河南省洛阳市学高二上期末数学试卷理科解析.doc

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1已知集合A=x|x21，集合B=x|1，则AB=（）A（1，0）B（0，1）C（1，+）D2已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A0BC1D23抛物线y=4x2的准线方程为（）Ax=1By=1Cx=Dy=4已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60，b2=ac，则A=（）A30B45C60D905“方程=1表示双曲线”是“n1”的（）A充分不必要条件B必要且不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知等差数列an中，前n项和为Sn，a10，a1007+a1008=0，则当Sn取最大值时，n=（）A1007B1008C2014D20157双曲线C：=1（a0，b0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A（1，）（，+）B（，+）C（1，）D（，2）8已知ABCDA1B1C1D1为正方体，则二面角BA1C1A的余弦值为（）ABCD9若命题“x（1，+），x2（2+a）x+2+a0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（，2B（，2C2，2D（，22，+）10已知椭圆+=1与双曲线=1有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则的值为（）A3B7C11D2111已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：在ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；命题“在锐角三角形ABC中，sinAcosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；命题“对任意三角形ABC，sinA+sinBsinC”为假命题正确的个数为（）A0B1C2D312如图，椭圆+=1（ab0）的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2BOP，|FA2|=+，过A2作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，A1M交椭圆于点N，则=（）A10B5C15D随点M在直线l上的位置变化而变化二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13已知数列an的前n项和为Sn=2n3n，则a6+a7+a8=_14已知实数x，y满足+y2=1，则x+2y的最大值为_15四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，A1AB=A1AD=BAD=60，则点B与点D1两点间的距离为_16已知p：“0”，q：“x22x+1m20（m0）”，命题“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，则实数m的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知f（x）=ax2（a+2）x+2（1）若实数a0，求关于x的不等式f（x）0的解集；（2）若“x”是“f（x）+2x0”的充分条件，求正实数a的取值范围18已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q1，S2=6，且a2是a3与a32的等差中项（1）求an和Sn；（2）设bn=log2an，求Tn=+19已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；（2）若B=，求sinA+sinC的取值范围20已知点A（，0）和圆B：（x）2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P（1）求点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由21如图，ABCD是边长为a的正方形，PA平面ABCD（1）若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；（2）若BEPC且交点为E，BE=a，G为CD的中点，线段AB上是否存在点F，使得EF平面PAG？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由22斜率为1的直线l经过抛物线E：y2=2px（p0）的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4（1）求实数p的值；（2）点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，PCD的内切方程为（x1）2+y2=1，求PCD面积的最小值2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1已知集合A=x|x21，集合B=x|1，则AB=（）A（1，0）B（0，1）C（1，+）D【考点】交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：1x1，即A=（1，1），当x0时，B中不等式变形得：x1，此时x0；当x0时，B中不等式变形得：x1，此时x1，B=（，0）（1，+），则AB=（1，0），故选：A2已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A0BC1D2【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图ABC及内部），目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可知当直线经过点A（1，2）时，取最大值2，故选：D3抛物线y=4x2的准线方程为（）Ax=1By=1Cx=Dy=【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得【解答】解：因为抛物线y=4x2，可化为：x2=y，则抛物线的准线方程为y=故选：D4已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60，b2=ac，则A=（）A30B45C60D90【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=ac，化为（ac）2=0，解得a=c又B=60，ABC是等边三角形，A=60故选：C5“方程=1表示双曲线”是“n1”的（）A充分不必要条件B必要且不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】方程=1表示双曲线（2+n）（n+1）0，解得n即可得出【解答】解：方程=1表示双曲线（2+n）（n+1）0，解得n1或n2“方程=1表示双曲线”是“n1”的必要不充分条件故选：B6已知等差数列an中，前n项和为Sn，a10，a1007+a1008=0，则当Sn取最大值时，n=（）A1007B1008C2014D2015【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和题意易得数列an的前1007项为正，从第1008项开始为负，易得结论【解答】解：等差数列an中，前n项和为Sn，a10，a1007+a1008=0，a10070且a10080，即等差数列an的前1007项为正，从第1008项开始为负，当Sn取最大值时，n=1007故选：A7双曲线C：=1（a0，b0