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Go the distance 高中数学必做 100题 -数学 1 1. 试选择适当的方法表示下列集合： （ 1）函数 2 2y x x 的函数值的集合； （ 2） 3yx与 35yx 的图象的交点集合 . 解：（ 1） 22 172 24y x x x （ 3 分） 74y，（ 5 分） 故所求集合为 7| 4yy .（ 6 分） （ 2）联立 3 35yx ，（ 8 分） 解得 2 1xy ，（ 10 分） 故所求集合为 2, 1 .（ 12 分） 2. 已知集合 | 3 7A x x ， | 5 10B x x ，求 ()RC A B 、 ()RC A B 、 ()RCA B 、 ()RA CB . （ P14 10） 解： ( ) | 3 1 0RC A B x x x 或，（ 3 分） ( ) | 5 7RC A B x x x 或，（ 6 分） ( ) | 7 1 0RC A B x x ，（ 9 分） ( ) | 7 1 0RA C B x x x 或.（ 12 分） 3. 设全集 * | 9U x N x ， 1,2,3A ， 3,4,5,6B . （ P12 例 8 改编） （ 1）求 AB， AB， ()UC A B ， ()UC A B ； 解： 1, 2,3, 4,5,6AB ，（ 1 分） 3AB ，（ 2 分） ( ) 7,8UC A B ，（ 3 分） Go the distance ( ) 1, 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8UC A B .（ 4 分） （ 2）求 UCA， UCB， ( ) ( )UUC A C B ， ( ) ( )UUC A C B ； 解： 4,5,6,7,8UCA ，（ 5 分） 1,2,7,8UCB ，（ 6 分） ( ) ( ) 1, 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8UUC A C B ，（ 7 分） ( ) ( ) 7,8UUC A C B . （ 8 分） （ 3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合 Venn 图进行分析 . 解： ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B ，（ 9 分） ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B . （ 10 分） Venn 图略 . （ 12 分） 4. 设集合 | ( 4 ) ( ) 0 , A x x x a a R ， | ( 1)( 4 ) 0B x x x . （ P14 B 4 改编） （ 1）求 AB， AB； 解： 当 4a 时， 4A ， 1,4B ，故 1,4AB ， 4AB ；（ 2 分） 当 1a 时， 1,4A ， 1,4B ，故 1,4AB ， 1,4AB ；（ 4 分） 当 4a 且 1a 时， ,4Aa ， 1,4B ，故 1, ,4A B a ， 4AB . （ 6 分） （ 2）若 AB ，求实数 a 的值； 解：由（ 1）知，若 AB ，则 1a 或 4. （ 8 分） （ 3）若 5a ，则 AB的真子集共有 个 , 集合 P 满足条件 ( ) ( )A B P A B，写 出所有可能的集合 P. 解：若 5a ，则 4,5A ， 1,4B ，故 1, 4,5AB ，此时 AB的真 子集有 7 个 . （ 10 分） 又 4AB ， 满足条件 ( ) ( )A B P A B的所有集合 P 有 1,4 、 4,5 . （ 12 分） 5. 已知函数 3()41xfx x . Go the distance （ 1）求 ()fx的定义域与值域（用区间表示） （ 2）求证 ()fx在 1( , ) 4 上递减 . 解：（ 1）要使函数有意义，则 4 1 0 x ，解得 14x . （ 2 分） 所以原函数的定义域是 1 | 4xx .（ 3分） 3 1 12 4 1 ( 4 1 ) 13 1 13 1 104 1 4 4 1 4 4 1 4 4 4 1 4 4x x xy x x x x ， （ 5分） 所以值域为 1 | 4yy .（ 6 分） （ 2）在区间 1, 4 上任取 12,xx，且 12xx ，则 211212 1 2 1 213334 1 4 1 4 1 4 1xxxxf x f x x x x x （ 8 分） 12xx ， 210 xx （ 9 分） 又 12 1,4xx ， 124 1 0 , 4 1 0 xx ，（ 10 分） 12 0f x f x 12f x f x，（ 11 分） 函数 ()fx在 1( , )4 上递减 . （ 12 分） 6. 已知函数 ( 4 ), 0() ( 4 ), 0 x x xfx x x x ，求 (1)f 、 ( 3)f 、 ( 1)fa 的值 .（ P49 B4） 解： (1) 5f ，（ 3 分） 3 21f ，（ 6 分） 22 6 5 , 11 2 3 , 1a a afa a a a .（ 12 分） 7. 已知函数 2( ) 2f x x x . （ P16 8 题） （ 1）证明 ()fx在 1, ) 上是减函数 ;（ 2）当 2,5x 时，求 ()fx的最大值和最小值 . 