资源描述
第七章习题解答1、设为一度量空间，令 ，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有 ，令 有。所以（因为闭集）。这就是说， 综上所证有：。4、设为度量空间上的距离，证明也是上的距离。证明：首先由为度量空间上的距离且，因此显然有且的充要条件是，而的充要条件是，因此的充要条件是。其次由函数在上单调增加有即三角不等式成立。所以也是上的距离。5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。证明：由题2距离的定义：则有：若上述距离收敛于，则。所以对任何非负整数有：。由此对任何非负实数有。从而对任何非负整数，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。反之：若对每个，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数，则对每个有，则有：从而对任意的非负实数有：。又由于从而；，于是有：。从而取时 于是有。从而点列按题2中距离收敛于。7、设及是度量空间中两个集，如果，证明必有不相交开集及分别包含及。证明：记。，以为半径作点的邻域，令，则是开集且。同理可作开集，使得。余证，如若不然即，则存在，由及的作法可知，必有，使得，即，。从而有另一方面，从而有，由于，故得矛盾。因此。9、设是可分距离空间，为的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集，使，证明必可从中选出可数个集组成的一个开覆盖。证明：因是可分距离空间，所以在中存在可数稠密子集。因是的一个开覆盖。因此，存在中的开集，使得且是的内点。存在，使，因在中稠密，从而可在上取出中的点，再取有理数，使得（此处的有理数与均有关系）于是，由的任意性从而满足该条件的开集的全体覆盖。又由于的和均为可数故这种开集的全体至多可数。10、设是距离空间，为中的子集，令，证明是上的连续函数。证明：，则由可得同理可得：。因此当即时有。所以在处连续，由在上的任意性得在上连续。14、Cauahy点列是有界点列。证明：设是度量空间中的中的Cauahy点列，则有。特别取，则对任意的有，则 ，即点列的直径，从而点列是有界集。其次对于，取，则即是中的有界集。又集，所以有界。设是赋范空间，是中的Cauahy点列点列，则时有，今取，则，使得。，取，则，有。所以点列有界。18、设为完备度量空间，是到中的映射，记，若，则映射有唯一不动点。证明：因，由级数收敛之必要条件有，于是对于，时有。于是时，。从而从后，映射是到的压缩映射。又由于是完备的，所以映射有唯一不动点。 第八章习题解答 1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.解 设是满足收敛的数列全体组成的空间.若.定义如下:对,则对,.由有界线性算子的定义知,是有界算子,且,其中,所以.设,则.令,则,故不是闭集.证毕.2.求上线性泛函的范数.解 由得.设则,且,因而, 故.3. 设无穷阵,满足,作到中算子如下:若,则.证明:.证 设,则若,因此.对,使得.设,其中,则,且.若,则,因此.由于是任意的,故.因而.4. 设,在中定义线性算子,其中.证明:是有界线性算子,并且.证 设,由于.又对,使得.设,其中,则,而.则.由的任意性,得,所以.证毕.5. 设是维向量空间,在中取一组基是矩阵,.作到中的算子如下:当时,其中.若规定向量的范数为.证明上述算子的范数满足. 证 若,则,所以.对任意的,于是,所以, .因此.证毕.6. 设赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子,若的零空间是闭集,是否一定有界?解答 令P ,其中P 是上多项式函数全体,它是的一个子空间.是P 到P 的微分算子.若,则是常值函数,而常值函数全体是一个闭子集.而由第一节例9可知,是非有界的.7.作中算子如下:当时,其中.证明:是有界算子.证 若,则,所以,为有界算子,且.证毕.8. 按范数成赋范空间,问的共轭空间是什么?