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A（1，）（，+）B（，+）C（1，）D（，2）【考点】双曲线的简单性质【分析】将直线y=x代入双曲线的方程，由题意可得b2a20，再由a，b，c的关系和离心率公式即可得到所求范围【解答】解：将直线y=x代入双曲线=1，可得：（b2a2）x2=a2b2，由题意可得b2a20，即有c22a20，即为e22，即e故选：B8已知ABCDA1B1C1D1为正方体，则二面角BA1C1A的余弦值为（）ABCD【考点】二面角的平面角及求法【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角BA1C1A的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），=（1，1，0），=（0，0，1），=（0，1，1），设平面A1C1A的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面A1C1B的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，1），设二面角BA1C1A的平面角为，则cos=二面角BA1C1A的余弦值为故选：C9若命题“x（1，+），x2（2+a）x+2+a0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（，2B（，2C2，2D（，22，+）【考点】全称命题【分析】根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数，讨论判别式的取值，进行求解即可【解答】解：判别式=（2+a）24（2+a）=（a+2）（a2），若判别式=（a+2）（a2）0，即2a2时，不等式恒成立，满足条件若判别式=（a+2）（a2）0即a2或a2时，设f（x）=x2（2+a）x+2+a，要使命题“x（1，+），x2（2+a）x+2+a0”为真命题，则满足，则a0，a2或a2，a2，综上，a2，故选：B10已知椭圆+=1与双曲线=1有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则的值为（）A3B7C11D21【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的P的坐标，求出向量，的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：椭圆+=1与双曲线=1有共同焦点为（3，0），即有m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点P（，），则=（3，），=（3，），即有=（3）（3）+=+9=11故选：C11已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：在ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；命题“在锐角三角形ABC中，sinAcosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；命题“对任意三角形ABC，sinA+sinBsinC”为假命题正确的个数为（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据等差数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断根据四种命题之间的关系进行判断即可根据正弦定理进行判断即可【解答】解：若acos2+ccos2=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，可得sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；反之也成立，即，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；故正确，在锐角三角形ABC中，则A+B，于是AB0，则sinASIn（B）=cosB，即sinAcosB成立，则原命题为真命题则逆否命题也为真命题，命题“在锐角三角形ABC中，sinAcosB”的逆命题为：若sinAcosB，则三角形为锐角三角形，在三角形中，当B为钝角时，cosB0，此时满足sinAcosB，则命题的逆否命题为假命题，故错误，在三角形中，由正弦定理得若“对任意三角形ABC，sinA+sinBsinC”则等价为对任意三角形ABC，a+bc成立，即命题“对任意三角形ABC，sinA+sinBsinC”为真命题，故错误，故正确的个数是1，故选：B12如图，椭圆+=1（ab0）的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2BOP，|FA2|=+，过A2作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，A1M交椭圆于点N，则=（）A10B5C15D随点M在直线l上的位置变化而变化【考点】椭圆的简单性质【分析】由F的坐标，求得P的坐标，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得b=c，再由条件可得a=，b=c=，求得椭圆方程，设出M的坐标，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，消去y，由韦达定理可得N的横坐标，进而得到N的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：由F（c，0），可得P（c，），A2（a，0），B（0，b），即有kOP=，可得=，即有b=c，a=c，|FA2|=a+c=+，解得a=，b=c=，即有椭圆的方程为+=1，设M（，t），A1（，0），即有直线A1M：y=（x+），代入椭圆方程x2+2y2=10，可得（20+t2）x2+2t2x+10t2200=0，（）xN=，可得xN=，yN=（xN+）=，则=+t=10故选：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13已知数列an的前n项和为Sn=2n3n，则a6+a7+a8=215【考点】数列的求和【分析】利用a6+a7+a8=S8S5，代入计算即得结论【解答】解：Sn=2n3n，a6+a7+a8=S8S5=（2838）（2535）=215，故答案为：21514已知实数x，y满足+y2=1，则x+2y的最大值为2【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的参数方程和三角函数的性质求解【解答】解：实数x，y满足+y2=1，02，x+2y=2cos+2sin=2sin（），x+2y的最大值为2故答案为：215四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，A1AB=A1AD=BAD=60，则点B与点D1两点间的距离为【考点】棱柱的结构特征【分析】由已知得=，由此能求出点B与点D1两点间的距离【解答】解：四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，A1AB=A1AD=BAD=60，=，=（）2=+2+2+2=1+1+1+211cos120+211cos120+211cos60=2，|=点B与点D1两点间的距离为故答案为：16已知p：“0”，q：“x22x+1m20（m0）”，命题“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，则实数m的取值范围是（，3【考点】复合命题的真假【分析】分别求出p，q为真时的x的范围，根据pq，而q推不出p，求出m的范围即可【解答】解：若p：“0”为真命题，则p：2x2；若q：“x22x+1m20（m0