概率统计复习重点.doc

概率统计期末重点第一章 随机事件及其概率【说明】本章最主要的知识点是全概率公式和贝叶斯公式，所以就讲这一部分，其余的参考书本。两个公式：全概率公式；设实验E的样本空间为，事件构成完备事件组（的一个划分），且，对于事件B有贝叶斯公式：设实验E的样本空间为，事件构成完备事件组（的一个划分），且，对于事件B（）有【例1-1】一商店为甲、乙、丙三个厂销售同类型号的家电产品。这三个厂产品的比例为1：2：1，且它们的次品率为0.1，0.15，0.2，某顾客从这些产品中任意选购一件，试求：（1） 顾客买到正品的概率；（2） 若已知顾客买到的是正品，则它是甲厂生产的概率是多少？解：设由题意1） 由全概率公式2） 由贝叶斯公式【例1-2】设甲袋中有四个红球和两个白球，一代中有三个红球和两个白球。现从甲袋中任取两个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取一个球，发现取出的球是白球，则从甲袋中取出（放入乙袋）的两个球都是白球的概率是多少。解：设由题由贝叶斯公式第三章 随机变量的数字特征【说明】本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等知识，比较重要，难度不是很大。1. 随机变量的期望主要掌握离散型、连续性随机变量的期望求法、常见的离散型、连续性随机变量的期望要求记住，一元函数随机变量期望的求法、数学期望的性质以及条件期望等。u 离散型期望：u 连续性期望：u 常见期望及方差分布期望方差0-1分布pP(1-p)二项分布XB(n,p)npNp(1-p)XP()a,b上均匀分布（a+b）/2/XE()1/XN(,2)2u 以为离散性随机变量函数的期望首先写出Y=g(X)函数的分布律，然后按照常规方法求解期望。u 一维连续性随机变量的期望u 数学期望的性质 X、Y相互独立（或者不线性相关）， 后面两个都可以推广至有限多种的情况。u 条件期望i. 称为在时X的条件期望；ii. 称。2. 方差A） 必须记住的公式：B） 性质 X、Y相互独立或者不相关 最后一个公式可以推广至多个。3. 协方差和相关系数1.必须记住的公式2.对于任意X，Y：3.性质4. 相关系数 若则X、Y不相关 反之，则相关 若X，Y相互独立，则X，Y一定不相关，反之不成立。【例3-1】设随机变量，求解：由连续型随便变量数学期望的定义式可得 【例3-2】二元随机变量的联合概率分布表如下01201，求。解：首先写出Z1，Z2对应的分布律。0123012于是【例3-3】二维随机变量，求解：首先求出关于X的边缘概率密度1） 当时，有2） x为其他值时，则综合上述于是 【例3-4】二维随机变量的联合分布表如下01201求，X与Y是否相关？是否相互独立？解：首先写出两个边缘分布律01012于是012于是，则X、Y不相关01于是014于是同时也可验证X、Y不独立。【例3-5】设二元随机变量的联合改了密度函数为求：I) 常数II)III)IV)V)解：本题综合考察了第二章有关连续性随机变量的相关知识，很有代表性。I） 由性质可得II） 首先求出边缘概率密度，然后对其积分关于X的边缘概率密度为i) 当时，有ii) x为其他值时，则综合上述从而，i) 当，则=0ii) 当，则iii) 当x2时，则=1综合上述III） 我们可以求得即可得IV） 由题，V）第四章 大数定理【说明】本章考点很明确，考得就是切比雪夫不等式以及拉普拉斯定理。1. 切比雪夫不等式设X为随机变量，期望和方差都存在，对于任意的，有【例4-1】随机变量，由切比雪夫不等式有_。解：【例4-2】随机变量，用切比雪夫不等式估计的值。解：【例4-3】设X服从区间（-1，1）上的均匀分布。b) 求；c) 使用切比雪夫不等式估计的下界。解：（1） （2）即上界为0.074。2. 拉普拉斯定理【二项分布以正态分布为极限，即时，】这里，如果在实际解题中，只需要n足够大即可。（1）（2）【例4-4】某批产品（批量很大）次品率为p=0.1，从这批产品中随机抽取1000件。求抽的次品树在90100之间的概率。解：根据拉普拉斯定理，X为次品数，则【例4-5】设电站供电网有10000赞电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，假设开、关事件彼此独立，记随机变量X为夜晚同时开着的电灯数，1） 写出X的分布；2） 利用切比雪夫不等式，估计夜晚同时开着的电灯数再68007200之间的概率；3） 利用拉普拉斯定理，计算夜晚同时开着的电灯数在68007200之间的概率的近似值。解：1）2）由切比雪夫不等式3） 由拉普拉斯定理第五章 统计量及其分布【说明】本章重点内容很少，但是有几个点还是需要知道的。总体概念及表示方法、样本以及样本值概念及表示方法、样本容量、以及总体和样本之间独立同分布的性质，这些概念只要知道即可，会用就可以了。常见的统计量：u 样本平均数（样本均值）u 样本方差u 样本k阶原点矩u 样本k阶中心矩第六章 参数估计【说明】本章主要围绕参数估计展开，主要讲述了点估计（包括矩估计、极大似然估计）和区间估计。接着就是正态总体参数的区间估计，就是怎么求置信区间的问题。1. 矩估计步骤：1） 有几个未知参数，分别求出总体的一阶到几阶原点矩；2） 把未知参数解出，用总体的原点矩表示；3） 分别用样本的各阶矩估计总体的各阶矩得出参数的矩估计结果。【例6-1】设总体，是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的据估计值。解：反解出：于是马上可以得到矩估计为：据估计值【例6-2】设总体的概率密度其中都是未知参数，是来自总体的样本，求的矩估计量。解：反解出得于是，矩估计量2. 极大似然估计步骤：1） 首先写出似然函数2） 对似然函数取对数后求导，或者偏导后得到似然方程（组）为一值时，则为一向量，则求偏导3） 然后解出根就是的极大似然估计。【例6-3】设总体，是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的极大似然估计值。解：接着，对数化然后，因为只有一个值，故求导即可解得于是极大似然估计量【例6-4】总体是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的极大似然估计值。解：接着对数化求得得到似然方程得到解【说明】只要步骤掌握了，极大似然估计的求解可能更加简单些，当然，每一种点估计都不难。3. 正态总体参数的区间估计1） 方差已知，对均值区间估计，置信度为1-的置信区间为，当=0.01时，=0.05时。2） 方差未知，对均值区间估计，置信度为1-的置信区间为。【例6-5】对某一零件的长度进行5次独立测量得（单位：cm）11.2，10.8，10.9，11.3，10.9已知测量无系统误差，且测量长度服从N(,4)求该零件平均长度的95%置信区间，如果总体方差未知，置信区间为何？解：1）首先求出，而带入公式马上可得于是置信区间为（9.27，12.77）2） 此时需要求出S=0.21这样，带入公式可得于是置信区间为（10.78，11.26）。【说明】其实求置信区间，当已知时，是比较简单的，但是未知，则比较复杂。因为求S比较复杂在第三章中的内容很多包括第二章的知识，所以在编排中没有做出，这需要大家自己以课本为基础去复习，其他几章都列出了本章的重点及考试要点，希望大家仔细去看，争取都考出好成绩。 由于能力有限，如果不完整，请大家帮忙指出修正！ 07自动化（1） 郑龙呈