解 记按范数组成的赋范线性空间为,按范数组成的赋范线性空间为.下面证明.定义到的映射,对,其中,对,于是.反之,对,定义:对,则.因此是从到上的映射.(也就是说,是满射)若,则,故;若,令,则.因此,从而.于是是到的同构映射,在同构的意义下,.9. 设表示极限为0的实数列全体,按通常的加法和数乘以及,构成Banach空间,证明:. 证 令,则.对,定义.则有,且.事实上:记,则且.,由于,因此,令,因而,且. 另一方面,对,定义上线性泛函若,则,因此,又因为,因此,且,所以. 由以上证明可知,是到上的同构映射,而在同构的意义下, =.证毕. 第九章习题解答1. 设是内积空间中的点列,若,且对,有,证明: .证 ,所以,.2. 设是一列内积空间,令,当时,规定,其中,证明:是内积空间,又当都是Hilbert空间时,证明也是Hilbert空间. 证 若. .所以,是内积空间.又由第7章第22题知,是完备的,因此是Hilbert空间.3. 设是维线性空间,是的一组基,证明成为上内积的充要条件是存在正定方阵,使得.证 必要性 若是上内积.设.对,且当时,因此是正定方阵.充分性 若是正定方阵,则对令.下面证明是中内积.,因是正定方阵,可得且当时,. .因此是上内积.证毕.4. 设是实内积空间,若,则.当是复内积空间时,这个结论是否仍然成立?解 当是实内积空间且时,由,所以,即. 在复内积空间上此结论不成立.例如,但. 5. 证明:内积空间中两个向量垂直的充要条件是:对一切数,成立. 证 必要性 若,则对任意复数,有,因此,. 充分性 若对一切数,有.不妨设,令,则由,得,即,所以.证毕.6. 设是Hilbert空间,且,证明是中包含的最小闭子空间.证 设中包含的最小闭子空间为,若,则存在,使.设,则,所以,即.又是中的闭子空间,且,则,从而,故.7. 设是中的规范正交系,说明两元函数列是中的规范正交系.若完全,则两元函数列也是完全的.证 (因为较繁,略)8. 设为内积空间中的规范正交系.证明:到的投影算子为.证 记,则是的闭子空间.对,其中.因为是的完全规范正交系,因此,又,因此.由投影算子的定义.证毕.9. 设为可分Hilbert空间,证明中任何规范正交系至多为可数集.证 如果有一个规范正交系是不可数集,则对任意的,有.因为可分,则存在的可数稠密子集.因为不可数,则及,使,并有.这与矛盾.10. 设是内积空间,是它的共轭空间,表示上线性泛函,若到的映射是一一到上的映射,则是Hilbert空间.证 设是中的Cauchy列.由可得是中的Cauchy列.因为是完备的,因此有,使.设,其中.设,则所以是完备的内积空间,即是Hilbert空间.11. 设和是Hilbert空间,是到中的有界线性算子,N 和R 分别表示算子的零空间和值域,证明N R , N R , R 的闭包N , R 的闭包= N .证 (1)设N ,则.如果R ,则有,所以R ,即N R ,如果R ,则对,由的任意性可得,即N ,也就是说N R ,故等号成立.(2) 由(1)可得,N R .用代替,可得N R R . (3) 首先,由R R 的闭包,可知R 的闭包R ,从而R 的闭包( R 的闭包)R N (由(2)的结论可知最后的等号成立); 又设R (N ),其中R 的闭包,R 的闭包.对,所以,即N ,这样,即,于是R 的闭包,故R 的闭包N .(4)将(3)中的结论用代替,由可得R 的闭包= N .证毕.12. 设是Hilbert空间中的有界线性算子,.证明.证 若,则.因此.由第1节的引理1,与线性相关.设,由可得,即.因而,即等式成立.证毕.(该定理证明了满足条件的线性有界算子的不动点集与的不动点集相等)13. 设是Hilbert空间,是的闭子空间,证明:.证 设,其中,因为,所以,又对,因而. 又对,所以.若,则.若,则令,因而.故.证毕.13题的几何意义如图 14. 设是复Hilbert空间,为的闭子空间,则为上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是是一维子空间.证 必要性 若是非零连续线性泛函的零空间,则,对,使,因此,即是一维子空间.充分性 若是由非零元生成的一维子空间.