解：（ 1）证明：在区间 1, ) 上任取 12,xx，且 12xx ，则有（ 1 分） 221 2 1 1 2 2 2 1 1 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2)f x f x x x x x x x x x ，（ 3 分） 12, 1, )xx ， 12xx ，（ 4 分） Go the distance 2 1 1 2 0,x x x x 即 12( ) ( ) 0f x f x（ 5 分） 12( ) ( )f x f x ，所以 ()fx在 1, ) 上是减函数（ 6 分） （ 2）由（ 1）知 ()fx在区间 2,5 上单调递减，所以 m a x m in( ) ( 2) 0 , ( ) ( 5 ) 15f x f f x f （ 12 分） 8. 已知函数 ( ) l o g ( 1 ) , ( ) l o g (1 )aaf x x g x x 其中 ( 0 1)aa且 （ P84 4） （ 1）求函数 ( ) ( )f x g x 的定义域； （ 2）判断 ( ) ( )f x g x 的奇偶性，并说明理由； （ 3）求使 ( ) ( ) 0f x g x成立的 x 的集合 . 解： （ 1） ( ) ( ) l o g ( 1 ) l o g (1 )aaf x g x x x . 若要上式有意义，则 10 x x ， 即 11x . （ 3 分） 所以所求定义域为 11xx （ 4 分） （ 2）设 ( ) ( ) ( )F x f x g x， 则 ( ) ( ) ( ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ( )aF x f x g x x x F x .（ 7 分） 所 以 ( ) ( )f x g x 是 偶 函数 . （ 8 分） （ 3） ( ) ( ) 0f x g x，即 lo g ( 1) lo g (1 ) 0aaxx ， lo g ( 1) lo g (1 )aaxx . 当 01a时 ， 上述不等式等价于 1010 11 x x xx ，解得 10 x .（ 10 分） 当 1a 时， 原不等式等价于 1010 11 x x xx ，解得 01x.（ 12 分） 综上所述 , 当 01a时 ， 原不等式的解集为 1 0xx ；当 1a 时 ， 原不等式的 解集为 0 1xx . 9. 已知函数 2( ) ( 0 , 0 )1bxf x b aax . （ P37 例 2） （ 1）判断 ()fx的奇偶性； （ 2）若 3211(1 ) , l o g ( 4 ) l o g 422f a b ，求 a， b 的值 . 解：（ 1） ()fx定义域为 R， 2( ) ( )1bxf x f xax ，故 ()fx是奇函数 . （ 6 分） Go the distance （ 2）由 1(1) 12bf a ，则 2 1 0ab .（ 8 分） 又 log3(4a-b)=1，即 4a-b=3. （ 10 分） 由 2 1 0 43abab ，解得 a=1， b=1. （ 12 分） 10. 对于函数 2( ) ( ) 21xf x a a R . （ 1）探索函数 ()fx的单调性；（ 2）是否存在实 数 a 使得 ()fx为奇函数 . （ P91 B3） 解 : (1) ()fx 的定义域为 R, 设 12xx , 则 1212 11( ) ( ) 2 1 2 1xxf x f x a a = 1222(1 2 )(1 2 )xx,（ 3 分） 12xx , 1 2 1 22 2 0 , (1 2 ) (1 2 ) 0 x x x x ,（ 5 分） 12( ) ( ) 0,f x f x 即 12( ) ( )f x f x ,所以不论 a 为何实数 ()fx总为增函数 . （ 6 分） （ 2）假设存在实数 a 使 ()fx为奇函数 , ( ) ( )f x f x （ 7 分） 即 222 1 2 1 xxaa ,（ 9 分） 解得 : 1.a （ 12 分） 11. （ 1）已知函数 ()fx图象 是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点 . （ P40 9） x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x) 3.51 1.02 2.37 1.56 0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 （ 2）已知二次方程 2( 2 ) 3 1 0m x mx 的两个根分别属于 (-1,0)和 (0,2),求 m 的取值范 围 . 解：（ 1）由 ( 2) ( 1.5) 0ff ， ( 0.5) (0) 0ff， (0) (0.5) 0ff ，（ 3 分） 得到函数在（ 2， 1.5）、（ 0.5， 0）、（ 0， 0.5）内有零点 . （ 6 分） （ 2）设 ()fx= 2( 2) 3 1m x mx ，则 ()fx=0 的两个根分别属于 (-1,0)和 (1,2). 所以 ( 1) (0) 0 (2) (0) 0ff ，（ 8 分）即 ( 2 1) 1 0 (10 7) 1 0mm ， （ 10 分） 172 10m （ 12 分） Go the distance 12. 某商场经销一批进货单价为 40 元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价 /元 50 51 52 53 54 55 56 日均销售量 /个 48 46 44 42 40 38 36 为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （ P49 例 1） 解：由题可知，销售单价增加 1 元，日均销售量就减少 2 个 . 设销售单价定为 x 元，则每个利润为（ x 40）元，日均销量为 48 2( 50)x 个 . 