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习 题 三 解 答 1 已 知 在 1 0 只 灯 泡 中 有 2 只 次 品 。 在 其 中 取 两 次 ， 每 次 任 取 一 只 ， 定 义随 机 变 量 和 如 下 ： 考 虑 两 种 试 验 ： （ 1 ） 放 回 抽 样 ， （ 2 ） 不 放 回 抽 样 。 试 分 别 就 这 两 种 情况 ， 写 出 和 的 联 合 分 布 律 。 解 ： 首 先 判 断 和 的 可 能 取 值 数 对 ： ， ， ，（ 1 ） 放 回 抽 样 和 的 联 合 分 布 律 ： 0 1 0 1 （ 2 ） 不 放 回 抽 样和 的 联 合 分 布 律 ： 0 1 0 1 2 将 一 硬 币 抛 掷 三 次 ， 以 表 示 在 三 次 中 出 现 正 面 的 次 数 ， 以 表 示 三 次 中 出 现 正 面 次 数 与 出 现 反 面 次 数 之 差 的 绝 对 值 。 试 写 出 和 的 联 合 分 布 。解 ： 由 题 意 ： 的 可 能 取 值 为 ： 0， 1， 2， 3再 设 为 出 现 反 面 的 次 数 ， 的 可 能 取 值 为 ： 0， 1， 2， 3 并 且 注 意 到 ： 0 1 2 3 3 2 1 0 所 以 的 可 能 取 值 为 ： 1， 3 不 可 能 取 到 0或 2。和 的 联 合 分 布 ： 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 3 甲 、 乙 两 人 独 立 地 进 行 两 次 射 击 ， 假 设 甲 的 命 中 率 为 0 .2 ， 乙 的 命 中 率 为 0 .5 ， 以 和 分 别 表 示 甲 和 乙 的 命 中 次 数 ， 试 求 和 的 联 合 分 布 律 。解 ： 首 先 判 断 ，和 独 立 所 以 分 布 表 略 。4 将 两 封 信 随 机 地 往 编 号 为 、 、 、 的 四 个 邮 筒 内 投 。 表 示 第 个 邮 筒 内 投 入 的 信 的 数 目 ， 写 出 的 分 布 律 。解 ： 首 先 判 断 的 所 有 可 能 取 值 数 对 ： ， ， ， ， 共 9对其 它 计 算 略 的 分 布 律 ： 0 1 2 0 1 0 2 0 0 即 ： 0 1 2 0 1 0 2 0 0 5 已 知 随 机 变 量 和 的 联 合 概 率 密 度 为 （ 1 ） 试 确 定 常 数 ；（ 2 ） 求 的 分 布 函 数 ； （ 3 ） 求（ 4 ） 求 。 解 ： （ 1 ） 因 为 即得 ： 。 随 机 变 量 和 的 联 合 概 率 密 度 为（ 2） 当 时 ， 的 分 布 函 数（ 3 ） （ 4 ）6 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 求 常 数 。解 ： 利 用 分 布 函 数 的 性 质 得 ： 所 以 ：所 以 得 ： ，7 设 随 机 变 量 只 取 下 列 四 组 值 ： ， 且 相 应 的 概 率 依 次 为 。 （ 1 ） 确 定 常 数 ； （ 2 ） 列 出 的 分 布 律 表 。解 ： （ 1 ） 利 用 所 有 取 值 概 率 之 和 等 于 1 得 ：解 之 得 ： （ 2） 的 分 布 律 表 0 1 -1 0 0 0 0 2 0 0 8 （ 1 ） 求 第 1 题 中 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 ； （ 2 ） 求 第 2 题 中 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 ；（ 3 ） 求 第 5 题 中 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 ； （ 4 ） 求 第 6 题 中 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 。解 ： （ 1 ） 因 为 和 的 联 合 分 布 律 （ 放 回 抽 样 ） ： 0 1 0 1 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 律 ： 0 1 0 1 不 放 回 抽 样 同 理 处 理 。 （ 2 ） 因 为 和 的 联 合 分 布 ： 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 的 边 缘 分 布 率 ： 0 1 2 3 的 边 缘 分 布 率 ： 1 3 （ 3 ） 因 为 随 机 变 量 和 的 联 合 概 率 密 度 为 所 以 当 时 关 于 的 边 缘 密 度 为 ： 同 理 关 于 的 边 缘 密 度 为 （ 4 ） 因 为所 以 求 导 得 边 缘 密 度 函 数 ：同 理 的 边 缘 密 度 函 数 ：9 设 随 机 变 量 和 的 联 合 概 率 密 度 为 求 （ 1 ） 和 的 联 合 分 布 函 数 ； （ 2 ） 边 缘 概 率 密 度 。