令,则,即,所以是非零连续线性泛函的零空间.证毕.15. 设为Hilbert空间上的正常算子,为的笛卡儿分解,证明:(1) ; (2) .证 (1) 由及得.(2) .证毕.16. 证明:是实内积空间上自伴算子时,的充要条件为对所有,成立.证 必要性 时, 对所有,当然成立;充分性 若对,.则对,由的任意性,知.又由的任意性,得.证毕. 17. 设是Hilbert空间中如下定义的算子:,证明是酉算子.证 对,有.因此,若定义,则,即.而,因此,同理可得,即是酉算子.证毕.18. 设是平面上有界可测集,表示上关于平面测度平方可积函数全体,对每个,定义,证明是正常算子.证 设,定义上算子,对,.于是,对,由的任意性得,即是正常算子.证毕. 第十章习题解答 1. 设赋范线性空间,是中个线性无关向量,是一组数,证明:在上存在满足下列条件:(1);(2)的线性连续泛函的充要条件为:对任何数,.证 必要性 若线性连续泛函满足(1)和(2),则.充分性 若对任意数,有,则令,对任意的,定义上的线性泛函.因,故是有界线性泛函.由泛函延拓定理,存在上的线性连续泛函,使,且满足(1);(2).证毕.2. 设是赋范线性空间,是的子空间,又.证明存在满足条件:当时,; ;.证 令.在上定义泛函,则(1)当时,;(2);(3)对任意的,则,故;又对,由的任意性,可得,而,所以.综上讨论知.由泛函延拓定理,存在上的线性连续泛函,使且,故结论成立.3. 证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.证 设是中的一列线性无关向量.记.因是线性无关的,故,由上述习题2知,使,在上为零,.只需证明是中的线性无关的向量.事实上:若,使得,则有,因为,所以,又.类似可证.这样我们证明了中有无限多个线性无关的向量,因此是无限维的.4. 证明Banach空间自反的充要条件是自反.证 若是Banach空间,则存在一个从到的自然的等距同构映射,若,则称是自反的,其中是这样定义的,若.为方便起见,记到的自然的等距同构映射为,到的自然的等距同构映射为.我们要证明.若.对任意,定义若.对,因,因此,这就证明了.反之,若,而.则存在,使在上恒为零,而.但,必有,使.对,所以,此与矛盾.因此必有.证毕.5. 设是一列数,证明存在上有界变差函数,使成立的充要条件是对一切多项式成立,其中为常数.证 充分性 在的线性子空间上定义线性泛函.由条件可知在上是有界的.因为在上稠密,所以,可将连续地延拓到(不妨仍记为),这样是上的连续线性泛函,且.必要性 若存在有界变差函数,使.定义上的有界线性泛函,则对每一多项式,有,令,则得到结论.证毕. 6. 设为中单向移位算子,即若,则,求.解 若,则,所以.7. 举例说明一致有界性定理中空间完备的条件不能去掉.解 设为的线性子空间,除有限多个外其余皆为零.若,定义到的线性映射:,则,对任一,当时,有,因此,以上例子说明一致有界性定理中的完备性条件不能去掉.8. 证明:在完备度量空间中成立闭球套定理,即若,且,则存在唯一的;反之,若在度量空间中成立闭球套定理,则是完备度量空间.证 设是完备度量空间,为一列闭球套.因为,所以,对,当时,有,因而是Cauchy列.设.因为,所以,当时,又为闭集,所以.因此. 下面证明.若,则,所以.反之,若满足闭球套定理,是Cauchy列,则存在,当时,记.存在,当时,记.存在,当时,记.这样得到一列闭球,对任意的和,有,所以.于是,由假设存在,且.因为是Cauchy列,.因此为完备度量空间.证毕.9. 设是一复数列,若对任何,级数都收敛,证明:,其中的定义见第八章题9.证 对每一个,定义.因为,所以,且.设满足,则.由题设条件,对任意收敛,从而有界,由一致有界性定理,有界,设,即,令,得,也就是说.证毕.10. 设是上的可测函数,若对一切,函数在上的可积,则,其中.证 令则显然为上的有界可测函数,若,定义上的泛函,则是上的有界线性泛函,且.又因为,由勒贝格控制收敛定理知,.由一致有界性定理,存在,使得,即.因为,由Levi定理,得,所以,.证毕.11. 证明盖尔范德()引理:设是Banach空间,是上泛函,满足条件:时,当时,.