换，即由前可知，是随机过程的总平均功率S。由此可以看出PX（）的物理含义，即单位带宽中的平均功率。关系式（220）和（221）在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。2.2.4白噪声1定义：白噪声是带宽非常大的噪声的数学模型。其定义为：均值为0的平稳随机过程，其功率谱密度在整个频段为一常数。通常用n(t)表示白噪声，其功率谱密度为：（223）相据关系式（221）可以得到白噪声的自相关函数为：（224）2白噪声的某些特性令：可以证明，是高斯随机变量，其均值（数学期望）及方差可由以下方法求得：令的数学期望为a则：(226)2.3高斯随机过程1定义任意n维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。2重要性质（1） 若高斯过程是广义平衡的，则也是狭义平稳的；（2） 若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；（3） 若干个高斯过程之和的过程仍是高期型；（4） 高斯过程经过线性过线变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。3一维概率密度和分布函数1） 概率密度函数高斯过程在给定任一时刻上，则是一高期随机变量，其概率密度函数可表示为式中，a及2为两个常量。当a=0,=1时，称f(x)为标准正态概率密度函数。2）正态分布函数正态分布函数是正态概率密度函数的积分，即：通常高斯分布概率积分函数，简称概率积分表示，其定义为：这个积分只能利用数值法计算，一般数学手册中有它的数值表，可以查阅。正态分布函数可以由概率积分函数表示：可以证明：称作互补误差函数；称作误差函数。第二章 确定信号分析2.1引言通信系统中利用信号表示信息和传关信息.一般信号是时间的函数.确定信号是指可以用确定的时间函数表示的信号.实际载荷信息的各种信号是许多信号的集合体，并具有一定的统计规律性.这种信号称作随机信号，将在第三章研究.本章研究的确定信号可以是随机信号的样函数（实现）或是载波信号的数学模型.2.2确定信号的分类分类方法很多，例如，分为周期信号和非周期信号，能量信号与功率信号，模拟信号与数字信号，基带信号与频带信号等，本章主要用第一和第二种分类法.2.2.1周期信号定义：若对于任何t值成立，其中T为任一常数，则称f(t)为周期信号，T为其周期.性质：1）若T是f(t)的周期，则nT也是f(t)的周期.其中n为任意整.即：2）3）4）同周期信号的和、差、积也是周期信号，且具有同一周期.例如：eix=cosx+于sinx的周期为22.2.2能量信号与功率信号不艰看出周期信号是功率信号.非周期不限时信号也可能是功率信号，例如，随机噪声的样函数（实现）等.2.3周期信号的三角付立叶级数（谐波分析）令f(t)为周期信号，周期为T,且满足狄里赫利条件*（一般实际信号均满足），则f(t)可展开为以下级数：其中：c为常数，其值可任选。通常选c=则有：*狄里赫利条件为：在一个周期内f(t)只有有限个一类不连续点，且可将T分为有限个区间，在每一个区间内f(t)为单调断数.令：则有：由式（2.3.2）可见，周期信号展开为许多不同幅度、频率和相位的正弦信号之和。这些信号称作f(t)的谐波。其中：c0为直流分量，c1cos(0t+)称为f(t)的一次谐波（又称基波，）cncos(n0t+)称作f(t)的n次谐波。Cn与的关系称作f(t)的幅度频率特性，简称幅-频特性，它表示不同谐波幅度大小与频率的关系。n与的关系称作f(t) 的相位-频率特性，简称相-频特性，它表示不同谐波相位与频率的关系。不难看出cn n仅在=n0处有值（n=1，2，3，）因此，Cnn与的关系是离散的，因此称作离散频谱。（也称线频谱）。谱线间隔为，T愈大，0愈小，即谱线愈密。2.4.周期信号的指数付立叶级数利用欧拉公式可以将三角付立叶级数化为指数信立叶级数。后者分析和计算比较方便，因此应用广泛。据式（2.4.1）有：令：则f（t）可表示为：一般情况，Fn，F-n是复数，若f(t)是实函数，则Fn和F-n 一对共轭复数，即：Fn=F*n见式(2.4.2)此时有：|Fn|=|F-n|=|Fn|与的关系称作f(t)的幅度-频率特性，简称幅度频谱，它表示f(t) 的各谐波分量的幅度与频率关系。n与的关系称作f(t)的相位-频率特性，简称相位频谱，它表示f(t)的各谐波分量的相位与频率的关系不难看出，幅度频谱是的偶函数，相位频谱是的奇函数，它们仅在=n0(n=0,1，2，3整数)即频率取离散值时有值，因此称其为离散频谱，又称为线频谱。