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20172018学年度第一学期期末调研考试高二数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数满足z+iz=i，则z=（ ）A. 12+12i B. 1212iC. 12+12i D. 1212i【答案】A【解析】设z=a+bi(a,bR)，则由已知有z+i=zi,a+(b+1)i=b+ai，所以a=bb+1=a，解得a=12b=12 ，所以z=1212i，故z=12+12i，选A.2.命题“x0，x2x0”的否定是（ ）A. x00，x02x00 B. x00，x02x00C. x0，x2x0 D. x0，x2x0【答案】B【解析】根据命题的否定易得：命题“x0，x2-x0”的否定是x00，x02-x003.下列命题中，不是真命题的是（ ）A. 命题“若am2bm2，则a1”是“a1且b1”的必要条件.C. 命题“若x2=9，则x=3”的否命题.D. “x1”是“1x1”的充分不必要条件.【答案】A【解析】命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为：若abm2,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.4.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、b、，且2b=a+c，则第二车间生产的产品数为（ ）A. 800 B. 1000 C. 1200 D. 1500【答案】C【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为：3600ba+b+c=360013=12005.在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如下图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x的值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】试题分析：7名学生的平均成绩为77分，因此70+74+70+x+78+79+80+817=77，解得x=7；考点：茎叶图；6. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）A. 67 B. 37 C. 89 D. 49【答案】B【解析】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.视频7.下面的程序运行后第3个输出的数是（ ）A. 2 B. 32 C. 1 D. 52【答案】A【解析】第一次：i=1,x=1，第二次：i=2,x=32,第三次：i=3,x=2，故选A8. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A. 13 B. 12 C. 23 D. 56【答案】A【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.视频9.若A，B为互斥事件，则（ ）A. P(A)+P(B)1【答案】B【解析】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以P(A)+P(B)110.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，给出下列命题：-2是函数y=f(x)的极值点；1是函数y=f(x)的极值点；y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零；函数y=f(x)在区间(2,2)上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在(-2,2)恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号11.已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若(OP+OF2)(OP-OF2)=0（为坐标原点），且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）A. 2+1 B. 3+1 C. 6+1 D. 3+12【答案】B【解析】由(OP+OF2)(OPOF2)=0有OP=OF2 ，又OF1=OF2=c ，所以PF1F2为直角三角形，且PF2=c，由勾股定理求出PF1=3c，根据双曲线的定义有PF1PF2=2a，即3cc=2a,c=(3+1)a，所以双曲线的离心率e=ca=3+1，选B.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质，有双曲线的定义，离心率的求法等，属于基础题。向量数量积的应用是解答本题的关键。12.设奇函数f(x)在R上存在导函数f(x)，且在(0,+)上f(x)x2，若f(1m)f(m) 13(1m)3m3，则实数m的取值范围为（ ）A. 12,12 B. (,1212,+)C. (,12 D. 12,+)【答案】D【解析】由f(1-m)-f(m) 13(1-m)3-m3得：f(1m)13(1m)3f(m)13m3，构造函数g(x)=f(x)13x3，g(x)=f(x)x20故g（x）在(0,+)单调递减，由函数fx为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，故1mmm12选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由f(x)13，如图阴影部分，所以这两个实数的和大于13的概率为1131312=171816.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a0)，给出定义：设f(x)是y=f(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=13x312x2+3x512，则g12018+g22018 +g20172018=_【答案】2017【解析】由题可得：g(x)=2x1，所以对称中心为（12，1） ，设g(x)上任意一点P(x1,y1)，因为关于（12，1）对称，所以P关于其对称的对称点为P(x2,y2)在g(x)上，且x2=1x1,y2=2y1所以g(x1)+g(1x1)=y1+2y1=2，故g12018+g22018 +g20172018=2017三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设p：实数x满足x24ax+3a20；q：实数x满足x2x60.（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）1,3；（2）0,1.【解析】试题分析：（1）根据题意先求出命题p和q的不等式解集，然后根据pq为真，则命题都为真，求交集即可；（2）若q是p的充分不必要条件则qp解析：(1)由x24ax3a20得(x3a)(xa)0，所以a当a1时，1由q为真时，实数x的范围是 -2 x3， 若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)(2) p：xa或x3a，q：x3，由q是p的充分不必要条件，有a-23a3a0 得0p q，即a的取值范围为(0,118.某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了50名教师.根据这50名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100.（1）求频率分布直方图中的值；（2）从评分在40,60)的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在50,60)的概率.【答案】（1）0.022；（2）310.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的性质可知各频率之和为1即可得a=0.022;（2）先计算出受访教师中评分在50，60)的人数：500.006103(人)，然后列出所有组合可能即可解析：(1)因为(0.0040.0060.018a20.028)101，所以a0.022 (2)受访教师中评分在50，60)的有：500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访教师中评分在40，50)的有：500.004102(人)，记为B1，B28分从这5名受访教师中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2 又因为所抽取2人的评分都在50，60)的结果有3种，即A1，A2，A1，A3，A2，A3，故所求的概率为310 .19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为3.