概率论与数理统计复习题答案.pdf

概率论与数理统计复习题 一填空题 1设 , , AB C 为三个事件 ,用 , , AB C 的运算关系 式 表示下列事件： , , AB C 都发生 _； , , AB C 中不多于一个发生 _. 解： ABC ； A B B C A C A B C A B C A B C A B C 2.一副扑克牌共 52 张，无大小王，从中随机地抽取 2张牌，这 2张牌花色不相同的概率为 解： 2 1 14 13 13 252 1317C C Cp C 或者 124 13 252 131 17CCp C 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解： 1 5 5 ( , ) | , 1 , , 6 , , ( ) 3 6 1 2S i j i j A i j P A 4.设随机事件 A 与 B 相互独立， ( ) 0 .5 , ( ) 0 .6P A P B，则 ()PA B ， ()PA B 。 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 2P A B P AB P A P B , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8P A B P A P B P A P B 5.已知 61)(,31)|(,41)( BPABPAP ，则 ()P A B_. 解： 1 1 1( ) ( ) ( | ) 4 3 1 2P A B P A P B A ， 1( ) ( ) ( ) ( ) 3P A B P A P B P A B 6.已知 ( ) 0 .6 , ( ) 0 .3P A P A B,且 ,AB独立 ,则 ()P A B . 解： ( ) ( ) ( ) 0 . 3 ( ) 0 . 5 ( ) 0 . 5P AB P A P B P B P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8P A B P A P B P A B P A P B P A P B 7.已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,且 A,B互不相容，则 ( ) _ _ _ _ _ , ( ) _ _ _ _ _P A B P AB. 解： ( ) ( ) ( ) 0 . 3 , ( ) ( ) ( ) 0 . 3P A B P B P A B P AB P A P A B 或 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 . 3P AB P A B P A P B 8.在三次独立的实验中，事件 B至少出现一次的概率为 19/27，若每次实验中 B出现的 概率均为 p, 则 p=_ 解：设 X 表示 3次试验中事件 B出现的次数，则 (3, )X B p ， 3 1 9 1 1 1 0 1 ( 1 ) ,2 7 3P X P X p p 9.设 ( ), 0XP ，则 X 的分布律为 解： , 0 , 1 , 2 , !k eP X k kk 10设随机变量 X 服从泊松分布，且已知 1 2P X P X ，那么 4PX 。 解：由 1 2P X P X 即 2 2 1! 2 !ee ， 42 222 4 4 ! 3eP X e 11.设随机变量 (0,5)XU ,则方程 22 2 1 0Xx Xx (x 为未知数 )有实根的概率为 . 解： 2 3 0 ( 2 ) 4 2 0 2 0 5P P X X P X P X 12.设 (1, 3 ), ( 2 , 4 )X N Y N， X 与 Y 相互独立，则 23Z X Y 解： ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 , ( ) 4 ( ) 9 ( ) 4 8E Z E X E Y V a r Z V a r X V a r Y , 2 3 ( 4 , 4 8 )Z X Y N 13设 10 件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，则其中至少有一件是不合格品的概率为 解： 26 210 1211 33Cp C 14. 设随机变量 ),( YX 的概率分布如 右表 ,则 ()EX , ()Var X 解： 221 2 5 5 2 1 , 2 , ( ) , ( ) 3 , ( ) 3 ( )3 3 3 3 9P X P X E X E X V a r X 15.已知随机变量 X 服从 1,3 上的均匀分布，则 ()EX , ()Var X 。 