概率论与数理统计经管类课后习题第一章.pdf

1 习题1.2 1. 把10本书任意放在书架的一排上,求指定的3本书放在一起的概率. 解:PnullAnull null A null null nullA null null A nullnull nullnull null null nullnull 2. 10个产品中有7件正品,3件次品. (1) 不放回地每次从中任取一件,共取3次,求取到3件次品的概率; (2) 每次从中任取一件,有放回地取3次,求取到3件次品的概率. 解: (1). PnullA null null null A null null A nullnull null null null nullnullnull (2). PnullA null null nullnull null nullnull null null null nullnull nullnullnullnull 3. 袋中有7个球,其中红球5个白球2个,从袋中去球两次,每次随机地取一个球,取后不放回,求: null1null 第一次取到白球,第二次取到红球的概率; null2null 两次取得一红球一白球的概率. 解: (1) PnullA null null null A null null nullA null null A null null null null nullnull (2)PnullA null null null C null null nullC null null C null null null nullnull nullnull 4. 掷两枚骰子,求出现的点数之和等于7的概率.(同題1.类同) 解: PnullAnull null A nullnull nullnull nullA null null A nullnull nullnull null null null 5. 从1,2,3,4,5个数码中,任取3个不同数码排成一个三位数,求: (1) 所得的三位数为偶数的概率; (2) 所得的三位数为奇数的概率. 解: (1) PnullA null null null A null null nullA null null A null null null0.4 (3) 由于同PnullA null null为对立事件,所以PnullA null null null1nullPnullA null null null1null0.4null0.6 6. 口袋中有10个球,分别标有号码1到10.现从中任选3个,记下取出球的号码,求: (1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率. 解: (1) PnullA null null null C null null C nullnull null null null nullnull (3) PnullA null null null C null null C nullnull null null null nullnull 2 7. 将3个球随机的放入4个杯子,求3个球在同一杯子中的概率. 解: null null null null null null null null null4null null nullnull 8. 罐中有12粒围棋子,其中8粒白子4粒黑子,从中任取3粒,求: (1) 取到都是白子的概率; (2) 取到两粒白子,一粒黑子的概率; (3) 至少取到一粒黑子的概率; (4) 取到的3粒棋子颜色相同的概率; 解: (1) PnullA null null null C null null C nullnull null null0.255 (2) PnullA null null null C null null nullC null null C nullnull null null0.509 (3)同PnullA null null为对立事件,故PnullA null null null1nullPnullA null null null1null0.255null0.745 (4) PnullA null null null A null null nullC null null A nullnull null null0.273 9. 从0,1,2,9等10个数字中任选3个不同的数字,求3个数字中不含0或5的概率. 解: PnullA null null null C null null C nullnull null null 0.255 10. 设AnullB,P(A)=0.2,P(B)=0.3,求: (1) PnullA null null,PnullB null null; (2) PnullAnullBnull; (3) PnullABnull; (4) PnullBA null null; (5) PnullAnullBnull. 解: (1) PnullA null null null1nullPnullAnull null1null0.2null0.8,PnullB null null null1nullPnullBnull null1null0.3null0.7 (2) 由于AnullB,故PnullABnull nullPnullBnull; PnullAnullBnull nullPnullAnullnullPnullBnull nullPnullABnull=0.2 (3)由于AnullB,故PnullABnull nullPnullBnull null0.3; (4) PnullBA null null null PnullBnullnullPnullABnull null 0.3null 0.2 null 0.1 (5) PnullAnullBnull nullPnullAnullnullPnullABnull null 0.2null 0.2 null 0 11.设P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(AB)=0.3,求PnullAB nullnullnullnull null,PnullAnullBnull,PnullA null B null null. 解: PnullAB nullnullnullnull null null1nullPnullABnull null1nullnullPnullAnullnullPnullAnullBnullnull null1null0.4null0.6 PnullAnullBnull nullPnullAnullnullPnullBnullnullPnullABnull nullPnullAnullnullPnullBnull nullnullPnullAnullnullPnullAnullBnullnull null 0.7null 0.6null 0.4 null 0.9 PnullA null B null null null1nullPnullAnullBnull null1null0.9null0.1 12.设P(AB)= PnullA null B null null,且P(A)=p,求P(B). 