证明:必有,使对一切,成立.证 先证对任意的是中的闭集.事实上,若,则,所以,即是闭集.记,则,由Baire纲定理,存在某,使在某一小球中稠密.因为是闭集,故.对中的任意,和在中,所以,因此,这样,取,则.证毕.12. 设B ,其中是Banach空间,是赋范线性空间,若对每个都收敛,令.证明:是是到中有界线性算子,并且.证 因为对每个收敛,从而有界.由一致有界定理,存在. 若定义,则易证是线性的,且,所以是有界的,且.证毕.13. 设是可分的Banach空间,是中有界集,证明中每个点列含有弱*收敛子列.证 设,由的有界性知,存在.设是中的可数稠密子集.考察有界数列.由Weierstrass定理,存在收敛子列.同理也有收敛子列.一般地,若已有子列收敛,考察,由数列的有界性知,存在收敛子列.我们用对角线法则,取泛函列在稠密子集上点点收敛.事实上,由定义,对任意,是收敛的,而是的子列,因此也是收敛的,即在上点点收敛.由第十章第5节的定理1知, 弱*收敛.证毕.14. 证明:空间中点列弱收敛于的充要条件是存在常数,使得,并且对任何的,成立. 证 充分性 若,使,且对,成立,则设是上任一有界线性泛函,由第十章第2节的Riesz表示定理,存在有界变差函数,使.因为,由勒贝格控制定理,即,因此弱收敛于.必要性 设弱收敛于.因为弱收敛点列必为有界点列,因此, ,使.对,定义上泛函.因,所以是上有界线性泛函.弱收敛于,即,即.证毕.15. 设是赋范线性空间,为的闭子空间,若中有点列弱收敛于,那么必有.证 若,则,由本节的第2题知,存在,满足条件:(1)在上恒为零; (2); (3).由于,所以,此与矛盾.证毕.16. 证明:中点列,弱收敛于的充要条件为,且对每个.证 充分性 设,对,设,对,确定,使.然后确定,使当时,有,这样,因此,弱收敛于.必要性 若弱收敛于,则由一致有界性定理,.对任一,令,则,且.因,所以.17. 设是线性空间,和是上两个线性范数.若按及都完备,并且由点列按收敛于0,必有按也收敛于0.证明存在正数和,使. 证 定义Banach空间到Banach空间的线性映射.由题设在原点是连续的.对.若按收敛于,则,由题设条件得,即,这说明在任一非零点也连续,因此是有界的.又是到上的一对一的映射,由逆算子定理,也是有界的,故,令,则.证毕. 18. 设是Banach空间到赋范线性空间中的线性算子,令,证明:总有在中稠密. 证 因为又是第二纲集,所以,必有在某一球内稠密. 对于任一和都在中,所以存在,使,不妨设,其中.于是,即.而,选取,则.即对点列,使得.即在中稠密.证毕.19. 用闭图像定理证明逆算子定理.证 设为Banach空间到Banach空间上的一对一的有界性线性算子.的图像,若,则.设,则.因为连续,所以,即.这样,.于是,我们证明了在中是闭集,故是闭算子.再由闭图像定理,是有界的,证毕.20. 设为定义在复Hilbert空间上的有界线性算子,若存在常数,使,则称为正定的.证明:正定算子必有有界逆算子,并且.证 对为实数,由第九章第5节定理1得.又由于,因此若,则,从而.这样是一一映射.由第九章习题11知,R 的闭包=N = N ,所以的值域是稠密的.对R ,使,因而是中的Cauchy列,故当时,.又,因此是中Cauchy列.设,于是.因此是Hilbert空间上的一一到上的有界线性算子,由逆算子定理,有有界逆算子.因为对任意的,因此对任意的,即.因此,从而.由的任意性得.证毕.第十一章 线性算子的谱1 设。证明，且其中没有特征值。证明 当时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样。反之若，定义算子。则由于，且因此是C0，1中有界线性算子。易验证，所以。总之， 若，则对任意，可推得。由于，必有，所以A无特征值。证毕。2 设，证明。证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样。反之，若，定义。类似第1题可证是有界线性算子，且。即。因此。证毕。3 设， 试求。解 对任意，若，定义，显然，因此的内点都是A的点谱，由于是闭集，则。对任意，显然，因此，所以。