解： 13( ) 22EX ， 2(3 1) 1() 1 2 3Var X 16.二维连续型随机变量 ( , )XY 的联合概率密度为 ( , )f xy ，则 ( , )f x y dxdy 1 。 17设随机变量 ,XY独立且 ,XY的概率密度分别为 2 0 1 ,( ) 0,X xxfx 其 它 , 4 , 0 2 ,( ) 0,Y yyfy 其 它 , 则 ( , )XY 的联合概率密度为 。 解： X,Y 独立 , 8 0 1 , 0 2( , ) ( ) ( ) 0,XY x y x yf x y f x f y 其 它 , 18.设随机变量序列 12, , ,nX X X 相互独立，且服从同一分布， X Y 1 2 3 1 1 /6 1 /9 1 /1 8 2 1 /3 2 /9 1 /9 ()kEX 存在，则 0，有 1 1lim | | n k n kPXn 0 。 19.设 nX 是独立同分布的随机变量序列， ( 0 ,1 0 ) , 1, 2 , 3 ,nX U n ，那么当 n 时 1 1 n i iXXn 依概率收敛于 0 10 5 2 20.设 X 、 Y 相互独立且 2()Xm ， 2()Yn ，则 XY 2()mn 。 21设 221 2 1 2( , ) ( , , , , )X Y N ，则 ( , )Cov X Y 12 22.设 12, nX X X 是来自总体 2(10) 的样本，则统计量 1 n iiYX 2(10 )n 。 23.设总体 X 具有概率密度函数 1 0() 0 xex fx els e ， 0 为已知， 样本为 12, nX X X ，则 ()EX ， ()Var X 。 解： ( ) ( )E X E X ， 2()() V ar XV ar X nn。 24.在总体 2(52,6.3 )N 中随机抽一容量为 36 的样本，则样本均值 X 落在 50.8到 53.8之间的概率为 。 解： ( ) 52EX ， 26.3() 36Var X ， 2 26 . 3( 5 2 , ) ( 5 2 , 1 . 0 5 )36X N N， 5 3 .8 5 2 5 0 .8 5 2 5 0 .8 5 3 .8 ( ) ( ) 1 .0 5 1 .0 5( 1 .7 1 ) ( 1 .1 4 ) 0 .9 5 6 4 ( 1 0 .8 7 2 9 ) 0 .8 2 9 3PX 25.设 12, nX X X 是来自总体 X 的样本且 2( ) , ( )E X V ar X， 2, 未知， 则 的矩估计量为 ， 2 的矩估计量为 解： 11 2 2 2 2 2 22 2 1 ()( ) ( ) ( ) EXE X V a r X E X 22211, n iiX X Xn 26. 随机抽查某 校的 7名学生，测得他们的裸眼视力分别为： 1.0,1.3,0.6,1.2,0.9, 1.5,2.0，则总体均值 及方差 2 的矩估计值分别为 ， 2 解：由上 222 11 111 .2 1 4 3 , 0 .1 7 5 5nnii iix x x xnn 27设 1 2 10,X X X 是来自总体 2(0,0.3 )N 的样本，则 10 2 1 1.4 4iiPX 解： 102 2 2 2 1 1( 0 , 1 ) , ( ) ( 1 ) , ( 1 0 )0 .3 0 .3 0 .0 9ii i i XXNX 1 0 1 0 1 02 2 2 2 0.901 1 1 11 1 .4 4 1 6 1 1 6 0 .9 0 , ( ( 1 0 ) 1 5 .9 8 7 ) 0 .0 9 0 .0 9i i ii i iP X P X P X 28.设 1 2 10,X X X 是来自总体 2()Xn 的样本， ()EX , ()Var X , 2()ES . 解： ( ) ( )E X E X n， ( ) 2() 1 0 1 0 5V a r X n nV a r X , 2( ) ( ) 2E S Var X n 29.设在总体 2( , )N 中抽取一容量为 16 的样本，这里 2, 为未知参数， 2S 为样本方差。 则 2 2 2.041SP ， 2()VarS 解： 2 2 2( 1 ) ( 1 ) , 1 6nS nn 2215 2 . 0 4 1 3 0 . 6 1 5 SSPP 20 . 9 90 . 9 9 , ( (1 5 ) 3 0 . 5 7 8 3 0 . 6 1 5 ) 2 2 2 2 4 422 2 2 21 5 1 5 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 51 5 1 5 1 5 1 5SSV a r S V a r V a r 30.