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电动力学复习题 一、 简答题 1 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的 物理意义。 2 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方 程用一句话概括其物理意义。 3 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？ 4 一个空间矢量场 A K ，给出哪些条件能把它唯一确定？ 5 写出极化电流与极化强度、磁化电流 密度与磁化强度之间的关系式。 6 简述公式 d ddd d VV wV f V S t =+ v K K K K v 的物理意义。 7 简述介质中静电场的唯一性定理。 8 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函 数。 9 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。 10 设体系的电荷密度分布为 ()x K ，则该体系在外场 e 中的能量是多 少？ 11 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并 写出其对应的在介质分界面上 的表达形式（即边值关系） 。 12 简述引入磁标势的基本条件，并写出 磁标势所满足的泊松方程。 13 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。 14 平面电磁波中，电场和磁场的能量密 度各为多少？电场能与磁场能 相等吗？ 15 简述全反射现象。 16 在导体内部，电荷密度随时间衰减的 表达式是什么？衰减的特征时 间如何定义？特征时间的表达式是什么？ 17 什么是穿透深度？电磁波从介质垂直 入射到导体时，穿透深度是多 少？良导体的条件是什么？ 18 简述趋肤效应。 19 谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？ 20 若电磁波在一个宽为 a，高为 b的无穷长矩形波导管中传播，其截止 角频率是多少？ 21 写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。 22 写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程） 。 23 写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。 24 简述对小电流分布区域在远场区的矢 势进行多极展开的基本条件。 25 写出电磁波动量密度的表达式，以及 它与能流密度的关系式，独立 的静电场或静磁场存在动量吗？ 26 简述狭义相对论中的两条基本假设。 27 坐标系以速度 v相对 坐标系沿 x轴正向运动，写出从 系到 系 的洛仑兹变换公式。 28 坐标系以速度 v相对 坐标系沿 x轴正向运动，在 系中两事件的 时间与空间间隔分别为 t 和 x ， 在 系中两事件的时间与空间间隔分别是 多少？ 29 简述相对论的时间延缓效应和长度收缩效应。 30 坐标系以速度 v相对 坐标系沿 x轴正向运动，写出相对论速度变 换公式。 二、 证明题 1 利用公式 d dd d LS E lBS t = K KKK v 证明两介质的分界面上的电场强度跃变关系式 21 ()0 n eEE= K K K （第 1 章，课堂证明） 2 已知一个电荷系统的电偶极矩定义为 () ( ,) dp txtxV = KKK 利用电荷守恒定律 0J t + = K ，证明 p K 的变化率为 d (,)d d p Jxt V t = K K K （习题 1 5） （注意：电偶极矩的定义式和电荷守 恒定律的表达式要求掌握，考试时不 一定给出） 3 证明： （ 1）当两种绝缘介质的分界面上不带自由电 荷时，电场线的曲折满足 22 11 tan tan = 其中 1 和 2 分别为两种介质的电容率， 1 和 2 分别为界面两侧电力线与法 线的夹角。 （ 2）当两种导电介质内流有稳恒电流时，分 界面上电场线曲折满足 22 11 tan tan = 其中 1 和 2 分别为两种介质的电导率。 （习题 1 12） 4 证明：时谐电磁波在无电荷分布的、 和 为常数的均匀各向同性线性 介质中的传播规律的基本方程为 22 () 1 ()E xi Ex =+ K K K K 。 （第 4 章， 课堂证明） 5 证明自由空间中，介质内的电场 E K 与磁场 B K 所满足的方程为亥姆霍兹 方程。 （第 4 章，课堂证明） 6 由平面电磁波的电场表达式 0 () ik x E xEe = K KK K K ， 证明平面电磁波为横波。 （第 4 章，课堂证明） 7 利用电磁场的边值条件证明两介质分 界面上的反射与折射定律。 （第 4 章，课堂证明） 8 设 A K 和 是满足洛仑兹规范的矢势和标势，引入赫兹矢量函数 (,)Z xt K K ， 若令 Z = K ，证明 2 1 Z A ct = K K 。 （习题 5 5.1） 9 两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和 磁偶极辐射都不会发生。（习题 5 6） 10 动量为 k K = ，能量为 = 的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方 向夹角为 的方向上。证明散射光子的频率变化量为 2 2 0 2 sin 2mc = = 亦即散射光波长变化量 2 0 0 4 sin 2mc = = = 其中 2 k = 为散射前光子的波长， 0 m 为电子的静止质量。 （习题 6 26） 三、 计算题 1 有一内外半径分别为 1 r 和 2 r 的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质 内均匀带静止自由电荷密度 f ，求 （ 1）空间各点的电场； （ 2）极化体电荷和极化面电荷分布。 （习题 1 7） 2 内外半径分别为 1 r 和 2 r 的无穷长中空导体圆柱， 沿轴向流有稳恒均匀自 由电流 f J K ，导体的磁导率为 ，求磁感应强度和磁化电流。 （习题 1 8） 3 求带电量为 Q，半径为 a的导体球的静电场总能量。 （课堂例题 2 1） 4 如图所示，两同心球壳之间充以两种介 质，左半部分介质电容率为 1 ，右半部分介 质电容率为 2 。设内球壳总带电量为 Q，半 径为 a，外球壳接地，半径为 b，求介质中的 电势和内球壳上的电荷分布。 （课堂例题 2 2） 5 把一无限长圆柱形导体放入均匀电场 0 E K 中，圆柱形导体接地，半径为 b，柱外为真空，且圆柱轴线与电场方向 垂直，求空间电势分布。 （数学物 理方法之分离变量法例 3） 6 把半径为 b的无限长圆柱形均匀各向同性电介质放入均匀电场 0 E K 中， 柱外介质的介电常数为 1 ， 柱体介质的介电常数为 2 。 求空间电势分布。 （数 学物理方法之分离变量法例 4） 1 2 a b Q 7 把一半径为 a的金属球置于均匀静电场 0 E K 中，求空间电场强度。 （数学 物理方法之分离变量法例 5） 8 一个内径和外径分别为 2 R 和 3 R 的导体球壳，带电荷 Q，同心地包围着 一个半径为 1 R 的导体球（ 12 R R 处置一电量为 q的点电荷。求空间电势分布。 （数学 物理方法之分离变量法例 6） 12 接地无限大导体平板附近有一点电荷 Q，求空间电场分布。 （课堂例 题 2 3） 13 在无穷大空间中充满介电常数为 1 和 2 的两种均匀电介质，其分界 面为平面。设在介质 1 中放一点电荷 Q，其所在位置距分界面为 a，求二介 质中的电势分布。 （课堂例题 2 4） 14 真空中有一半径为 0 R 的接地导体球， 距球心为 0 ()aaR 处有一点电 荷 Q，求空间的电势分布。 （课堂例题 2 5） 15 真空中有一半径为 0 R 的带电导体球，所带电量为 0 Q ，距球心为 0 ()aaR 处有一点电荷 Q。求球外电势分布及电荷 Q所受的作用力。 （课 堂例题 2 6） 16 如图所示，在接地的导体平面上 有一半径为 a的半球凸起， 半球的球心在 导体平面上，点电荷 Q 位于系统的对称 轴上，并与平面相距 ()bba ，求空间 电势。 （习题 2 11） 17 有一点电荷位于两个相互垂直的无限 大接地导体半平面所围成的直 角空间内，它到两个平面的距离分别为 a和 b，求空间电势。 （习题 2 12） 18 均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为 a，半短轴为 b，总带电量为 Q，求电四极矩。 （课堂例题 2 9） 19 无穷长直导线载有电流 I ，求空间磁场的矢势，并由矢势求磁感应强 度。 （课堂例题 3 1） 20 有一块磁矩为 m K 的小永磁体，位于一块磁导率非常大在实物的平坦 界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力 F K 。 （习题 3 15） 21 一列平面电磁波以 o 45 = 从真空入射到 2 r = 的介质， 电场强度垂直 于入射面。求反射系数与折射系数。 （习题 4 2） 22 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿 z轴传播，一个波沿 x方向 偏振，另一个沿 y方向偏振，但相位比前者超前 /2 ，求合成波的偏振。 （习 题 4 5） 23 证明平面电磁波的电场与磁场能量相 等，并求平均能流密度矢量的 表达式（用电场的振幅表示） 。 （第 4 章，课堂证明） 24 已知海水的 1 r = ， 1 1S m = ， 计算频率 为 50Hz， 6 10 Hz和 9 10 Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。 （习题 4 7） a b Q 25 一对无限大的平行理想导体板，相距为 b，电磁波沿平行于板面的 z 方向传播，取平行于板面且与 z轴垂直的方向为 x方向，设波在 x方向是均 匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。 （习题 4 14） 26 求波导中 10 TE 波的电磁场。 （课堂例题 4 3） 27 求波导中的相速度与群速度的表达式 ，并说明相速度可以超过真空 中的光速。 （第 4 章，课堂证明） 28 设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中的长度均为 0 l ， 它们以相同的速率 v K 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于 尺子。求站在一根尺子上测量另外一根尺子的长度。 （习题 6 2） 29 静止长度为 0 l 的车厢，以速度 v K 相对于地面运行，在车厢的后壁以速 度 0 u 向前推出一个小球。 求地面观测者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 （习题 6 3） 30 一辆以速度 v运动的列车上的观察者， 在经过某一高大建筑物时， 看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电 光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的 两铁塔。求列车上观察者看到的两铁 塔被电光照亮的时间差。该建筑及两 铁塔都在同一直线上，与列车前进方 向一致。铁塔到建筑物的地面距离已 知都是 0 l 。 （习题 6 4） 31 在参考系 中，有两个物体都以速度 u沿 x轴运动，在 系看来，它 们一直保持距离 l 不变。今有一观察者以速度 v沿 x轴运动，他看到这两个 物体的距离是多少？（习题 6 6） 32 在相对论中，一个物体的静止质量为 0 m ，当它以速度 v运动时，计 算其相对论性动量以及动能。 （课堂讲课内容） 33 一把直尺相对于 静止， 直尺与 x轴交角 。 今有一观察者以速度 v沿 x轴运动，他看到直尺与 x轴交角 有何变化？（习题 6 7）