又因取正负值，故又称双边频谱。许多情况利用信号的频谱进行分析比较直观方便。2.5.信号的付立叶变换周期信号的频谱分析可以推广到非周期信号。令f(f)为非周期信号，其持续时间为t1，即f(f)=0，tT/2，或tT1为周期将f(f)延拓为周期信号其中： n=0,1，2，3整数。不难看出，当T时，则在t0Sgn(t)=0t=01t0 为了求其付立叶变换，可将Sgn(t)表示为：取此式两边的付立叶变换：2.8.5单位价跃函数的付立叶变换即：2.8.6一些常见信号的付立叶变换（表2.2）2.9能量谱密度与功率谱密度2.9.1能量谱密度令：f(t)为实能量信号，且f(t)F()式（2.9.1）称作帕色瓦尔定理通常令：称为f（t）的能量谱密度。由此有：由式（2.9.2）可看出E()是单位带宽中的信号能量与角频率的关系，故称其为能量谱密度。由于E()存在于（0G（）=(2.9.3)2 02.9.2.功率谱密度 令功率信号f(t)的平均功率为其中表示时间平均T取f(t)的短截：令fT(t)FT()显然fT(t)为能量信号，其能量为：（根据帕色瓦尔定理）f(t)的平均功率可表示为：令：（2.9.4）如果此极限在，则称其为f(t)的功率谱密度。由此得到：（2.9.5）由式（2.9.5）可见，P()表示单位带宽中f(t)的平均功率与的关系，故称其为f(t)的功率谱密度。由于P（）存在于（-0B（）= (2.9.6)0 0信号f(t)的功率Pf可表示为：（2.9.7）2.9.3.信号带宽信号带宽是指信号的能量或功率的主要部分集中的频率范围。若信号的主要能量或功率集中在零频率附近则称这种信号为基带信号。若信号的能量或功率集中在某一载波频率附近，则称此类信号为频带信号。这里介绍几种常见的定义信号带宽的方法：1）根据占总能量和总功率的比例如0.9，0.95或0.99等确定信号带宽。设信号带宽为B赫，则根据所占的百分数可列出等式：（或）（2.9.8）(或95%，99% )（2.9.2）(对于功率信号)2）若E()或P（）在0频率处最大，则可以将E（）或P（）值下降到3db（半功率点）的频率定为信号带宽。即：3）（2.9.10）2.10确定信号的相关函数 2.10.1定义：令f1(t)，f2(t)为能量信号，一般情况可以是时间的复函数。称：（2.10.1）为f1(t)和f2(t)的互相关函数。令f1(t)，f2(t)为功率信号，则称：(2.10.2)T为f1(t)和f2(t)的互相关函数。若f1(t)和f2(t)为周期信号（周期为T），则有：（2.10.3）若若f1(t)=f2(t)=f(t)，则称（2.10.4）为f(t)的自相关函数。对于能量信号，自相关函数的定义为： （2.10.5）对于实信号，上述公式中去掉共轭符号*。旧一化相关函数的定义为：（2.10.6）2.10.2相关函数的性质1） R12()R21(-)2） |r12()|13） R（）=R*（-）4） |R（）R（0）5） 能量信号的能量E=R（0），功率信号的平均功率P=R（0）能量有限/功率有限6）周期信号的自相关函数是周期函数，且周期与信号周期相等，下面我们对于实信号证明此性质。（对于复信号用类似方法也可证明）令f(t)为实周期信号，周期等于T，可将其展为付立叶级数：（-t） 其中：f(t)的自相关函数为：以及对实信号有：Fn=F-n可得到：(2.10.7)由式（2.10.7）可看出，R()是周期为T的周期函数。（注意到：）2.10.3.相关函数与能量（功率）谱密度的关系1） 能量信号的自相关函数与其能量谱密度互为付立叶变换，即：(2.10.8)证：令f(t)为能量信号，且：f(t)F（）根据定义有：2） 功率信号的自相关函数与其功率谱密度互为付立叶变换。即：（2.10.9）证：令f(t)为功率信号，取其短截：显然fT(t)是能量信号，令其自相关函数为RT()则有：据定义f(t)的自相关函数为：T已知：由此有：TT利用式（2.10.8）和式（2.10.9）可根据已知的相关函数求出相应的能量谱密度或功率谱密度。例：2.10.1求周期信号的功率谱密度解：由式（2.10.7）有：则：2.10.4.互能量谱密度和互功率谱密度定义：令f1(t)和f2(t)为能量信号，且它们的互相关函数为R12（），称R12（）的付立叶变换为f1(t)和f2(t)的互能量谱密度，以E12（）表示之。即：(2.10.11)性质：令 ，则有：（2.10.12）证：定义：令f2(t)为功率信号，且它们的互相关函数为R12（），称R12（）的付立叶变换为f1(t)和f2(t)的互功率谱密度，以R12（）表示之。