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空间几何体的表面积和体积习题讲解一课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。考查形式：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积()全面积()体 积()棱柱棱柱直截面周长l直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和正棱台表中S表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，、分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径。四典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为、ycm、zcm、lcm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A2 B3 C6 D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3：锥体的体积和表面积例5 （2008山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是D(A)9（B）10(C)11 (D)12（2008江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦、可能相交于点 弦、可能相交于点的最大值为5 的最小值为1其中真命题的个数为CA1个 B2个 C3个 D4个（2008湖北卷3）用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为BA. B. C. D. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例6（2008北京，19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积（）证明：在中，由于，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（）解：过作交于，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型4：锥体体积、表面积综合问题例7ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例8（2007江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9（2008四川理，19）（本小题满分12分）如图，面ABEF面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD，BEAF，G、H分别是FA、FD的中点。()证明：四边形BCHG是平行四边形；()C、D、E、F四点是否共面？为什么？()设AB=BE，证明：平面ADE平面CDE.)解法一： ()由题设知，FG=GA,FH=HD. 所以GH ， 又BC ,故GH BC. 所以四边形BCHG是平行四边形. ()C、D、F、E四点共面.理由如下： 由BE ,G是FA的中点知，BE GF，所以EFBG. 由()知BGGH，故FH共面.又点D在直线FH上. 所以C、D、F、E四点共面. ()连结EG，由AB=BE，BE AG及BAG=90知ABEG是正方形. 故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BGED. 又EDEAE，所以BG平面ADE. 由()知，CHBG，所以CH平面ADE.由()知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE. 解法二： 由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直. 如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向建立直角坐标系A-xyz. ()设AB=a,BC=b,BE=c，则由题设得 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c). 所以， 于是又点G不在直线BC上.所以四边形BCHG是平行四边形.()C、D、F、E四点共面.理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以()由AB=BE，得c=a，所以又即 CHAE,CHAD,又 ADAE =A,所以CH平面ADE,故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例10（1）（2008四川理，8）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（）（）（）（）【解】：设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则： 这三个圆的面积之比为： 故选D【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；例11（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )（） （） （） （）【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则 故选B【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；例12如图99，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题例13已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例14如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。题型9：球的面积、体积综合问题例15（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。解：（1）设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H 由题设AOFAEG ，得AO1HAOF ，得点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型10：球的经纬度、球面距离问题例19（1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）（2）在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，设是北纬的纬线长，答：北纬纬线长约等于（2）解：设经过三点的截面为，设球心为，连结，则平面，所以，球心到截面距离为例16在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，中，所以，两点的球面距离等于点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。（2008广东文18）（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。【解析】（1） BD是圆的直径 又 , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱锥的体积为 .五思维总结1正四面体的性质 设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积：；(2)体积：；(3)对棱中点连线段的长：；(4)内切球半径：r=；(5)外接球半径：；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，底面半径为r，则 圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r 、r，则h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5. 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）
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