解: PnullA null B null null nullPnullAnullB nullnullnullnullnullnullnull null null1nullPnullAnullBnull null1nullnullPnullAnullnullPnullBnull nullPnullABnull P (B) =1P (A) +P (AB) PnullA null B null null=1P (A) =1p 3 13.设A,B,C为三个随机事件,且P(A)= P(B)= P(C)= null null , P(AB)= P(BC)= null nullnull ,P(AC)=0.求: (1)A,B,C中至少有一个发生的概率. (2)A,B,C全部发生的概率. 解: (1)至少有一个发生的概率为P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)= null null null null nullnull null null null (2)A,B,C全部发生的概率为1 null null null null null 习题1.3 2.设P(A)=0.5, PnullAB null null null0.3,求PnullB|Anull 解: PnullB|Anull= PnullABnull PnullAnull = PnullAnullnullPnullAB null null PnullAnull = null.nullnullnull.null null.null null0.4 3.设P(A)= null null ,P(B|A)= null null , P(A|B)= null null ,求 PnullAnullBnull 解:P(AB)= P(A)* (B|A)= null null null null null null null null , P(B)= PnullABnull PnullA|Bnull null null nullnull null null null null null PnullAnullBnull nullPnullAnullnullPnullBnullnullPnullABnull null 1 4 null 1 6 null 1 12 null 1 3 4.设PnullA null null null0.3,PnullBnull null0.4,PnullAB null null null0.5,求PnullB|AnullB null null. 解: PnullB|AnullB null null nullnull PnullB,AnullB null null PnullAnullB null null null PnullABnull nullnullnullPnullBnullnullPnullABnullnull null PnullAnullnullPnullAB null null nullnullnullPnullBnullnullPnullABnullnull null null.null null.null null0.25 5.一批产品中有4%废品,而合格品中一等品占55%,从这批产品中任选一件,求这件产品是一等品的概 率. 解:设A表示”合格品”,B表示”一等品” P (B|A) =55%, P (A) =14%=96%. P (AB) = P (B|A)* P (A) =55%*96%=0.528 6.设某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问年龄为20岁的这种动物活到25岁的 概率为多少? 解:设A表示”活到20岁”,B表示”活到25岁” P (B|A) = PnullABnull PnullAnull null null.null null.null null0.5 7.10个零件有3个次品,7个合格品,每次从中任取一个零件,共取3次,取后不放回,求: (1)这3次都取到次品的概率; (2)这3次中至少有一次取到合格品的概率. 4 解: (1) PnullA null null null C null null C nullnull null null null nullnullnull ; (2) PnullA null null=1 PnullA null null null nullnullnull nullnullnull 8.设某光学仪器厂制作的透镜,第一次落下时摔碎的概率为 null null ,若第一次落下未摔破,第二次落下摔破的 概率为 null nullnull ;若前两次落下未摔破,第三次落下摔破的概率为 null nullnull ,试求透镜落下3次而未摔破的概率. 解:设A表示”第一次未摔碎”,B表示”第二次未摔碎”,C表示”第三次未摔碎” 则P(A)=1null 1 2 null 1 2 ; P(B|A)=1null 7 10 = null nullnull ; P(C|AB)= 1null 9 10 = null nullnull P (ABC) =P (A) P (B|A) P (C|AB) = null null null null nullnull null null nullnull null null nullnullnull 9.设在n张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖.求第三个人摸到奖券的概率. 解: nullnullnull null null nullnullnull nullnullnull null null nullnullnull null null null 10.两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02,加工出来 的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.求任取一零件是合格品的概 率. 解:设A 1 表示第一台加工的产品, A 2 表示第二台加工的产品,B表示”取得废品” P (A 2 ) +2 P (A 2 ) =1, P (A 2 ) = null null , P (A 1 ) = null null PnullB null null nullPnullA null nullPnullB null |A null nullnullPnullA null nullPnullB null |A null null null 2 3 nullnull1null0.03nullnull 1 3 nullnull1null0.02null null0.973 11. 在甲乙丙三个袋中,甲袋中有白球2个黑球1个,乙袋中有白球1个黑球2个,丙袋中有白球2个黑 球2个,现随机地选出一个袋子再从袋中取一球,问取出的球是白球的概率. 