概率论与数理统计期末复习20题及解答.doc

概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率3、已知将两字符之一输入信道时输出的也是字符或，且输出结果为原字符的概率为. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“”，“”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“”的概率.4、试卷中的一道选择题有个答案可供选择，其中只有个答案是正确的某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量的分布函数为（1）求系数及；（2）求落在区间内的概率；（3）求的概率密度6、设随机变量的概率密度为，求：（1）常数；（2）；（3）的分布函数7、设二维随机变量的联合概率密度为求：（1）系数；（2）的边缘概率密度；（3）概率8、设二维随机变量的概率密度为求：（1）的边缘概率密度，；（2）概率；（3）判断,是否相互独立.9、设和是两个相互独立的随机变量，的概率密度函数为（1） 求和的联合概率密度；（2）求概率【第三章】数字特征10、设随机变量的概率密度为 ，已知，求：（1）的值；（2）11、设随机变量的概率密度为求：（1）常数；（2）和12、设的联合概率分布如下：（1）求的数学期望,，方差，（2）求的协方差与相关系数【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩（百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. 已知，14、两台机床分别加工生产轴与轴衬设随机变量（单位：）表示轴的直径，随机变量（单位：）表示轴衬的内径，已知，显然与是独立的如果轴衬的内径与轴的直径之差在之间，则轴与轴衬可以配套使用求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率已知【第五章】 数理统计基本知识15、设总体，是来自该总体的简单随机样本，求常数使16、设总体，从该总体中抽取容量为的样本，求概率【第六章】参数估计17、设总体的概率密度为其中参数设是取自该总体的一组简单随机样本，为样本观测值.（1）求参数的矩估计量（2）求参数的最大似然估计量18、设总体的概率密度为其中参数设是取自该总体的一组简单随机样本, 为样本观测值.（1）求参数的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取个样品，测得其宽与长之比的平均值为样本标准差为. 试问在显著性水平水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为（单位:,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取人测量收缩压增高值，计算得到样本均值，样本标准差. 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则，又，于是由概率乘法定理得所求概率为=.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率【解】 设表示“此人第次拨号能拨通所需电话” ，表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为 .3、已知将两字符之一输入信道时输出的也是字符或，且输出结果为原字符的概率为. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“”，“”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“”的概率.【解】设输入的是“”，输入的是“”，输出的是“”，则，从而由全概率公式得.4、试卷中的一道选择题有个答案可供选择，其中只有个答案是正确的某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率【解】设表示“该考生会解这道题”，表示“该考生选出正确答案”，则，（1）由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量的分布函数为（1）求系数及；（2）求落在区间内的概率；（3）求的概率密度【解】（1）由分布函数的性质可知 ，由此解得 （2）的分布函数为，于是所求概率为（3）的概率密度为6、设随机变量的概率密度为，求：（1）常数；（2）；（3）的分布函数【解】（1）由概率密度的性质可知，由此得（2） .（3）当时，有；当时，有；当时，有.所以，的分布函数为7、设二维随机变量的联合概率密度为求：（1）系数；（2）的边缘概率密度；（3）概率【解】（1）由联合概率密度的性质可知，由此得（2）当时，有；当或时，显然有所以的边缘概率密度（3）8、设二维随机变量的概率密度为求：（1）的边缘概率密度，；（2）概率；（3）判断,是否相互独立.【解】（1）当时，有；当或时，显然有.于是的边缘概率密度为当时，有；当或时，显然有.于是的边缘概率密度为（2）.（3）容易验证,故与不独立. 9、设和是两个相互独立的随机变量，的概率密度函数为（2） 求和的联合概率密度；（2）求概率【解】（1）由题意知，的概率密度函数为因为和相互独立，故和的联合概率密度（2）【第三章】数字特征10、设随机变量的概率密度为 ，已知，求：（1）的值；（2）【解】（1）由概率密度的性质可知；又联立方程组 解得，（2） 由数学期望的性质，有11、设随机变量的概率密度为求：（1）常数；（2）和【解】（1）由概率密度的性质可知，由此得（2）由数学期望公式得.由于，故利用方差计算公式得.12、设的联合概率分布如下：（1）求的数学期望,，方差，（2）求的协方差与相关系数【解】 由的联合概率分布知服从分布：，由分布的期望与方差公式得，由的联合概率分布知,从而，【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩（百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. 已知，【解】 由题意，可设近似服从正态分布.已知，即，由此得，于是，从而近似有.（1），由此可知，本次考试的不及格率约为.（2） ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬设随机变量（单位：）表示轴的直径，随机变量（单位：）表示轴衬的内径，已知，显然与是独立的如果轴衬的内径与轴的直径之差在之间，则轴与轴衬可以配套使用求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率已知【解】 设，由与的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，即于是所求概率为 【第五章】 数理统计基本知识15、设总体，是来自该总体的简单随机样本，求常数使【解】 由知，于是，又由分布的定义知，所以，比较可得16、设总体，从该总体中抽取容量为的样本，求概率【解】 由题设，于是从而 【第六章】参数估计17、设总体的概率密度为其中参数设是取自该总体的一组简单随机样本，为样本观测值.（1）求参数的矩估计量（2）求参数的最大似然估计量【解】（1），令，即，解得参数的矩估计量为（2）样本似然函数为，上式两边取对数得，上式两边对求导并令导数为零得 ，解得，从而参数的最大似然估计量为18、设总体的概率密度为其中参数设是取自该总体的一组简单随机样本, 为样本观测值.（1）求参数的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【解】（1）样本似然函数为上式两边取对数得，求导数得，令解得，于是参数的极大似然估计量为.（2），于是是的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取个样品，测得其宽与长之比的平均值为样本标准差为. 试问在显著性水平水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为： ； ： 因为未知，所以检验统计量为，关于的拒绝域为现在，所以统计量的观测值为因为，即的观测值不在拒绝域内，从而接受原假设，即可以认为这批产品是合格品20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为（单位:,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取人测量收缩压增高值，计算得到样本均值，样本标准差. 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平）.【解】由题意，待检验的假设为： ； ： 因为未知，所以取统计量，且关于的拒绝域为.现在，所以统计量的观测值为因为，即的观测值在拒绝域内，从而拒绝原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.