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1 第三章 课后习题汇总 第一次课后作业 5 设 1 ()x t 是一个连续时间周期信号，其基波频率为 1 ，傅里叶系数为 k a ，已知 21 1 () (1 ) ( 1)xt x t xt= + 问 2 ()x t 的基波频率 2 与 1 是什么关系？求 2 ()x t 的傅里叶级数系数 k b 与系数 k a 之间的关 系。 （注：可参考书 P.146-表 3.1 中所列的连续时间傅里叶级数性质） 8 现对信号 ()x t 给出如下信息： 1. ()x t 是实的且为奇函数。 2. ()x t 是周期的，周期 2T = ，傅里叶系数为 k a 。 3. 对 1k ， 0 k a = 。 4. 2 2 0 1 () d 1 2 x tt= 。 试确定两个不同的信号都满足这些条件。 22 求下面各图所示信号的傅里叶级数表示： (a) (b) (c) x(t) 1 -1 1 2 3 4 5 t-1 -2 -3 x(t) 1 1 2 3 4 5 t -1 -2 -3-4 -5 x(t) 2 1 2 3 4 5 t -1 -2 -3 -4 -5 7 8 9 10 6-6 -7 2 第二次课后作业 28 对下图所示的离散时间周期信号 x n 求傅里叶级数系数， 并画出每一组系数 k a 的模和相位。 (b) (c) 11 现对一信号 x n 给出如下信息： 1. x n 是实、偶信号。 2. x n 有周期 10N = 和傅里叶系数 k a 。 3. 11 5a = 4. 9 2 0 1 50 10 n xn = = 证明： cos( )x nA BnC=+，并给出 A， B 和 C 的值。 30 考虑下面三个基波周期为 6 的离散时间信号： 2 1 cos( ) 6 x nn =+ 2 sin( ) 64 yn n =+ zn xnyn= (a) 求 x n 的傅里叶级数的系数。 (b) 求 yn的傅里叶级数的系数。 (c) 利用(a)和(b)的结 果，并按照离散时间傅里叶级数的相乘性质，求 zn xnyn= 的傅 里叶级数系数。 (d) 经由直接求 zn的傅里叶级数系数，并将结果与(c)作比较。 34 考虑一个连续时间 LTI 系统，其单位冲激响应为 4 () t ht e = 对下列各输入情况下，求输出 ()yt 的傅里叶级数表示： (b) () ( 1) ( ) n n x ttn + = = 1 0 6 n 12 -6 -12 xn 1 0 6 n 12 -6 -12 xn -1 2 3 (c) ()x t 为下图所示的周期性方波 35 考虑一个连续时间 LTI 系统 S ，其频率响应是 1, 250 () 0, Hj = 其余 当输入到该系统的信号 ()x t 是一个基波周期 /7T = ，傅里叶级数系数为 k a 的信号时， 发现输出 () ()y txt= 。问：对于什么样的 k 值，才有 0 k a = ？ 36 考虑一个因果离散时间 LTI 系统，其输入 x n 和输出 yn由下面差分方程所关联： 1 1 4 y nyn xn= 在下面两种输入下，求输出 yn的傅立叶级数表示： (a) 3 sin( ) 4 x nn = (b) cos( ) 2cos( ) 42 x nn n =+ 第三次课后作业 43 (a) 一个周期为 T 的连续时间周期信号 ()x t , 若在其傅里叶级数表示式 j(2 / ) () kTt k k xt ae + = = 中，对全部非零的偶数 k ，有 0 k a = ，则称 ()x t 是 奇谐（odd-harmonic） 的。 (i) 证明：若 ()x t 是奇谐的，则有 () ( ) 2 T xt xt=+ (ii) 证明：若 ()x t 满足上式，则它是奇谐的。 (b) 假设 ()x t 是一个周期为 2 的奇谐周期信号，且有 () ,0 1x tt t= at etuta (c) 1cos , 1 () 0, 1 + = tt xt t (e) 2 sin4() t te t u t (g) ()x t 如下图所示 1 2-1 1 -1 t x( )t -2 10 34 一个因果稳定的 LTI 系统 S ，有频率响应为 2 j4 (j ) 65j + = + H (a) 写出关联系统 S 输入和输出的微分方程。 (b) 求该系统 S 的单位冲激响应 ()ht 。 (c) 若输入 ()x t 为 44 () () () = tt x t e ut te ut 求系统的输出。 35 在本题中给出有关相位非线性变化产生的影响的几个例子。 (a) 有一个连续时间 LTI 系统，其频率响应为 j (j ) j = + a H a 式中 0a 。问 (j )H 的模是什么？ (j )H 是什么？该系统的单位冲激响应是什么？ (b) 若在(a)中， 1=a ，当输入为 cos( / 3) cos cos 3+ttt 求该系统输出，并大致画出输入和输出。 11 本章习题内容校对 1、题 27 中的 0T 应为 2T 。在本章的 第一次课后作业 中已做纠正。
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