Lyapunov指数的非线性控制.ppt

第三章Lyapunov指数的非线性控制,InstabilityLyapunovexponents不稳定性判据,1.1初始条件敏感性是导致系统不可预测的原因，其实是系统固有的不稳定性在作用1.2指数分叉（Exponentsdivergence)李雅普诺夫指数与等价的误差放大倍数k有：L.E.（李雅普诺夫指数）是1892年提出的，直到近几年，才认识到它的重要性它是判断有界非线性系统是否为混沌系统的一个重要方法。,定义1,它是用来度量相空间中两条相邻轨迹随时间变化按指数规律吸引或分离的程度。这两条轨迹有不同的初始条件。一个正的李雅普诺夫指数说明，在一个具有有界轨道的动力学系统中，存在着混沌运动。（王东升1985）,定义2(公式定义)wolf1985,对一n维相空间中的连续动力学系统，考虑一个以为中心，为半径的n维无穷小超球面的长时间演变行为，其中。随着时间的变化，由于流形的局部变形的本质，球面会逐渐演化成为一超椭球面。按椭球第i个主轴的长度可定义系统的第i个李雅普诺夫指数：,或可定义为其中式（1-1），的单位为比特/时间，表示单位时间内系统信息损失的多少，适用于从信息论的角度来考虑李雅普诺夫指数的含义。,x0,p1(0),t-timeflow,p2(t),p1(t),p2(0),x(t),DefinitionofLyapunovExponents,Givenacontinuousdynamicalsysteminann-dimensionalphasespace,wemonitorthelong-termevolutionofaninfinitesimaln-sphereofinitialconditions.Thespherewillbecomeann-ellipsoidduetothelocallydeformingnatureoftheflow.Thei-thone-dimensionalLyapunovexponentisthendefinedasfollowing:,一种实用的计算方法：即发现系统由方向定义的椭球主轴长度按倍数增加，由两个方向定义的面积按倍数增加，由三个方向定义的体积按倍数增加，因此，这提示人们利用椭球主轴定义的i维体积的变化来计算李雅普诺夫指数。表：运动类型与李雅普诺夫指数关系,表：运动类型与李雅普诺夫指数关系最大李雅普诺夫指数返回,ThesignoftheLyapunovExponent,nThelinearextentoftheellipsoidgrowsas21tTheareadefinedbythefirst2principleaxesgrowsas2(1+2)tThevolumedefinedbythefirst3principleaxesgrowsas2(1+2+3)tandsoonThesumofthefirstjexponentsisdefinedbythelong-termexponentialgrowthrateofaj-volumeelement.,由最大李雅普诺夫指数可判断系统的运动性质。如当时，由式（1-1）可知即相轨迹上相邻的两点产生的两条轨道按指数的规律发散。如果系统的变化是有界的，系统为混沌运动。,当时，同样由式（1-1）可知，即相轨迹上相邻的两点产生的两条轨道的距离既不增加也不减少。当时，有即相轨迹上相邻两点产生的两条轨道之间的距离在逐渐减小。随着时间的推移，两者间的距离可任意小。因此，系统最终收敛为一个极限环或一个点。1.3从数据中测量最大指数,1.4混沌运动中的几个重要概念,1.平衡点（不动点，theFixedPoint）对差分方程（状态变量）而言，满足的点成为平衡点。对微分方程（状态变量）而言，满足的点称为不动点（平衡点）。平衡点又称不动点、静止点、奇点、临界点。2.拓扑可迁（TopologicallyTransitiue）满映射f:JJ，如果对于任意的一对开集存在k0，使其中f满足则称满映射f为拓扑可迁。,3.初值敏感性（SensitiveDependenceonInitialConditions）满映射f:JJ，对任意、任意的x的邻域N，存在，整数n0以及小量0，使，则称满映射f具有初值敏感性（f大于8，不能对系统进行长期有效预测）。4.吸引子（Attractor）指相空间中的一个点集或一个子空间，随时间的流逝，在暂态消失之后所有的相轨线都趋向于它，吸引子即是稳定平衡点。,5.奇怪吸引子（strangeAttractor）即：ChaoticAttractor，指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分数维的吸引子。6.流形（Manifold）指相空间中的一个子空间。凡是具有初始条件的解位于此子空间中者，在微分或差分方程的作用下，这个解仍在此空间中，这个子空间就叫流形。,7.混沌（Chaos）如果满映射f:JJ满足下述条件，则称映射f为混沌的。f具有初值敏感性不可长期预测f为拓扑可迁的不可分为两个相关的子系统f在定义域上周期轨道稠密表面随机，内有规律混沌映射三要素：a不可预测性Unpredictabilityb不可分解性Indecomposabilityc含有规律性成分Anelementofregularity,Lyapunov指数的计算,一、一维离散非线性系统的李雅普诺夫指数的计算由Logistic映射虫口模型推出：,二、高维离散非线性系统李雅普诺夫指数的计算,1.数学基础奇异值设A为nm维的复空间（或实空间），则均为非负定的矩阵，且即矩阵A的秩为r，而r为不大于min(n,m)的非负整，所以有均有r个正特征值。，的第i个特征值。的其余特征值为0。,奇异值（SingularValue）定义：的特征值为，则称为A的非零奇异值。如何求解？见下分解定理。对任何矩阵，设rankA=r,为奇异值，则存在n阶正交矩阵U，m阶正交矩阵V，使A=UDV。