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习题二一、填空题1. 已知随机变量X只能取1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为, 则c = 2_.解. 2. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为的概率 .3. 设服从参数为的两点分布，则的分布函数为 .4. 设随机变量(2, p), (3, p), 若, 则= 19/27 .解. , .5. 设随机变量服从泊松分布，且，则.6. 已知连续型随机变量的分布函数为，则 1 ， ， ， .7. 设随机变量的概率密度函数, 则 0.5 ,=； .8. 设随机变量的概率密度为，若使得, 则的取值范围是.9. 某公共汽车站有甲，乙，丙三人，分别等1，2，3路车，设每人等车的时间（分钟）都服从0，5上的均匀分布，则三人中至少有两人等车时间不超过2分钟的概率为_0.352_.10. 设k在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_3/5_.解. k的分布密度为 . P有实根 = P = Pk 1或k 2 =.11. 设 则服从的分布为 .12. 设 则服从的分布为 . 13. 若随机变量,且P(24)=0.3, 则P(0)= 0.2 .14设，若，则 3 .15. 设随机变量和的概率分布分别为 则分别为0.3，0.1，0.216. 设随机变量服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量在(0,4)内的概率密度为 。二、选择题1. 随机变量X的分布律为：为其分布函数，则（ C ）。2. 如下四个函数哪个不能成为随机变量X的分布函数 （B） (A) (B) 解. (A)不满足F(+) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.3. 设函数 , 可能是某个随机变量的概率密度函数，区间是（A）。 (A) (B) (C) (D) 4.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .5. 每张奖券中尾奖的概率为，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中尾奖的张数为，则服从（ A ）分布。 (A) 二项； (B) 泊松； (C) 指数； (D) 正态.6.连续型随机变量X的密度函数必满足条件( D ).(A)； (B)为偶函数；(C) 单调不减； (D).7.设随机变量的密度函数为的分布函数,则对任意实数有（B）(A) (B)(C) (D)8.设X的密度函数为，则为( A ).(A);(B); (C) ; (D) .9.设A,B为随机事件,则( B ).(A) (B) AB未必是不可能事件 (C) A与B对立 (D) P(A)=0或P(B)=010.设X服从上的均匀分布,则( D ).(A) (B)(C) (D)11.设X服从参数为的指数分布,则( C ).(A);(B);(C) ;(D).12.设随机变量, 的分布函数为，则的值为( A )。 （A）; （B）; （C）; （D）.13.设则( C ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .14.若,记其密度函数为，分布函数为,则(C ).(A); (B);(C) ; (D).15. 设随机变量则随的增大,概率 （C）(A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不变.16. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且，则必有（A）.（A） （B） （C） （D）17.设随机变量的分布函数为则随机变量的分布函数是（A）.18. 设随机变量X的密度函数是（B）.（A） （B）（C） （D） 三、解答题1. 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，求X的分布律。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。再列为下表X： 0， 1， 2P： 2. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布律及分布函数。 解 的分布列为 1 2 3 由分布函数的计算公式得的分布函数为 3. 已知离散型随机变量的分布律为：，试写出的分布函数。 解 的分布律为 所以的分布函数为 4. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X的分布律.解. 假设X表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i1次不中, 第i次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.当i =5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) =. 于是分布律为 X1 2 3 4 5 p0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00015. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布律.（i）. 每次取出的产品不放回; （ii）. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; (iii) . 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设Ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, )(i). 每次取出的产品不放回X1 2 3 4 p (ii). 每次抽取后将原产品放回X1 2 k p , (k = 1, 2, )(iii). 每次抽取后总以一个正品放回X1 2 3 4 p 6一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第个零件是不合格品的概率，以表示三个零件中合格品的个数，求的分布律。 解 设第个零件是合格品。则 ， ， ， .即的分布列为 . 7. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布律。解 的取值为1，2，3， 且 . 此即为的分布律。8从一批合格品率为0.98的产品中任取30件，用X表示其中合格品的个数. 求 (1) 随机变量X的分布律; (2) 最多有一件不合格品的概率.9.一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求(1)每分钟恰有8次呼叫的概率；(2) 每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解 设为每分钟接到的呼叫次数，则 （1） （2）10.设每分钟通过交叉路口的汽车流量服从泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有两辆车通过的概率11. 设随机变量的分布函数为,+,试求 (1) 系数与, (2) P (11), (3) 的概率密度函数.解 12. 设随机变量的概率密度为 求的分布函数. 解 的分布函数为 13. 设随机变量X的分布函数为，求（1）P (X2), P 0X3, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）14. 设连续型随机变量的密度函数为；求常数，使.解 (1) 因为 ，所以故.15. 在半径为，球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。 解 当时，设，则点落到以为球心，为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此，所以，的分布函数为的密度函数为 .16. 设随机变量的概率密度为, 以Y表示对进行三次独立观察中出现的次数,求概率P(=2).解 p = P ()=, 由已知 (3, )所以 17设随机变量的概率密度为 求：（1）常数；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可见 ， 。18. 随机变量X的密度为 , 求: (i). 常数c; (ii). X落在内的概率.解. (i). (ii). 19. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分），服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求的分布列及。 解 由题意，其中 ，于是的分布为 . 21. 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率 K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。22. 设XN（3.22）（1）求P (2X5)，P (4)2，P (X3)若XN（，2），则P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）决定C使得P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =3 24. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求P (120X200=0.80，允许最大为多少？ P (120X200)=又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为 解出 再查表，得。25已知离散型随机变量的分布列为 求的分布列. 解 的分布列为 . 26. 对圆片直径进行测量, 其值在5, 6上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D的分布密度为 假设, X的分布函数为F(x).当x 0时, F(x) = 0当x 0时当 F(x) = 0当 = 当 x 9p时 所以 . 27设随机变量的概率密度为 求的概率密度 解一1 当时函数单调增，反函数为，于是的概率密度为 解二2 设的分布函数为，则 28设，求（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解 的密度为 （1）在上单调增，反函数为，所以的密度为 （2）在上单调减，反函数为，所以的密度为 29. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为 , 求的分布密度是解. 当z 0时当z 0时 = , (C)是答案.15
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