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概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(http:/bioinfo.uncc.edu/szhang) 1 P92 习题三习题三习题三习题三 1. 甲甲甲 甲， ， ，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产 乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产 量相同量相同量相同量相同， ， ，问哪台机器较好 问哪台机器较好问哪台机器较好问哪台机器较好？ ？ ？ X 0 1 2 3 pX(xi) 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 pY(yj) 0.3 0.5 0.2 0 解解解 解：甲台机器一天的平均次品数 EX = 00.4 +10.3 + 20.2 +30.1 =1; 乙台机器一天的平均次品数 EY = 00.43 +10.5 + 20.2 +30 = 0.9 ， EX EY ,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。 2. 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命 X （ （单位 单位单位 单位： ： ： h ） ）的概率密度为 的概率密度为的概率密度为的概率密度为： ： ： = 0 ,0 ;0,)( 2 x xxexf x ,其中其中其中 其中 0 为常数为常数为常数为常数 . 求这种电子元件的平均寿命求这种电子元件的平均寿命求这种电子元件的平均寿命求这种电子元件的平均寿命 . 解 : 2)( 0 0 222 = + + + dxexdxxexdxxxfEX xx . 3. 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 + = 0 ,0 ;0 , )2(2 1 )( 22 1 2/ x xexk xf xk k ， ，求数学期望与方差 求数学期望与方差求数学期望与方差求数学期望与方差。 。 。 解：略， E(X)=k, D(X)=2k. 8. 证明证明证明 证明： ： ：函数 函数函数 函数 (t ) = E(X t)2 当当当 当 t = E(X)时取得最小值时取得最小值时取得最小值时取得最小值， ， ，且最小值为 且最小值为且最小值为且最小值为 D(X) 。 。 证明： 22 )()()()( tXEXEXEtXEt += 22 2222 22 )()( )()()()()(2)( )()()(2)( tXEEXXE tXEEtXEXEtXEXEEXXE tXEEtXEXEXEXEXE += += += 所以要使 )(t 最小，则后面加上的常数项 2)( tXE 就要最小，所以当 0)( = tXE 时最小，最小值为 2)( EXXE = ).(XD 9. 某人的一串钥匙有某人的一串钥匙有某人的一串钥匙有某人的一串钥匙有 n把把把 把， ， ，其中只有一把能开自己的门 其中只有一把能开自己的门其中只有一把能开自己的门其中只有一把能开自己的门， ， ，他随意地试用 他随意地试用他随意地试用他随意地试用 这些钥匙这些钥匙这些钥匙这些钥匙， ， ，并且试用过的钥匙不再试用 并且试用过的钥匙不再试用并且试用过的钥匙不再试用并且试用过的钥匙不再试用， ， ，求试用次数的数学期望与方差 求试用次数的数学期望与方差求试用次数的数学期望与方差求试用次数的数学期望与方差 . 解：设随机变量 X表示试用次数，则 X的概率分布为 所以 = += n k n nkXE 1 2 11)( , 12 1 2 1 6 )12)(1( 2 11)()()( 22 1 2 222 = += += = nnnnn nkEXXEXD n k nknP PPkXP k n k n ,.,2,1,1 1 1 1 1 = 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(http:/bioinfo.uncc.edu/szhang) 4 10. 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 X在在在 在 2/1,0 上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布， ， ， 22XY = ， ，求 求求 求 E(Y), D(Y). 解： 21,0 UX = 其它 ,0 0 ,2)( 21xxf ， = 2/10 2/10 3 22 6 1| 3422)2()( xdxxXEYE . = 2/10 2 222 45 1 6 124)()()( dxxYEYEYD . 