其中，2.Lyapunov指数的计算：如离散非线性系统给定,其中且有界，在研究范围内连续可微，则上述系统在点Z处的Jacobian矩阵为令令为矩阵的第i个奇异值，其中i=1,2,，n.j=0,1,.，则系统由点出发的轨道对应的第i个Lyapnov指数为,3.一类特殊系统的Lyapunov指数的计算若在z点的Jacobian阵为常数对角阵其中为非0常数。则有,所以系统的奇异值为所以若则Lypapunov指数为,LyapunovExponents,LyapunovA.M.(1857-1918),AlexanderLyapunovwasborn6June1857inYaroslavl,RussiainthefamilyofthefamousastronomerM.V.Lypunov,whoplayedagreatroleintheeducationofAlexanderandSergey.AleksandrLyapunovwasaschoolfriendofMarkovandlaterastudentofChebyshevatPhysicsLimitcycles:periodicsolutions;Quasiperiodicorbits:periodicsolutionswithatleasttwoincommensurablefrequencies;Chaoticorbits:boundednon-periodicsolutions.,Appearsonlyinnonlinearsystems,Attractor,Anon-wanderingsetmaybestableorunstableLyapunovstability:Everyorbitstartinginaneighborhoodofthenon-wanderingsetremainsinaneighborhood.Asymptoticstability:InadditiontotheLyapunovstability,everyorbitinaneighborhoodapproachesthenon-wanderingsetasymptotically.Attractor:Asymptoticallystableminimalnon-wanderingsets.Basinofattraction:isthesetofallinitialstatesapproachingtheattractorinthelongtimelimit.Strangeattractor:attractorwhichexhibitsasensitivedependenceontheinitialconditions.,Sensitivedependenceontheinitialconditions,Definition:AsetSexhibitssensitivedependenceifr0s.t.0andxSys.t|x-y|rforsomen.,pendulumA:=-140,d/dt=0pendulumB:=-1401,d/dt=0,Demonstration,Thesensitivedependenceofthetrajectoryontheinitialconditionsisakeyelementofdeterministicchaos!,However,Sensitivityontheinitialconditionsalsohappensinlinearsystems,SICleadstochaosonlyifthetrajectoriesarebounded(thesystemcannotblowuptoinfinity).WithlineardynamicseitherSICorboundedtrajectories.Withnonlinearitiescouldbeboth.,xn+1=2xn,Butthisis“explosionprocess”,notthedeterministicchaos!,Why?Thereisnoboundness.,Thereisnofoldingwithoutnonlinearities!,TheLyapunovExponent,AquantitativemeasureofthesensitivedependenceontheinitialconditionsistheLyapunovexponent.Itistheaveragedrateofdivergence(orconvergence)oftwoneighboringtrajectoriesinthephasespace.ActuallythereisawholespectrumofLyapunovexponents.Theirnumberisequaltothedimensionofthephasespace.IfonespeaksabouttheLyapunovexponent,thelargestoneismeant.,x0,p1(0),t-timeflow,p2(t),p1(t),p2(0),x(t),DefinitionofLyapunovExponents,Givenacontinuousdynamicalsysteminann-dimensionalphasespace,wemonitorthelong-termevolutionofaninfinitesimaln-sphereofinitialconditions.Thespherewillbecomeann-ellipsoidduetothelocallydeformingnatureoftheflow.Thei-thone-dimensionalLyapunovexponentisthendefinedasfollowing:,Onmoreformallevel,TheMultiplicativeErgodicTheoremofOseledecstatesthatthislimitexistsforalmostallpointsx0andalmostalldirectionsofinfinitesimaldisplacementinthesamebasinofattraction.,Order:12nThelinearextentoftheellipsoidgrowsas21tTheareadefinedbythefirst2principleaxesgrowsas2(1+2)tThevolumedefinedbythefirst3principleaxesgrowsas2(1+2+3)tandsoonThesumofthefirstjexponentsisdefinedbythelong-termexponentialgrowthrateofaj-volumeelement.,SignsoftheLyapunovexponents,Anycontinuoustime-dependentDSwithoutafixedpointwillhave1zeroexponents.ThesumoftheLyapunovexponentsmustbenegativeindissipativeDSatleastonenegativeLyapunovexponent.ApositiveLyapunovexponentreflectsa“direction”ofstretchingandfoldingandthereforedetermineschaosinthesystem.,ThesignsoftheLyapunovexponentsprovideaqualitativepictureofasystemsdynamics,1Dmaps:!1=:=0amarginallystableorbit;0chaos.3DcontinuousdissipativeDS:(1,2,3)(+,0,-)astrangeattractor;(0,0,-)atwo-torus;(0,-,-)alimitcycle;(-,-,-)afixedpoint.,ThesignoftheLyapunovExponent,0-thesystemattractstoafixedpointorstableperiodicorbit.Thesesystemsarenonconservative(dissipative)andexhibitasymptoticstability.=0-thesystemisneutrallystable.Suchsystemsareconservativeandinasteadystatemode.TheyexhibitLyapunovstability.2*dim.oftheunderlyingattractor,delaymustbecheckedineachcase.Evolutiontimebetweenreplacements:maximizingthepropagationtime,minimizingthelengthofthereplacementvector,minimizingorientationerror.Henonattractor:thepositiveexponentisobtainedwithin5%with128pointsdefiningtheattractor.Lorenzattractor:thepositiveexponentisobtainedwithin3%with8192pointsdefiningtheattractor.,Finite-TimeLyapunovExponent,SVD,TimeHorizon,Whenthesystemhasapositive,thereisatimehorizonbeyondwhichpredictionbreaksdown(evenqualitative).Supposewemeasuretheinitialconditionofanexperimentalsystemveryaccurately,butnomeasurementisperfectlet|0|betheerror.Aftertimet:|(t)|0|et,ifaisourtolerance,thenourpredictionbecomesintolerablewhen|(t)|aandthisoccursafteratime,Demonstration,Nomatterhowhardweworktoreducemeasurementerror,wecannotpredictlongerthanafewmultiplesof1/.,t=0,2initialconditionsalmostindistinguishable,t=thorizon,Predictionfailsouthere,|0|,|(t)|0|et,Example,So,afteramillionfoldimprovementintheinitialuncertainty,wecanpredictonly2.5timeslonger!,Somephilosophy,ThenotionofchaosseemstoconflictwiththatattributedtoLaplace:givenpreciseknowledgeoftheinitialconditions,itshouldbepossibletopredictthefutureoftheuniverse.However,Laplacesdictumiscertainlytrueforanydeterministicsystem.Themainconsequenceofchaoticmotionisthatgivenimperfectknowledge,thepredictabilityhorizoninadeterministicsystemismuchshorterthanonemightexpect,duetotheexponentialgrowthoferrors.,