由于 40 0 x，且 48 2( 50) 0 x ，得 40 74x .（ 3 分） 则日均销售利润为 2( 40) 48 2( 50) 2 228 592 0y x x x x ， 40 74x . （ 8 分） 易知，当 228 57 2 ( 2)x ， y 有最大值 . （ 11 分） 所以， 为了获取最大利润，售价定为 57 元时较为合理 . （ 12 分） 13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层 . 臭氧含量 Q 呈指数函数型变 化，满足关系式 4000 tQ Qe ，其中 0Q 是臭氧的初始量 . （ 1）随时间的增加，臭氧的含 量是增加还是减少？ （ 2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（ P44 9） 解：（ 1） 0 0Q ， 0400t， 1e ， 4000 tQ Qe 为减函数 . （ 3 分） 随时间的增加，臭氧的含量是减少 . （ 6 分） （ 2）设 x 年以后将会有一半的臭氧消失，则 400 0012 xQ e Q ，即 400 12xe ，（ 8 分） 两边去自然对数， 1ln400 2x，（ 10 分） 解得 400 ln 2 278x .（ 11 分） 287 年以后将会有一半的臭氧消失 . （ 12 分） 14. 某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某种产品分别为 1 万件、 1.2 万件、 1.3 万件，为 了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据 . 用一个函数模拟产品的月产 量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可选用二次函数 2()f x px qx r （其中 ,pqr为常 数，且 0p ）或指数型函数 () xg x a b c （其中 ,abc为常数），已知 4 月份该产品 Go the distance 的产量为 1.37 万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由 .（ P51 例 2） 解：当选用二次函数 2()f x px qx r 的模型时， 2 0f x p x q x r p ，由 1 2 , 2 1 .2 , 3 1 .3f f f ，有 1 4 2 1.2 9 3 1.3 pqr p q r p q r ， 解得 0 .0 5 , 0 .3 5 , 0 .7p q r ，（ 4 分） 4 1.3f .（ 5 分） 当选用指数型函数 () xg x a b c 的模型时， ,xg x a b c 由 1 1 , 2 1 .2 , 3 1 .3 ,g g g 有 2 3 1 1.2 1.3 a b c a b c a b c ，解得 0 .8, 0 .5, 1 .4a b c ， （ 9 分） 4 1.35g .（ 10 分） 根据 4 月份的实际产量可知，选用 0 .8 0 .5 1 .4xy 作模拟函数较好 . （ 12 分） 15. 如图， OAB 是边长为 2 的正三角形，记 OAB 位于 直线 ( 0)x t t左侧的图形的面积为 ()ft . 试求函数 ()ft 的解析式 ,并画出函数 ()y f t 的图象 . （ P126 B2） 解：（ 1）当 01t 时， 如图，设直线 xt 与 OAB 分别交于 C 、 D 两点，则 OC t ， 又 3 3 1CD B EO C CE ， 3CD t， 21 1 332 2 2f t O C C D t t t （ 4 分） （ 2）当 12t 时， 如图，设直线 xt 与 OAB 分别交于 M 、 N 两点，则 2AN t， x y O B A x=t Go the distance 又 3 3 1M N B EA N A E ， 32M N t 2 21 1 3 32 3 3 2 2 3 32 2 2 2f t A N M N t t t （ 8 分） （ 3）当 2t 时， 3ft . （ 10 分） 2 2 3 , 0 1 2 3 2 3 3 , 1 2 2 3 , 2 tt f t t t t t （ 12 分） 16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂 量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y（微克） 与时间 t（小时）之间近似满足如图所示的曲线 . （ 1）写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t)； （ 2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微 克时，治疗疾病有效 .求服药一次治疗疾病有效的时间？ （ P45 例 3） 解：（ 1）当 0t1 时， y=4t；（ 2 分） 当 t1 时， 1()2 tay ，此时 (1,4)M 在曲线上， 114 ( ) , 32 a a，这时 31()2 ty . （ 5 分） 所以 3 4 (0 1)() 1 ( ) ( 1)2 t tty f t t .（ 6 分） Go the distance （ 2） 3 4 0 .2 5( ) 0 .2 5 , 1 ( ) 0 .2 52 t tft 即 ， （ 8 分） 解得 116 5 t t ，（ 10 分） 1 5 16 t .（ 11 分） 服药一次 治疗疾病有效的时间为 1 155416 16 个小时 . （ 12 分） 答案整理：周洁 欢迎将错误反馈到 zssxzb