）”为真命题，则1+mx1m，命题“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，即pq，而q推不出p，解得：m3，将m=3代入符合题意，故答案为：（，3三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知f（x）=ax2（a+2）x+2（1）若实数a0，求关于x的不等式f（x）0的解集；（2）若“x”是“f（x）+2x0”的充分条件，求正实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法【分析】（1）f（x）=ax2（a+2）x+2=（ax2）（x1），a0，可得ax2（a+2）x+2=0的两根为，且1，即可得出（2）f（x）+2x0化为：g（x）=ax2ax+20，由“x”是“f（x）+2x0”的充分条件，可得，又a0，解得a范围【解答】解：（1）f（x）=ax2（a+2）x+2=（ax2）（x1），a0，ax2（a+2）x+2=0的两根为，且1关于x的不等式f（x）0的解集为（2）f（x）+2x0化为：g（x）=ax2ax+20，“x”是“f（x）+2x0”的充分条件，又a0，解得a正实数a的取值范围是18已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q1，S2=6，且a2是a3与a32的等差中项（1）求an和Sn；（2）设bn=log2an，求Tn=+【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）联立a1（1+q）=6及2a1q=a1+a1q22，计算可知q=2、a1=2，进而计算可得结论；（2）通过（1）裂项可知=（），进而并项相加即得结论【解答】解：（1）依题意，a1（1+q）=6，2a1q=a1+a1q22，即a1（q22q+1）=2，并化简得：3q27q+2=0，解得：q=2或q=（舍），代入并化简得：a1=2，则an=2n，Sn=2n+12；（2）由（1）可知bn=log2an=n，=（），Tn=+=（1+）=（1+）=19已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；（2）若B=，求sinA+sinC的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）b是a与c的等比中项，可得cosB=，即可得出B的取值范围（2）sinA+sinC=sinA+=，由于，可得1即可得出【解答】解：（1）b是a与c的等比中项，cosB=，当且仅当a=c时取等号，cosB1，又0B，B的取值范围是（2）sinA+sinC=sinA+=sinA+cosA+sinA=，1故sinA+sinC的取值范围是20已知点A（，0）和圆B：（x）2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P（1）求点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）直接由题意可得|PA|+|PB|=4|AB|=2，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b2=a2c2求得b2，则点P的轨迹方程可求；（2）设S（x1，y1），T（x2，y2），由题意可设直线ST的方程为y=x+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用线段ST的中点（m， m）在对称轴2x+y+1=0上，即可得出结论【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|PA|，|PA|+|PB|=4|AB|=2由椭圆定义知P点的轨迹是以A，B为焦点椭圆，a=2，c=b=，点P的轨迹的方程是=1；（2）设存在直线ST的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，化简可得3x2+4mx+4m28=0S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，线段ST的中点（m， m）在对称轴2x+y+1=0上，m+m+1=0，m=，满足0，存在直线ST的方程为y=x+21如图，ABCD是边长为a的正方形，PA平面ABCD（1）若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；（2）若BEPC且交点为E，BE=a，G为CD的中点，线段AB上是否存在点F，使得EF平面PAG？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）以A为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面PCD的法向量，即可求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；（2）确定E的坐标，平面PAG的法向量，利用EF平面PAG， =0，即可得出结论【解答】解：（1）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），E（，），=（，），=（a，0，0），=（0，a，a），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取=（0，1，1），则直线AE与平面PCD所成角的正弦值为=；（2）G（，a，0），设P（0，0，c）（c0），则=（a，a，c），设=，则E（1）a，（1）a，c），=（a，（1）a，c），BE=a，（a）2+（1）a2+（c）2=BEPC，a2（1）a2+c2=0，c2=a2，由解得=，c=a，E（a， a， a），P（0，0，a）若存在满足条件的点F，可设AF=l（0la），则F（l，0，0），=（la，a，a），设平面PAG的法向量为=（s，t，p），则，=（2，1，0），EF平面PAG，=0，2l+aa=0，l=a，存在满足条件的点F，AF=a22斜率为1的直线l经过抛物线E：y2=2px（p0）的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4（1）求实数p的值；（2）点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，PCD的内切方程为（x1）2+y2=1，求PCD面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；（2）设P（x0，y0），C（0，c），D（0，d）不妨设cd，直线PC的方程为yc=x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值【解答】解：（1）抛物线的焦点为（，0），直线l的方程：y=x，与抛物线E：y2=2px联立消去y得（x）2=2px，x23px+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，p=1；（2）设P（x0，y0），C（0，c），D（0，d）不妨设cd，直线PC的方程为yc=x，化简得（y0c）xx0y+x0c=0，又圆心（1，0）到直线PC的距离为1，故=1，即（y0c）2+x02=（y0c）2+2x0c（y0c）+x02c2，不难发现x02，上式又可化为（x02）c2+2y0cx0=0，同理有（x02）d2+2y0dx0=0，所以c，d可以看做关于t的一元二次方程（x02）t2+2y0tx0=0的两个实数根，则c+d=，cd=因为点P（x0，y0）是抛物线上的动点，所以y02=2x0，所以（cd）2=（c+d）24cd=，又x02，所以cd=所以SPBC=（cd）x0=x02+422+4=8，当且仅当x0=4时取等号，此时y0=2，所以PBC面积的最小值为8，此时P（4，2）2016年9月16日第21页（共21页）