解:设A null 表示甲袋中的球, A null 表示乙袋中的球, A null 表示丙袋中的球,B表示”取出白球”,则 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+ P(A 2 )P(B|A 2 )+ P(A 3 )P(B|A 3 )= null null null null null + null null null null null null null null null null null =0.5 12. 已知男性中有5%是色盲患者,女性中有0.25%是色盲者,现从男女人数相等的人群中随机地挑选一 人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解:设A表示”挑选到男性”,B表示”挑选到色盲患者” P (A) = null null ,PnullA null null null 1 2 P (B|A) =0.05,PnullB|A null null null 0.0025 P (B) =P (A) P (B|A) + PnullA null nullPnullB|A null null=0.5*0.05+0.5*0.0025=0.02625. P (A|B) = PnullAnullPnullB|Anull PnullBnull null null.nullnullnull.nullnull null.nullnullnullnullnull null nullnull nullnull 5 13. 对以往数据分析结果表明,当机器调整达良好时,产品合格率为90%,而机器发生某一故障时,产品的 合格率为30%,每天早上机器开动时,机器调整达良好的概率为75%.已知某日早上第一件产品是合 格品,求机器调整达良好的概率. 解:设A表示”机器调整达良好”, B表示”产品合格”则 P (B) = PnullAnullPnullB|Anull null PnullA null nullPnullB|A null null null 75%null90%nullnull1null75%nullnull30% null 0.75 P (A|B) = PnullAnullPnullB|Anull PnullBnull null nullnull%nullnullnull% null.nullnull null0.9 14. 某工厂中,三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的 次品,将这些产品混在一起,先随机地取一产品,问它是次品的概率是多少?又问这一次品是有三台 机器中的哪台机器生产的概率最大? 解:设A 1 表示”第一台机器成产的产品”, A 2 表示”第二台机器成产的产品”, A 1 表示”第三台机器成产 的产品”,B表示”取到次品”,则 P(B)=P(A 1 )P(B| A 1 )+ P(A 2 )P(B| A 2 )+ P(A 3 )P(B| A 3 )=25%*5%+35%*4%+40%*2%=0.0345 P (A 1 |B) = PnullA1nullPnullB|A1null PnullBnull null nullnull%nullnull% null.nullnullnullnull null 0.3623 P (A 2 |B) = PnullA2nullPnullB|A2null PnullBnull null nullnull%nullnull% null.nullnullnullnull null 0.4058 P (A 3 |B) = PnullA3nullPnullB|A3null PnullBnull null nullnull%nullnull% null.nullnullnullnull null 0.2319 通过计算得出第二产成产的概率最大. 习题1.4 1. 设P(A)=0.4, PnullAnullBnull null0.7,求在下列条件下分别求P(B): (1) A与B互不相容; (2) A与B相互独立; (3) AnullB. 解: (1) P(B)= PnullAnullBnull nullPnullAnull null 0.7null 0.4 null 0.3; (2)PnullAnullBnull null1null PnullA null nullPnullB null null,PnullBnull null1nullnull nullnullPnullAnullBnull PnullA null null null null 1null 0.5 null 0.5; (3) PnullAnullBnull nullPnullAnullnullPnullBnull nullPnullABnull nullPnullAnullnullPnullBnullnull PnullAnull=0.7. 2. 甲乙两人独立地各向同一目标射击一次,其中命中率分别为0.6和0.7,求目标被命中的概率.若已知 目标被命中,求它是甲射中的概率. 解: 设A表示”甲射中目标”,B表示”乙射中目标”,C表示”目标被击中”,则CnullAnullB,A与B相互独立, (1) P(C)= PnullAnullBnull null1null PnullA null nullPnullB null null null1nullnull1null0.6nullnull null1null0.7null null0.88 (2) P(A|C)= PnullAnullPnullC|Anull PnullCnull null null.nullnullnull null.nullnull null nullnull nullnull 6 3. 有甲乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7.在两批种子中各任取一粒,求: (1) 两粒种子都能发芽的概率; (2) 至少有一粒种子能发芽的概率; (3) 恰好有一粒种子发芽的概率. 解: (1)P 1 =P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.7=0.56; (2)P 2 =P(ABnullAB null nullA null B) 由于AB, AB null ,A null B互不相容,故 P(ABnullAB null nullA null B) = P (AB) +P (AB null ) +P (A null B) =0.56+0.8*0.3+0.2*0.7=0.94; (3) P 3 =P(AB null nullA null B) = 0.8*0.3+0.2*0.7=0.38. 4. 加工某一零件共需经过3道工序,设第一,二,三道工序的次品率是2%,3%,5%.假定各道程序互不影响, 求加工出来的零件的次品率. 解:设A i 表示”第I道程序出现次品”(I=1,2,3).A表示”加工出来的零件是次品” P(A)= A null nullA null nullA null =Pnull A null nullnullPnull A null nullnullPnull A null nullnullPnull A null A null nullnullPnull A null A null nullnullPnull A null A null nullnullPnull A null A null A null null 因各道程序互不影响,所以事件 A null ,A null ,A null 是相互独立的.