11、 、在国际市场上 在国际市场上在国际市场上在国际市场上， ， ，每年对我国某种出口商品需求量 每年对我国某种出口商品需求量每年对我国某种出口商品需求量每年对我国某种出口商品需求量 X是服从是服从是服从是服从 2000,4000 的均匀分布的随机变量的均匀分布的随机变量的均匀分布的随机变量的均匀分布的随机变量， ， ，若每售出 若每售出若每售出若每售出 1t， ，可以获得 可以获得可以获得可以获得 3 万元外汇万元外汇万元外汇万元外汇， ， ，如果售不 如果售不如果售不如果售不 出而产品积压出而产品积压出而产品积压出而产品积压， ， ，则需要保养费 则需要保养费则需要保养费则需要保养费 1 万元万元万元 万元 /t， ，问 问问 问， ， ，应组织多少货源 应组织多少货源应组织多少货源应组织多少货源， ， ，才能使 才能使才能使才能使 得平均收益最大得平均收益最大得平均收益最大得平均收益最大？ ？ ？ 解：设商品需求量为 X (t),组织货源 y（ t），收益为 R， XU2000, 4000， 则 = yXy yXXyXR ,3 ),(3 ，则 +=+= y y yydxydxyxRE 2000 4000 22 2000 20002140002 2000 3 2000 4)( 令 350002000140004)( =+= yydyRdE ，又 3500020004)(2 2 = ydy REd 是最大值点，即组织货源 3500 t即可使平 均收益最大。 12、 、游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光 游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光， ， ，电梯于每个正点后的第 电梯于每个正点后的第电梯于每个正点后的第电梯于每个正点后的第 6 分分分 分 钟钟钟 钟、 、 、 24 分钟分钟分钟 分钟、 、 、 42分钟从底层上行分钟从底层上行分钟从底层上行分钟从底层上行。 。 。假设游客在上午 假设游客在上午假设游客在上午假设游客在上午 8： ： 00 到到到 到 9:00 之间之间之间 之间 任何时刻可以到达侯梯厅任何时刻可以到达侯梯厅任何时刻可以到达侯梯厅任何时刻可以到达侯梯厅， ， ，到达时刻为 到达时刻为到达时刻为到达时刻为 X， ，且 且且 且 X 服从服从服从 服从 0， ， 60上的均匀分上的均匀分上的均匀分上的均匀分 布布布 布， ， ，求游客等待时间的数学期望 求游客等待时间的数学期望求游客等待时间的数学期望求游客等待时间的数学期望。 。 。 解： X U0,60,等候时间 Y与到达时刻 X的关系有： 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(http:/bioinfo.uncc.edu/szhang) 5 Y=g(X)= 6042 ,66 4224 ,42 246 ,24 6 ,6 XX XX XX XX 所以 2.10 )66()42()24()6(601 )()()( 6 0 24 6 60 42 42 24 = += = + dxxdsxdxxdxx dxxfxgYE 13、 、设随机变量 设随机变量设随机变量设随机变量 nXXX , 21 L 相互独立相互独立相互独立相互独立， ， ，并且服从同一分布 并且服从同一分布并且服从同一分布并且服从同一分布， ， ，数学期望 数学期望数学期望数学期望 =)( iXE , 方差方差方差 方差 2)( =iXD ， ，求这些随机变量算数平均值 求这些随机变量算数平均值求这些随机变量算数平均值求这些随机变量算数平均值 = = n i iXnX 1 1 的数学期望和方差的数学期望和方差的数学期望和方差的数学期望和方差。 。 。 解： = = n i n i i n i i nEXnXnEXE 111 11)1()( nn nXD nXnDXD n i i n i i 2 2 2 1 2 1 )(1)1()( = = 14. 计算泊松分布的三阶原点和中心矩计算泊松分布的三阶原点和中心矩计算泊松分布的三阶原点和中心矩计算泊松分布的三阶原点和中心矩 . （ （略 略略 略） ） ） 15. 设设设 设 X， ， Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量， ， ，证明 证明证明 证明： ： ： D(X)=D(Y)的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是 X-Y 与与与 与 X+Y 不不不 不 相关相关相关 相关 . 证明： cov(X+Y)(X-Y)=E(X+Y)(X-Y)-E(X+Y)E(X-Y) 0)()( )()()()( )()()( 2222 2222 = = += YDXD YEYEXEXE YEXEYXE )()( YDXD = 由此看出，此结论成立。 16、 、设二维随机变量 设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(http:/bioinfo.uncc.edu/szhang) 6 = 其它 ,0 10,| ,1),( xxyyxf 求求求 求 cov(X,Y)， ，并问 并问并问 并问 X 与与与 与 Y 是否相关是否相关是否相关是否相关， ， ，是否独立 是否独立是否独立是否独立， ， ，为什么 为什么为什么为什么？ ？ ？ 解：先求 X与 Y的边缘密度 + = xxX xxdydyyxfxf )1,0(,21),()( 得 = 其它 ,0 10 ,2)( xxxf X = + 1 | )1,1( |,|11),()( yY yydxdxyxfyf 即 = )1,1( ,0 )1,1( |,|1)( y yyyf Y 显然 )()(),( yfxfyxf YX ，即 X与 Y不独立。 )(XE + = 1 0 2 3 22)( dxxdxxxf X ， =)(YE 0)1()1(|)|1()( 0 1 1 1 1 0 + =+= dyyydyyydyyydyyyfY + + = 10 0),()( dxydyxdxdyyxxyfXYE xx 0)()()(),cov( = YEXEXYEYX ,所以 X与 Y不相关。 17. 设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量 (X ,Y )的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 = 其它 ,0 0,20 ,163),( 2xyxxyyxf 求求求 求（ （ （ 1） ）数学期望 数学期望数学期望数学期望 E(X)及及及 及 E(Y);（ （ 2） ）方差 方差方差 方差 D(X)及及及 及 D(Y);（ （ 3） ）协方差 协方差协方差协方差 cov(X ,Y ) 及相关系数及相关系数及相关系数及相关系数 R(X ,Y ). 解： (1) + + = 2 0 0 2 0 62 2 7 12 32 3 16 3),()( x dxxydyxdxdxdyyxxfXE + + = 20 0 20 72 2 2161163),()( x dxxdyxydxdxdyyxyfYE 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(http:/bioinfo.uncc.edu/szhang) 7 （ 2） = 2 0 0 2 0 732 2 3323163)( x dxxydyxdxXE + + = 20 0 20 9322 2 5 24 64 3 16 3),()( x dxxdyxydxdxdyyxfyYE ;493491443)()()( 22 = XEXEXD ;544524)()()( 22 = YEYEYD （ 3） + + = 2 0 0 2 0 822 2 9 32 16 1 16 3),()( x dxxdyyxdxdxdyyxxyfXYE . 所以 .6387122932)()()(),cov( = YEXEXYEYX 5738.0 5/4493 63/8 )()( ),cov(),( = YDXD YXYXR . 18. 已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量 X ,Y 相互独立相互独立相互独立相互独立， ， ，且 且且 且 E(X) = 5, D(X) =1, E(Y) = 2, D(Y) =1, 设设设 设 U = X 2Y ,V = 2X Y ,求求求 求（ （ （ 1） ）数学期望 数学期望数学期望数学期望 E(U) ,E(V) ;（ （ 2） ）方差 方差方差 方差 D(U) , D(V) ;（ （ 3） ） cov(U,V), R(U,V ). 解： (1) ;145)(2)()2()( = YEXEYXEUE 8210)()(2)2()( = YEXEYXEVE . (2) 因为 X与 Y独立，所以 ;541)(4)()2()( =+=+= YDXDYXDUD .514)()(4)2()( =+=+= YDXDYXDVD (3) )242()2)(2()( 22 YXYXYXEYXYXEUVE += )(2)()(5)(2 22 YEYEXEXE += )()(2)()(5)()(2 22 YEXDYEXEXEXD += 12)41(2255)251(2 =+= 48112)()()(),cov( = VEUEUVEVU 概率论与数理统计第三章课后作业答案 张少强(http:/bioinfo.uncc.edu/szhang) 8 8.054)()( ),cov(),( = VDUD VUVUR 19. 已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在 7300， ，标准差是 标准差是标准差是标准差是 700， ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在 52009400之间之间之间 之间 的概率的概率的概率的概率。 。 。 解：设正常成年男性每毫升血液中白细胞数为 X，则根据题意， E(X)=7300， D(X)=7002, 则 P5200 X 9400= P-2100X-73002100=P|X-E(X)|2100 9 8 9 11 2100 7001 2100 )(1 2 2 2 = XD . 20. 略