即：（2.10.13）2.11.卷积积分2.11.1卷积积分的定义令有函数f1(t)和f2(t)，称积分为f1(t)和f2(t)的卷积积分，简称卷积，通常以f1(t)*f2(t)表示。即：*（2.11.1）式中为积分变量，由于定积分值与积分变量符号无关，所以式（2.11.1）中的积分变量可用任何符号表示，例如：，等。2.11.2卷积的性质 1）交换律：f1(t) Vf2(t)= f2(t) V f1(t) 2) 分配律：f1(t) V f2(t)+f3(t)= f1(t) Vf2(t)+ f1(t) V f3(t) 3）结合律：f1(t) V f2(t) Vf3(t)= f1(t) Vf2(t) V f3(t) 4）卷积的微分：= fi（t）Vf2(t)= f1(t) Vfi(t)2.11.3卷积定理1)时域卷积定理证毕。2）频域卷积定理令： 则： （2.11.3）证：证毕。2.11.4函数与单位冲激函数的卷积由定义和 的性质可得到下列各式：相似地，在频域中有类似的关系：卷积定理和式（2.11.4）到式（2.11.9）在信号分析中很有用。2.12.确定信号通过线性系统（滤波）通信系统由许多部份组成，例如，天线，放大器，信道和调制解调器等。其中一些部份可看作是线性系统。例如，信道，放大器，滤波器等。本节研究确定信号通过线性系统。并限于研究具有一个输入端和一个输出端的系统。 x(t)L y(t)一个输入信号x(t)，对应有一个确定的输出信号y(t).将x(t)变换为y(t)的运算，数学上称为算子，以L表示。则可表示为：y(t)=Lx(t) (2.12.1)2.12.1.线性算子与线性系统令：y1(t)=Lx1(t)i=1,2,3.若系统算子满足以下关系：其中：ci为任意常数， i=1,2,3.则称此算子为线性算子，相应的系统称为线性系统，式（2.12.2）称为叠加原理。其表述为：系统输入线性和的响应等于响应的线性和。如前所述，任意信号x(t)可以表示为：对于线性算子，有：令：L（t-）=h(t0), 称作系统的单位冲激响应，得到：（212.3）若系统满足L（t-）=h(t-)， 则称系统为时不变线性系统或称恒参线性系统。本节仅研究时不变（恒参）线性系统，其单位冲激响应为：h(t)=L(t)(2.12.4)由此对于恒参线性系统有：(2.12.5)或写为：y(t)=x(t)Vh(t)(2.12.6)式(2.12.6)是恒参线性系统时域的重要关系式，它通过系统的单位冲激响应将系统的输入和输出联系起来。通过时域卷积定理，可将输入与输出在频域的关系表示出。令：据式（2.12.6）有：由此得：y()=x()H()(2.12.7)式（2.12.7）是系统输入输出的频域关系式。即输出的频谱密度等于输入的频谱密度乘以H（）。H（）是系统单位冲激响应的付立叶变换，称为系统的传递函数，一般它是的复函数，可表示为：（2.12.8）称作系统的幅度-频率特性，简称幅-频特性；（）称作相位 频率特性，简称相-频特性。它们反映正弦信号通过线性系统后幅度和相位的变化与频率的关系。2.12.2.信号不失真的条件信号通过线性系统会引起变化。从传送信息的角度考虑，重要的是信号波形的变化。我们认为信号波形大小和时延的变化不影响信号所带的信息，因此我们定义通过线性系统信号不失真的条件为：y(t)=kx(t-)（2.12.9）其中：k, 均为常数，可取任意值。x(t)和y(t)是系统的输入和输出。由式（2.12.9）可得出系统的冲激响应：h(t)= k(t-) (2.12.10) 式(2.12.10)是信号不失真的时域的充分条件。在频域有：式（2.12.11）还可以关系式直接得到：满足信号不失真条件的系统称作理想系统。由式（2.12.11）可知：理想系统的幅-频特性为一常数k即：|H()|=K （-）(2.12.12)而相-频特性为：（）=- (-0Sgn()=可表示为：10域相移同样可得到：（2.13.6）由式（2.13.6）可看出希尔伯特反变换也等效一个理想相移器，在0域相移2.13.3.希尔伯特变换的性质因2. (2.13.8)因。3.dt=dt。 (2.13.9) 证： 令 则有： dt=d, dt=d又知： 由此有:|2=|F()|2d,性质得证。4. 若f (t)为偶函数,则为奇函数。 若f (t)为奇函数,则为偶函数。证： 令f (t)为偶函数，则有：f (t)=f (t) 根据定义: dd 令, 则: =d=。由此得证。同理可证明第二个结论。5.dt=0。 