则有 Pnull A null A null null nullPnull A null nullPnull A null null null 0.02null0.03 null 0.0006 Pnull A null A null null nullPnull A null nullPnull A null null null 0.03null0.05 null 0.0015 Pnull A null A null null nullPnull A null nullPnull A null null null 0.02null0.05 null 0.001 Pnull A null A null A null null nullPnull A null nullPnull A null nullPnull A null null null 0.02null0.03null0.05 null 0.00003 因此P(A)=0.02+0.03+0.050.00060.00150.001+0.00003=0.09693 5. 在1小时内甲乙丙3台机床需维修的概率分别是0.1,0.2,0.15,求1小时内: (1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床需要维修的概率; (3) 至多有一台机床需要维修的概率. 解:设A null 表示甲机床需维修, A null 表示乙机床需维修, A null 表示丙机床需维修, (1)P 1 =P (A null null A null null A null null null= Pnull A null nullPnull A null nullPnull A null null null null1null0.1nullnullnull1null0.2nullnullnull1 null0.15null null 0.612; (2)P 2 =1 P (A null null A null null A null null null=10.612=0.388; (3) P 3 =P (A null null A null null A null null nullA null A null null A null null nullA null null A null A null null nullA null null A null null A null ) =0.612+0.068+0.153+0.108=0.941 6. 证明A与B相互独立,则A与B null 相互独立. 解:P(AB)=P(A)P(B) P(AB null )=P(A)(1B)=P(AAB)=P(A)P(AB)= P(A) P(A)P(B)=P(A)1P(B)=P(A)P(B null ). 7. 设0P(B)1,证明事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A|B null ). 解: A与B相互独立 A null 与B也相互独立, P(A|B)=P(A), P(A|B null )=P (A) P (A|B) =P (A|B null ) 0P (B) 1 0P (B null ) 0.999,即a n 0,则 D A. P(A)=1P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(AnullB)=1 D. P(AB nullnullnullnull )=1 解:A,B互不相容,即AB=;P()=0,P()=1, P( null )= P()=1 6. 设A,B为随机事件,P(B)0,P(A|B)=1,则必有 A A. P (AnullB) =P (A) B. AnullB C.P (A) =P (B) D. P (AB) =P (A) 7. 设A,B为两个随机事件,且P(AB)0,则P(A|AB)= D A. P (B) B. P (AB) C. P (AnullB) D.1 解:由条件概率公式P(A|B)= PnullABnull PnullBnull 得P(A|AB)= PnullAnullPnullABnull PnullABnull = PnullABnull PnullABnull =1 8. 设A与B互为对立事件,且P(A)0,P(B)0,则下列各式中错误的是 A A. P ( B null |Anull null0 B. P (A|B) =0 C.P (AB) =0 D. P (AnullB) =1 9. 设随机事件A与事件B互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A|B)= A A. 0 B. 0.2 C. 0.4 D.0.5 注:A,B互不相容,即不能同时发生. 10.设P(A)0,P(B)0,则由A与B相互独立不能推出 A A. P (AnullB)=P(A)=P(B) B. P(A|B)=P(A) C. P (A null |B null )= P (B null ) D. P (AB null )=P(A)P(B null ) 注: P (AnullB)=1 P (A null ) P (B null ) 11.某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为 null null ,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率 是 C A. null null null null null B. null null null null null * null null C. null null null null null * null null D. C null null null null null null null * null null 12.抛一枚不均匀硬币,正面朝上的概率为 null null ,将此硬币连抛4次,则恰好3次正面朝上的概率是 C A. null nullnull B. null nullnull C. nullnull nullnull D. null null 解: C null null null null null null null nullnull null null null null =4* null nullnull null null null 二.填空题 1. 从1,2,3,4,5中任取3个数字,则这3个数字中不含1的概率为 0.4 . 解: C null null C null null = null nullnull ,去掉1就是4个中取3个数字的取法. 10 2. 从1,2,10这10个自然数中任取3个数,则这3个数中最大的为3的概率是 null nullnullnull . 