（1）求该椭圆C的方程；（2）若过点M(1,12)的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M恰为弦AB的中点，求直线的方程.【答案】（1）x24+y23=1；（2）3x+2y4=0.【解析】试题分析：（1）由已知条件求出a2,b2的值，得出椭圆的方程；（2）由“点差法”求出直线AB的斜率，由直线的点斜式求出直线方程。试题解析：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=1， a2b2=1 ，又椭圆截抛物线的准线x=1所得弦长为3， 可得上面的交点为（1，32 ），1a2+94b2=1 由代入得4b49b29=0，解得b2=3或b2=-34 （舍去），从而a2=b2+1=4，该椭圆的方程为x24+y23=1 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得， 3x12+4y12=12，3x22+4y22=12， 相减可得3（x1x2）（x1+x2）+4（y1y2）（y1+y2）=0， 由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB的斜率为y1-y2x1-x2=-3x1+x24y1+y2=-32，即直线AB的方程为y-12=-32x-1 ，即为3x+2y4=020.【2018河北保定市高三上学期期末调研】如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，AB=AD=2，CA=CB=CD=BD=22（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AD与BC所成角的余弦值的大小；（III）求点D到平面ABC的距离【答案】（I）证明见解析；（II）24；（III）2427【解析】试题分析：（1）由已知条件得出AOBD，由计算得出AO2+CO2=AC2，得出AOC=90，AOOC，再由线面垂直的判定定理得出AO平面BCD；（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出AD,BC的坐标，求出cos的值为24，得出结果；（3）求出平面ABC的一个法向量，由点到平面的距离公式算出结果。试题解析：（1）连接OC，BO=DO，AB=AD，AOBD， BO=DO，BC=CD，COBD， 在AOC中，由题设知 AO=2，CO=3222=6,AC=22 ，AO2+CO2=AC2， AOC=90，即AOOC， AOBD，BDOC=O， AO平面BCD； （2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，6，0），D（2，0，0），AD=-2,0,-2,BC=-2,6,0 ，cos=ADBCADBC=24 ，异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为24 .（3）解：由（2）知：AB=2,0,-2 ,BC=-2,6,0.设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则ABn=0BCn=0 即2x-2z=0-2x+6y=0 ，令y=1，得=（，1，）又AD=-2,0,-2， 点D到平面ABC的距离h=ADnn=-23-233+1+3=2427.21.已知点M到点F1,0的距离比到y轴的距离大1.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线： x+2y4=0，交轨迹C于A、B两点， O为坐标原点，试在轨迹C的AOB部分上求一点P，使得ABP的面积最大，并求其最大值.【答案】（1）y2=4x， 或y=0x0 （2）4,4，322 【解析】试题分析：（1）求轨迹方程可直接根据题意设点列等式化简即可或者根据我们所学的椭圆、双曲线、抛物线的定义取对比也行本题因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴；（2）根据题意先分析如何使ABP的面积最大，可知当直线l的平行线与抛物线相切时ABP的面积最大,然后根据点到线的距离公式求出高，弦长公式求出底，即得出面积解析：（1）因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴设轨迹C的方程为：y2=2px ， p2=1 , 轨迹C方程为：y2=4x， 或y=0(x0) .（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,直线l化成斜截式为 y=-12x+2,当直线l的平行线与抛物线相切时ABP的面积最大,由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：y=f(x)=-2x，所以f(x)=-1x, f(x0)=-1x0=-12，解得x0=4，y0=-4,所以P点坐标(4,-4),P点到l的距离d=-8+4-45=85, A，B两点满足方程组y2=4xy=-12x+2 化简得x2-24x+16=0. x1,x2 为该方程的根. 所以x1+x2=24,x1x2=16 ,AB=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+14)(242-416)=810 ,SABP=12ABd=1281085=322 . 点睛：本题解题关键在于要熟悉抛物线定义，然后第二问先要分析出什么时候可以使三角形面积达到最大，此题显然是与直线平行且与抛物线相切时，最后按照三角形面积公式一一求出所需条件即可22.已知函数f(x)=x(a+1)lnx，g(x)=ax3(aR).（1）令h(x)=f(x)g(x)，讨论函数h(x)的单调性；（2）若对任意x1,e，都有f(x)g(x)恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）a0时，hx在1,+递增，0,1递减；a=1时，hx在0,+递增；0a1时，hx在0,1和a,+递增，1,a递减；（2）ae(e+2)e+1.【解析】试题分析：（1）求出函数h(x)的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（2）若任意x1,e ,都有fxgx恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),只需h(x)min0 即可，由（1）中的单调性，求出h(x)的最小值，再求出的范围。试题解析：(1)解：h(x)=f(x)-g(x)=x-(a+1)lnx-ax+3 ,定义域为0,+ h(x)=1-a+1x+ax2=x2-(a+1)x+ax2=(x-1)(x-a)x2 ,（x0）a0时，h(x)0得x1; h(x)0得0x1.所以h(x)在（1，+）递增，（0,1）递减a=1时，h(x)=(x-1)2x20 ，所以h(x)在（0，+）递增0a0得0x1; h(x)0得ax1时，h(x)0得0xa；h(x)0得1xa. 所以h(x)在（0,1）和(a, +)递增，(1,a)递减综上： a 0时，h(x)在（1，+）递增，（0,1）递减a=1时，h(x)在（0，+）递增0a1时，h(x)在（0,1）和(a, +)递增，(1,a)递减 (2) 若任意x1,e ,都有fxgx恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),只需h(x)min0 即可由（1）知，a1 时，h(x)在1,e递增，h(x)min=h(1)=4-a 0,解得a 4.又a1，所以a1 ，ae时，h(x)在1,e递减，h(x)min=h(e)= e-(a+1)-ae+30解得ae(e+2)e+1,又ae，所以 eae(e+2)e+1 ,1ae时，h(x)在1,a递减，a,e 递增。h(x)min=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna 0因为h(a)=1-(lna+a+1a)=-lna-1ah(e)=1，则h(a) 0恒成立，所以1ae ,综上：ae(e+2)e+1 .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求闭区间上的最值，考查分类讨论思想，恒成立问题的转化等，属于中档题。
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