解 课 堂 已 讲 ： （ 2 ） 求 边 缘 概 率 密 度 可 对 联 合 概 率 密 度 进 行 积 分 即 可 。 1 0 设 二 维 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 求 ： （ 1 ） 和 的 联 合 分 布 函 数 ； （ 2 ） 边 缘 概 率 密 度 。解 ： （ 1） 当 或 时 ， 当 时 ， 当 时 ， 当 时 当 时 ， 所 以 和 的 联 合 分 布 函 数 ： （ 2 ）当 或 时 ， 当 时 ，所 以 边 缘 概 率 密 度 同 理 边 缘 概 率 密 度 1 1 将 某 医 药 公 司 9 月 份 和 8 月 份 收 到 的 青 霉 素 针 剂 的 定 货 单 数 分 别 记 为和 。 据 以 往 积 累 的 资 料 知 和 的 联 合 分 布 如 下 表 ： （ 1 ） 求 边 缘 分 布 律 ；（ 2 ） 求 8 月 份 的 定 单 数 为 5 1 时 ， 9 月 份 定 单 数 的 条 件 分 布 律 。 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 1 0 .0 6 0 .0 5 0 .0 5 0 .0 1 0 .0 1 5 2 0 .0 7 0 .0 5 0 .0 1 0 .0 1 0 .0 1 5 3 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 0 0 .0 5 0 .0 5 5 4 0 .0 5 0 .0 2 0 .0 1 0 .0 1 0 .0 3 5 5 0 .0 5 0 .0 6 0 .0 5 0 .0 1 0 .0 3解 ： （ 1 ） 由 联 合 分 布 马 上 可 求 边 缘 分 布 律 ： 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 0 .1 8 0 .1 5 0 .3 5 0 .1 2 0 .2 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 0 .2 8 0 .2 8 0 .2 2 0 .0 9 0 .1 3 （ 2 ） 8 月 份 的 定 单 数 为 5 1 时 ， 9 月 份 定 单 数 的 条 件 分 布 律 ， 其 它 同 理 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 1 2 以 记 某 医 院 一 天 出 生 的 婴 儿 的 个 数 ， 记 其 中 男 婴 的 个 数 。 设 和 的 联 合 分 布 律 为（ 1 ） 求 边 缘 分 布 律 ； （ 2 ） 求 条 件 分 布 律 ；（ 3 ） 求 时 ， 的 条 件 分 布 律 。 解 ： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 易 求 。 1 3 雷 达 的 圆 形 屏 幕 半 径 为 。 设 目 标 出 现 点 在 屏 幕 上 服 从 均 匀 分 布 。求 ： （ 1 ） 的 联 合 概 率 密 度 和 边 缘 概 率 密 度 ；（ 2 ） 和 ； （ 3 ） 。课 堂 已 讲 。 答 案 ： 解 ： 由 均 匀 分 布 的 定 义 有 （ 1 ） 的 联 合 概 率 密 度 边 缘 概 率 密 度 为 同 理 可 求 另 一 个 边 缘 一 度 函 数 （ 2 ） 条 件 密 度 函 数 由 定 义 易 求 （ 3 ） 1 4 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 （ 1 ）（ 2 ） 解 ： （ 1 ）随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 所 以同 理 ： （ 2 ）另 一 个 同 理 可 求 。 1 5 已 知 服 从 参 数 为 0 .6 的 0 -1 分 布 ， 在 及 时 ， 关 于 的 条 件 分 布 律 分 别 为 1 2 3 1 2 3 求 和 的 联 合 分 布 律 以 及 时 的 条 件 分 布 律 。解 ： 根 据 条 件 分 布 率 和 联 合 分 布 率 的 关 系 得 和 的 联 合 分 布 律 ： 1 2 3 0 1 0 1 0 .3 0 .7 1 6 （ 1 ） 第 1 题 中 的 随 机 变 量 和 是 否 相 互 独 立 ？ （ 2 ） 第 4 题 中 的 随 机 变 量 和 是 否 相 互 独 立 ？