铅的密度测量值服从正态分布 2( , )N ，测量 16 次，算得 2.705x ， 0.029s ， 则 的置信水平为 0.95 的双侧置信区间为 。 解： 1 0 .9 5, 0 .0 5 ， 2 未知 , 的置信区间为 0. 97 5 0. 97 511 22 0.02 9 0.02 9( ( 1 ) , ( 1 ) ) ( 2.70 5 ( 15 ) , 2.70 5 ( 15 ) ) 16 16 0.02 9 0.02 9( 2.70 5 2.13 14 , 2.70 5 2.13 14) ( 2.68 95 , 2.72 05 ) 16 16 SSX t n X t n t t nn 二计算题 1.设某人按如下 原则决定某日的活动：如该天天下雨，则以 0.2 的概率外出购物，以 0.8的概率去探访朋 友；如该天天不下雨，则以 0.9 的概率外出购物，以 0.1 的概率去探访朋友，设某地下雨的概率是 0.3。（以 下要求用字母表示随机事件，写出计算公式） (1)试求那天此人外出购物的概率。 (2)已知此人那天外出购物，试求那天下雨的概率。 解：设 A:下雨， B: 购物 C:会友 则 ( ) 0.3PA ， ( ) 0.7PA ， ( | ) 0 .2 , ( | ) 0 .8P B A P C A， ( | ) 0 .9 , ( | ) 0 .1P B A P C A （ 1） ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0 . 6 9P B P B A B A P B A P A P B A P A （ 2） ( ) ( | ) ( ) 0 . 2 0 . 3 2( | ) ( ) ( ) 0 . 6 9 2 3P A B P B A P AP A B P B P B 2.设随机变量 (1,4)XN ，现对 X 进行三次独立观察，求至少有两次观察值大于 1 的概率。 解： 11 1 1 1 1 ( )2P X P X 1 (1 (1) 0 .8 4 1 3 ， 设 Y 表示三次观察中观察值大于 -1的次数，则 (3,0.8413)YB ,则 32 2 1 0 1 1 ( 1 0 . 8 4 1 3 ) 3 0 . 8 4 1 3 ( 1 0 . 8 4 1 3 ) 0 . 9 4 03P Y P Y P Y 。 3某地抽查结果表明，考生的外语成绩（百分制） X近似服从正态分布 ),( 2N ，平均成绩为 72， 96 分 以上的考生占 2.3%,求： (1)标准差 的值 .(2)考生成绩在 60 分到 84 分之间的概率。 解： 72 , 9 6 7 22 . 3 % 9 6 1 ( ) 1 2PX 8 4 7 2 6 0 7 2 6 0 8 4 ( ) ( ) 2 ( 1 ) 1 0 . 6 8 2 81 2 1 2PX 4.设随机变量 X 的概率密度为 4 01() 0 xcxfx e lse 。 求（ 1）常数 c 。（ 2） X 的分布函数。（ 3） 1324Px ,（ 4） 21YX的概率密度函 数。 解：（ 1）由 1 4 01 ( ) , 55cf x d x c x d x c （ 2） 45 0 00 ( ) ( ) 5 0 1 11 xx x F x f x d x t d t x x x （ 3） 551 3 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 2 4 2P x F F 。 （ 4）当 01x, 1 2 1 3yx 时 11( ) 2 1 ( )22YX yyF y P Y y P X y P X F 4 5 ( 1 ) 1 31 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2 2 00Y Y X X yyy y yf y F y F f 5.将 2 个球随机地放入 2个盒子中，若 X 、 Y 分别表示放入第 1个，第 2个盒子中球的个数， 求 (1)( , )XY 的联合分布律和边缘分布律 .(2) 求 1| 1P X Y (3) X 、 Y 是否独立 ? 解：（ 1） Y X 0 1 2 PY=j 0 0 0 1 4 1 4 1 0 1 2 0 1 2 2 1 4 0 0 1 4 PX=i 14 12 14 1 (2) 1 , 1 1 | 1 1 1 P X YP X Y PY (3) 1 1 | 1 1 1 2P X Y P X ,X,Y 不独立。 6.设 X,Y是独立同分布的随机变量， 1 3P X i P Y i , 1,2,3i , max( , )M X Y , min( , )N X Y ,求 (M,N)的联合分布律和各自的边缘分布律并求出 PX Y . 