解: C null null C nullnull null = null nullnullnull 3. 一口袋装有3个红球,2个黑球,现从中任取出2个球,则这2个球恰为一红一黑的概率是 0.6 . 解: C null null nullC null null C null null = null nullnull 4. 从分别标有1,2,.9号码的9件产品中随机取3件,每次取1件,取后放回,则取得的3件产品的标号 都是偶数的概率是 nullnull nullnullnull . 解: null null null null null nullnull nullnullnull 5. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为 null null . 解: null null * null null null null null null3null null null 6. 设随机事件A与B互不相容,P(A)=0.2, P (AnullB)=0.5,则P(B)= 0.3 . 解:A与B互不相容时, P (AnullB)= P(A)+ P(B) 7. 100件产品中,有10件次品,不放回地从中接连取两次,每次取一个产品,则第二次取到次品的概率为 0.1 . 解:设A=第一次取到次品,B=第二次取到次品. P (B) =P (A) P (B|A) +P (A null ) P (B|A null ) = nullnull nullnullnull null null nullnull null nullnull nullnullnull null nullnull nullnull =0.1 8. 设A,B为随机事件,且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,则P(A|B)= 0.5 . 解: PnullAnullnullPnullB|Anull PnullBnull null null.nullnullnull.nullnull null.null 9. 某工厂的次品率为5%,而正品中有80%为一等品,如果从该厂的产品中任取一件来检验,则检验结果 是一等品的概率为 0.76 .(不同于例118!) 解: (15%)*80% 10. 甲乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮,甲乙机种飞机的概率分别为0.3,0.4,则飞机至少 被击中一炮的概率为 0.58 . 解:1(10.3)*(10.4)=10.42=0.58 11. 在一次考试中,某班学生数学和外语的及格率都是0.7,且这两门课是否及格相互独立,现从该班任 选一名学生,则改学生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 . 解:0.7*(10.7) + 0.7*(10.7) 12. 设A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(A|B)= 0.2= P(A) . 13. 某射手命中率为 null null ,他独立地向目标射击4次,则至少命中一次的概率为 nullnull nullnull . 解: 1nullC null null null null null null null nullnull null null null null null1null null nullnull null nullnull nullnull 11 三.设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A null )=0.4,求P(AB). 解P (A null )* P (B|A null ) = P (B) *P (A null |B) P (A null ) =1P (A) 0.5*0.5=0.6* P (A null |B) P (A null |B) = null null P (A|B) =1 P (A null |B) = null null P (AB) =P (B)*P (A|B) =0.4 四.设A,B为两个随机事件,0P(B)1,P(A| B null )=P(A|B),证明A与B独立. 证: P(A|B)= PnullABnull PnullBnull , P (A|B null )= PnullAB null null PnullB null null = PnullAnullnullPnullABnull nullnullPnullBnull P(A|B null )=P(A|B),即: PnullABnull PnullBnull = PnullAnullnullPnullABnull nullnullPnullBnull P(AB)1P(B)=P(B) PnullAnullnullPnullABnull P(AB)P(AB)P(B)=P(B)P(A)P(B)P(AB) P(AB)=P(B)P(A) 所以A与B相互独立. 五.已知一批产品中有95%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次 品被误判为合格品的概率是0.03.求: (1)任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率; (2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率. 解:设A表示”合格品”, B表示”被判为次品”,则: P(A)=0.95; PnullA null null null0.05; P(B|A)=0.02 P(B null |A)=0.98 P(B null |A null )=0.03 (1)由全概率公式可得: P(B null )=P(A)P(B null |A)+ PnullA null null P(B null |A null )=0.95*0.98+0.05*0.03=0.9325 (2)由贝叶斯公式可得: P(A|B null )= PnullAnullPnullB null |Anull PnullB null null null null.nullnullnullnull.nullnull null.nullnullnullnull null0.9984 说明(1)一个合格品被误判为次品的概为0.02,则被判为合格品的概0.95*(1-0.02);一个次品被误 判为合格品的概是0.03,则被判为合格品的概0.05*0.03.所以任意抽查一个产品，它被判为合格 品的概为G1=0.95*(1-0.02)+0.05*0.03. (2)由1题已算出任意抽查一个产品被判为合格品的概,其中包括对次品的误判,所以要除去对次品判 为合格的概,因此一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概 G2=0.95*(1-0.02)/0.95*(1-0.02)+0.05*0.03