解 ： （ 1） 可 放 回 抽 样 独 立 ， 不 放 回 抽 样 不 独 立 ， 证 明 略 。 （ 2） 第 4 题 中 的 随 机 变 量 和 不 相 互 独 立 ， 证 明 略 。 1 7 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为（ 1 ） 求 边 缘 概 率 密 度 ， 并 问 和 是 否 相 互 独 立 ？ （ 2 ） 求 条 件 概 率 密 度 。解 ： (1)因 为 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 所 以 当 时 ，所 以 边 缘 概 率 密 度 同 理 ：（ 2） 条 件 密 度 由 联 合 密 度 与 边 缘 密 度 的 关 系 易 求 。 1 8 设 和 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 分 别 为其 中 是 常 数 。 引 入 随 机 变 量 （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 求 的 分 布 律 和 分 布 函 数 。解 ： （ 1） 因 为 设 和 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 分 别 为 其 中 是 常 数 。所 以 （ 2） 的 分 布 律的 分 布 律 0 1 的 分 布 函 数 ： 1 9 设 和 是 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 且 分 别 服 从 参 数 为 与 的 指 数 分 布求 （ 1 ） 的 概 率 密 度 ； （ 2 ） 的 概 率 密 度 。 解 ： 因 为 和 是 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 且 分 别 服 从 参 数 为 与 的 指 数 分布 所 以 密 度 函 数 分 别 为 ：（ 1） 由 卷 积 公 式 当 时 得 ： ， 否 则 当 ，（ 2） 当 时密 度 函 数 分 别 为 2 0 某 种 商 品 一 周 的 需 要 量 是 一 个 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为设 各 周 的 需 要 量 是 相 互 独 立 的 。 试 求 ： （ 1 ） 二 周 需 要 量 的 概 率 密 度 ； （ 2 ） 三 周 需 要 量 的 概 率 密 度 。解 ： 因 为 某 种 商 品 一 周 的 需 要 量 是 一 个 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为 又 各 周 的 需 要 量 是 相 互 独 立 的（ 1） 卷 积 公 式 得 二 周 需 要 量 的 概 率 密 度 当 时 即 同 理 三 周 需 要 量 的 概 率 密 度 2 1 设 与 是 相 互 独 立 ， 其 条 件 分 布 律 分 别 为 1 2 3 1 2 3 求 的 联 合 分 布 律 及 。本 题 有 错 误 。 2 2 一 个 商 店 每 星 期 四 进 货 ， 以 备 星 期 五 、 六 、 日 3 天 销 售 。 根 据 多 周统 计 ， 这 3 天 销 售 件 数 彼 此 独 立 ， 且 有 如 下 分 布 1 0 1 1 1 20 .2 0 .7 0 .1 1 3 1 4 1 50 .3 0 .6 0 .1 1 7 1 8 1 90 .1 0 .8 0 .1 问 3 天 的 销 售 总 量 可 以 取 哪 些 值 ？ 如 果 进 货 4 5 件 ， 不 够 卖 的 概 率 是 多少 ？ 如 果 进 货 4 0 件 ， 够 卖 的 概 率 是 多 少 ？ 解 ： 销 售 总 量 可 以 取 40 41 42 43 44 45 46 如 果 进 货 4 5 件 ， 不 够 卖 的 概 率 是 0.001。 如 果 进 货 4 0 件 ， 够 卖 的 概 率 是 0.006。2 3 设 与 相 互 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布 。 试 验 证 的 概 率 密 度 为 称 服 从 参 数 的 瑞 利 （ Ray leig h ） 分 布 。解 ： 课 堂 已 讲 ， 见 课 件 。 2 4 测 量 一 圆 形 物 件 的 半 径 ， 其 分 布 律 为 1 0 1 1 1 2 1 3 0 .1 0 .4 0 .3 0 .2 求 圆 周 长 与 圆 面 积 的 分 布 律 。 解 ： 圆 周 长 的 分 布 律 2 0 2 2 2 4 2 6 0 .1 0 .4 0 .3 0 .2 圆 面 积 的 分 布 律 1 0 0 1 2 1 1 4 4 1 6 9 0 .1 0 .4 0 .3 0 .2 2 5 已 知 ,与 独 立 。