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厦门市20142015学年（上）高二质量检测数学(理科)参考答案以及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.15：ABBDD 610： CBCDA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. 或 13. 14. 必要不充分 15. 24 16. 4（或8，12，16，）三、解答题：本大题共6小题，共76分.17.（本小题满分12分）解：（），； 2分由正弦定理，又a = 4，b = 3，. 6分（）由面积公式，得， 7分得； 9分由余弦定理， 11分得. 12分18.（本小题满分12分）解：设安排生产甲，乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，那么 6分目标函数为，7分作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图阴影所示），即可行域， 9分直线向右上方平行移动，经过时，取最大值18011分答：该厂生产甲，乙两种产品分别为20吨和24吨时，获得最大利润180万元12分19.（本小题满分12分）解法一：如图1，以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，,3分（）,4分, 5分,即6分（）设的法向量为, 7分，由 , 9分解得,取得的一个法向量为， 10分设直线与平面所成角为，则由, 11分得12分解法二：（）如图2，连结，交于点，连结,易知，1分又面，故面， 2分又，故， 3分易由平面几何知识知， 4分又面，面，且, 所以， 5分而，故 6分（）同解法1.20.（本小题满分13分）解法一：（）， 1分依题意，所以， 2分又由得，即， 3分由，解得，所以 5分（）由（）得，与联立，得， 6分易知不是方程的解，所以（*），设，则，令，则， 8分当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递减； 10分的大致图像如图所示，是函数的极小值。因为，当时， ，因为，而，所以在上与直线恰有两个不同的公共点；11分又，所以在上与直线恰有一个公共点 12分所以当且仅当时直线与函数恰有三个不同的公共点，即函数的图像与直线有三个公共点 13分解法二：（）同解法一.（）设，要使函数的图像与直线有三个公共点，即有三个不同实根，则三次函数既有极大值，也有极小值，且8分令，则，依题意，且9分变化情况如下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知， 10分因为所以成立，11分由， 12分得即，所以即实数的取值范围是13分21.（本小题满分13分）解：（）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以，直线的斜率， 1分同理，直线的斜率， 2分由已知有， 3分化简，得点的轨迹E的方程为 6分（注：缺失条件扣1分）（）设直线的方程为，由消去y得， 8分， 10分，同理， ， 11分. 13分22.（本题满分14分）解：（）依题意， 3分（）由（1）得，所以，4分 6分（）由（）知，所以，7分记，则，当时，在上单调递减，所以，即当 时，9分又因为，所以， 10分12分因此 即对任意正整数恒成立.14分（理科）10
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