即f (t)与相互正交。 (2.13.10) 利用性质4即可证明。2.14 解析信号2.14.1.解析信号的定义令有实信号f (t)则称复信号Z(t)=f (t)+j (2.14.1)为f (t)的解析信号(有的文献中称作予包络)。2.14.2解析信号的性质1f (t)=ReZ(t) (2.14.2)2. f (t)= (2.14.3) 其中：是Z(t)是的共轭。3. 令， 则有： 也可表示为：Z()=2F()u() (2.14.4) 证：,已知:，得到：毕。 4 dd (2.14.5) 5. 即： (2.14.6) 证：已知Z*(t) 证毕。 6令为解析信号，则有： ； (2.14.7) (2.14.8) 证： ()=2F1()u() 根据卷积定理有: 由此得到: 证毕。 同理可以证明： 。 7. 解析信号的能量等于实信号能量的二倍。 dt= =dt=2dt=2Ef (2.14.9) 考虑到：dt=0和 dt=dt 例2.14.1.确定是否是解析信号。e=，因其虚部为其实部的希尔伯特变换，所以它解析信号，也可在频域验证： 因的付立叶变换是其实部的付立叶正频率部份的两倍，故是解析信号。一般讲，若复信号的付立叶变换在2w则称此频带信号为窄带信号。在无线通信系统中通常满足窄带条件。利用解析信号表示频带信号(特别是窄带信号)很便于对频带信号的分析。令f (t)为频带信号，且其解析信号为：的图形如图(2.15.2)所示。图(2.15.2)解析信号的频谱密度令： (2.15.2)则有： (2.15.3)的图形示于图(2.15.3)。图(2.15.3)复包络的频谱密度在式(2.15.2)两边乘以可得： (2.15.4)称为的复包络，称为Z(t)的复载波。由图 (2.15.3)可见：频带信号的复包络是复基带信号。令 (2.15.5)显然，和都是实基带信号。由解析信号性质有： = = = (2.15.6)式(2.15.6)中cosct称作f (t)的载波;fc(t)称作同相分量;fs(t)称作正交分量。复包络还可以表示为： (2.15.7)其中：和均为实基带信号。将式(2.15.7)带入式(2.15.4)得： (2.15.8) =由得： (2.15.9)式(2.15.9)中称作f (t)的包络；(t)称作f (t)的相位;c称作f (t)的载波角频率。式(2.15.6)和式(2.15.9)是频带信号的常用的表示式。由式(2.15.7)和式(2.15.9)可见：复包络包含了的除载波频率以外的全部信息。由式和式(2.15.6)可得到同相分量、正交分量与包络和相位的关系：fc(t)=a(t)cos(t) (2.15.10)fs(t)=a(t)sin(t) (2.15.11) (2.15.12)arctg (2.15.13)例2.15.1.令m(t)为基带信号,其频谱密度M()如图(2.15.4)所示。即其带宽为w。1) 确定S(t)=m(t)是解析信号的条件；2) 求m(t)cos的希尔伯特变换。解：确定S(t)=m(t)是否是解析信号，应看其频谱密度是否只在正频率域有值，即： 由：可知只有当时才能满足此条件见图(2.15.5)即是解析信号，否则不是。又知，若S(t)为解析信号则其虚部为其实部的希尔特变换。因此若，则有：Hm(t)cos0t=m(t)sin0t由此例可见：窄带信号均满足以上条件，因而具有上述性质。图(2.15.4)基带信号m(t)的频谱密度图(2.15.5)复信号S(t)=m(t)的频谱密度2.15.2带通系统1) 定义：若系统的通频带位于某一频率附近，即其传递函数如图(2.15.6)所示，则称系统为带通系统。若带通系统的带宽远小于其中心频率，即2W，则称系统为窄带系统。2) 带通系统的单位冲激响应已知系统的单位冲激响应与传递函数为付立叶变换对，即显然带通系统的单位冲激响应满足频带信号条件，因此它是频带信号。应用解析信号和复包络可以得到带通系统的等效低通特性，将基带信号分析方法用于频带信号通过带通系统的分析，可使分析大为简化。令为h(t)的解析信号，且则有： 其中： 为单位阶跃函数。 令： (2.15.14) 令： (2.15.15) 有： (2.15.16) 称作带通系统的等效低通单位冲激响应。 称作带通系统的等效低通传递函数。 和的图形示于图(2.15.7)和图(2.15.8)。图(2.15.7)带通系统的传递函数图(2.15.8)带通系统的等效低通传递函数由图(2.15.8)可见，带通系统的等效低通传递函数是低通型的。因此其付立叶反变换即带通系统的等效低通单位冲激响应是基带型的。