这样我们就证明了。4 设F是平面上无限有界闭集，是F的一稠密子集，在中定义算子T：则都是特征值，中每个点是T的连续谱。证明 对任意n，其中1在第n个坐标上。由题设，因此是T的特征值。又由于是闭集，所以。若，则。定义算子，若，易验证，且。因此。若，且，使。则对任意n，。由于，则，。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5 设为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明 设是的特征值，的n次根为。存在，使，则。若，则就是A的特征值，否则必有某i，而，则是A的特征值。证毕。6 设A为Banach空间X上的有界线性算子，又设为X上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，也以为正则点。证明 。当n充分大时，这样 是可逆的。此可逆性由本章2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。7 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当时，。证明 当时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。这就证明了，。 证毕。8 设A为X上的有界线性算子，则。其中与的意义同第7题。证明 在等式两边左乘右乘得。因此，证毕。9 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且。事实上，对任意，。这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了T*也可逆，且。现在设，则可逆，因此也可逆，从而。同理若，则，这就证明了。证毕。10 设是 到的全连续算子，是到的有界线性算子，则是到的全连续算子。证明 设 是 中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11 设A是上线性算子，记，其中，证明A是全连续的。证明 若，定义：则是有界秩算子，且所以。由本章3定理2，A是全连续算子。证毕。12 的符号同第11题。作上算子U。证明U是上全连续算子且。证明 若，则。令，则是有限秩算子，且 所以。这样U是有限秩算子的极限，U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证，只要证U无非零特征值。倘若，。即 。则，由此可得。因此不是U的特征值。证毕。13设 ， 求A的特征值和特征函数。（提示：记 ）解 记。设为对应特征值的特征函数，则，即。若，则。代入c的表达式：，解得。因此非零特征值，特征函数为，其中为任意非零常数。若，则，特征函数为中任意非零函数。14 积分算子的核为， 其中 为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e有形式 ， 是常数。若记 ，则可由下式决定：。证明 。若为A的特征值，为对应的特征向量，则。即，其中。将代入表达式得。即，。证毕。15 在14题中，若。试求特征值和特征函数。解 采用14题的符号，因为，所以，。这样决定的方程组。变为 ，。因此就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个，其相应的特征函数为。显然由张成的有限维线性子空间M的正交补空间中任一非零函数都是相应于0的特征函数。16 若，求积分算子K 的特征值和特征函数。 解 。令 可验证。因此积分算子K有两个非零特值。其中相应于特征函数为，相应于特征函数为。如15 题，0相应的特征函数为中非零函数。17 解方程。解 。设为的完全规范正交系，则由本章5定理1，方程解为 。但，因此所以是积分方程的解。本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。18 解方程。 解 。设为的完全规范正交系，由本章5定理1，因此为本积分方程的解。
展开阅读全文