（ 1 ） 确 定 的 值 ； （ 2 ） 求 出 的 联 合 分 布 律 以 及 的 分 布 律 。解 ： （ 1） 由 分 布 率 的 性 质 得 ： 所 以所 以 （ 2） 的 联 合 分 布 1 2 3 1 2 3 的 取 值 为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 同 理 ：+ 其 它 略 。 2 6 设 某 种 电 子 仪 器 由 两 个 部 件 构 成 ， 以 和 分 别 表 示 两 个 部 件 的 寿 命 （ 单 位 ： 千 小 时 ） ， 已 知 的 分 布 函 数 为 （ 1 ） 问 和 是 否 相 互 独 立 ？ （ 2 ） 求 两 个 部 件 寿 命 都 超 过 1 0 0 小 时 的 概率 。 解 ： （ 1） ， ， 所 以 ， 和 相 互 独 立 。 （ 2 ） 两 个 部 件 寿 命 都 超 过 1 0 0 小 时 的 概 率 2 7 设 与 相 互 独 立 ， 它 们 分 别 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 。 证 明 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 。 证 明 ： 因 为 与 相 互 独 立 ， 它 们 分 别 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 所 以 ， 即 证 。 2 8 设 与 相 互 独 立 ， 它 们 分 别 服 从 参 数 为 二 项 分 布 。 证 明 服 从 参 数 为 的二 项 分 布 。 课 堂 已 讲 ， 见 课 件 。2 9 设 的 分 布 律 为 0 1 2 3 0 0 .1 0 0 .0 4 0 .1 3 0 .0 8 1 0 .0 5 0 .0 6 0 .0 8 0 .1 1 2 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 1 0 .0 5 3 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 5 0 .0 6 4 0 .0 1 0 .0 4 0 .0 3 0 .0 2 （ 1 ） 求 ；（ 2 ） 求 的 分 布 律 ； （ 3 ） 求 的 分 布 律 ；（ 4 ） 求 的 分 布 律 ； （ 5 ） 求 的 分 布 律 ；（ 6 ） 求 的 分 布 律 。 解 ： （ 1）（ 2 ） 的 所 有 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 其 它 同 理 可 求 ， 所 以 的 分 布 律 为 0 1 2 3 4 5 6 7 0.1 0.09 0.20 0.20 0.16 0.14 0.09 0.02 （ 3） 的 取 值 为 ： -3 ， -2 ， -1 ， 0 ， ， 8其 它 略 。 （ 4） 的 取 值 为 ： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4其 它 同 理 可 求 ： 的 分 布 律 为 ： 0 1 2 3 4 0.10 0.15 0.25 0.40 0.10 （ 5） 的 所 有 可 能 取 值 0 ， 1 ， 2 ， 3其 它 同 理 可 求 ： 的 分 布 律 ： 0 1 2 3 0 .4 4 0 .3 4 0 .1 4 0 .0 8 （ 6 ） 的 分 布 律 与 的 分 布 律 相 同 ，即 为 ： 0 1 2 3 4 5 6 7 0.1 0.09 0.20 0.20 0.16 0.14 0.09 0.02 3 0 设 和 相 互 独 立 ， 且 服 从 （ 0 ,2 ） 上 的 均 匀 分 布 ， 求 的 分 布 函 数 和 概 率 密 度 。解 ： 和 相 互 独 立 ， 且 服 从 （ 0 ,2 ） 上 的 均 匀 分 布 所 以 和 联 合 概 率 密 度 为 ： ， 当 时 ，当 时 ， 当 时 ，所 以 ， 的 分 布 函 数 为 ： 密 度 函 数 ： 3 1 设 随 机 变 量 相 互 独 立 ， 且 有 共 同 的 概 率 密 度 记 的 分 布 函 数 为 ， 证 明 ， 其 中 是 参 数 为 2 的 指 数 分 布 函 数 。证 明 ： 因 为 随 机 变 量 相 互 独 立 ， 且 有 共 同 的 概 率 密 度 所 以 共 同 的 概 率 分 布 函 数 为 ：当 时 ， 又因 为 ： 所 以 ：即 证 是 参 数 为 2 的 指 数 分 布 函 数 。
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