3) 频带信号通过带通系统分析令为频带信号，且，带通系统的特性为求通过此带通系统的响应令。此部题可用一般方法解决：或但对带通系统此法比较繁琐。利用频带信号的复包络和带通系统的等效低通特性可以使分析简化，下面介绍此法： 由式(2.15.14)可得到： (2.15.17)又知： (2.15.18)令： (2.15.19) (2.15.20)由解析信号的定义和性质，有： (2.15.21) (2.15.22) (2.15.23)将式(2.15.8)，(2.15.21)代入式(2.15.23)得到： = = (2.15.24)因根据解析信号的性质：；将式(2.15.17)，(2.15.19)代入式(2.15.24)得到： (2.15.25)利用卷积定理可以证明的付立叶变换与的付立叶变换相等：因此 同理可以证明：据此，式(2.15.26)可表为： (2.15.26)比较式(2.15.22) 和式(2.15.26)得到： (2.15.27) (2.15.28)利用式(2.15.27)和(2.15.28)可以将频带信号x(t)通过带通系统h(t)的分析化为基带信号通过低通系统的分析。即用式(2.15.27)求出再用式(2.15.28)求出y(t)。频域有： (2.15.29)图(2.15.9) 频带信号通过带通系统图(2.15.10)等效基带信号(复包络)通过等效低通系统例2.15.2令带通系统的单位冲激响应为 且其输入信号为窄带信号，求其输出信号y(t)。解：由条件可知h(t)近似为窄带信号，因此其解析信号为：= ，0tT，带通系统的等效低通单位冲激响应为：= 0tT，同理可得到的解析信号 和复包络由此有：d=dcosdcos例2.15.3已知：第三章 随机过程3.1引言 通信系统中用于表示(载荷)信息的信号不可能是单一的确定的，而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种或那种信号之中。例如二元信息需用二种信号表示，具体出现哪个信号是随机的，不可能准确予测(如能予测，则无需通信了)我们称这种具有随机性的信号为随机信号。 通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更是各式各样，随机的不可预测。我们称其为随机干扰和随机噪声。尽管随机信号和随机干扰(噪声)取何种波形是不可预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现(样函数)是时间函数，所有实现(样函数)构成的集合称作随机过程的样函数空间(),所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，我们以大写字母X(t)，Y(t)等表示随机过程，以对应的小写字母x(t)，y(t)等表示随机过程的实现(样函数)。 3.2随机过程的统计(概率)特性随机过程的统计性质可由其分布函数和概率密度描述。 3.2.1随机过程的分布函数和概率密度 x1 (3.2.1)称作随机过程X(t)的一维分布函数。其中：P 表示概率如果存在： 则称其为X(t)的一维概率密度。 (3.2.2) 称：x1;X(t2)x2;X(tn)xn (3.2.3)为X(t)的n维分布函数。如果存在： (3.2.4)则称其为X(t)的n维概率密度。如果对于任何时刻t1,t2tn和任意n=1,2,都给定了X(t)的分布函数或概率密度，则认为X(t)的统计描述是充分的。3.2.2.随机过程的数字特征1) 数学期望(统计平均值)：dx=mX(t) (3.2.5)2) 方差：dxdxm2x(t)= (3.2.6)称为标准差。3) 自相关函数( 统计平均，或称集平均)： dx1dx2 (3.2.7)4) 自协方差函数： =dx1dx2= =。 (3.2.8)5) 归一化协方差函数相关系数 (3.2.9)若 或CX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)不相关。3.2.3 两随机过程的联合分布函数和数字特征 令：X(t)，Y(t)为两个随机过程；1) 联合分布函数和概率密度X(t1)，X(t2)X(tn)；Y(t11)，Y(t12).Y(t1m)n+m维随机向量的联合分布函数定义为：=x1,X(t2)x2X(tn)xn,Y(t11)y1,Y(t12)y2Y(t1m)ym (3.2.10)若存在: = (3.2.11)则称为X(t)和Y(t)的n+
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