解： X,Y 独立且 X 1 2 3 Y 1 2 3 kp 13 13 13 kp 13 13 13 1 , , , 1 , 2 , 39P X i Y j P X i P Y i i j ，所以 (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) M 1 2 3 2 2 3 3 3 3 N 1 1 1 1 2 2 1 2 3 kp 19 19 19 19 19 19 19 19 19 故 M,N 的联合分布律为 N M 1 2 3 PN=j 1 1/9 2/9 2/9 5/9 2 0 1/9 2/9 1/3 3 0 0 1/9 1/9 PM=i 1/9 1/3 5/9 1 并且 3 1 1 , 3 iP X Y P X i Y i 。 7.已知 随机向量 ( , )XY 的概率密度函数为 3 0 1( , ) 0 x y xf x y 其 它 。 试求： (1) ()Yfy (2 | ( | )XYf x y (3) ( ) , ( ) , ( , )E X V ar X C ov X Y (4) 1P X Y 。 解：（ 1） 1 233 ( 1 ) 0 1( ) ( , ) 2 0 yY x d x y yf y f x y d x e lse （ 2）当 ( ) 0Yfy 即 01y时 2 | 2 1( , ) 1( | ) () 0 XY Y x yxf x y yf x y fy e ls e （ 3） 11 3 0 0 0 3( ) ( , ) ( 3 ) 3 4 xE X x f x y d x d y x x d y d x x d x 112 2 2 4 0 0 0 3( ) ( , ) ( 3 ) 3 5 xE X x f x y d x d y x x d y d x x d x 2 2 23 3 3( ) ( ) ( ) ( )5 4 8 0V a r X E X E X 11 3 0 0 0 33( ) ( , ) ( 3 ) 28 xE Y y f x y d x d y y x d y d x x d x 11 4 0 0 0 33( ) ( , ) ( 3 ) 2 1 0 xE X Y x y f x y d x d y x y x d y d x x d x 3 3 3 3( , ) ( ) ( ) ( ) 1 0 4 8 1 6 0C o v X Y E X Y E X E Y (4) 1 2 11 2 xyx yx x , 1 1 2 0 1 1 22 2 00 1 ( 3 ) 3 3 3(1 2 ) ( ) | 2 2 8 y yP X Y x d x d y y d y y y . 8设二维随机变量 ( , )XY 的概率密度为 ( 2 3 )6 0 , 0( , ) 0 xye x yf x y e lse 。 试求 (1)( , )XY 落在三角形区域 : 0 , 0 , 2 3 6D x y x y 内的概率。 (2) ()Yfy, | ( | )XYf x y （ 3） ( ), ( ), ( , )E X V ar Y C ov X Y。 解 (1) 626233( 2 3 ) 2 3 33 00 0 0 ( , ) 6 2 ( ) | xx x y x yP X Y D e d y d x e e d x 3 2 2 6 2 6 3 600 2 ( 1 ) ( 2 ) | 1 7x x xe e d x e e x e (2) ( 2 3 ) 30 6 3 0( ) ( , ) 0 x y y Y e d x e yf y f x y d x e ls e ,即 Y服从参数为 3 的指数分布 . 当 0y 时 , 2 | 20( , )( | ) () 0 x XY Y exf x yf x y fy e ls e . (3)观察得出 X,Y 独立 ,则 220() 0 x X exfx else .即 X 服从参数为 2 的指数分布 . 21 1 1( ) , ( ) ( ) , ( , ) 0 2 3 9E X V a r Y C o v X Y 9.设随机变量 X的分布如 下 ，已知 ( ) 0 .9 , ( ) 0 .4 9E X V a r X， 试求 a,b,c的值。 X 0 1 2 P a b c 解： 2 2 21 , ( ) 2 0 . 9 , ( ) ( ) ( ( ) ) 4 0 . 9 0 . 4 9a b c E X b c V a r X E X E X b c ， 得 0 .3, 0 .5, 0 .2a b c 10.设总体的概率密度函数为 11 1 () 01 xex fx x 。 为未知参数， 12, nX X X 是一个样本。 (1)试求 的最大似然估计量和矩估计。 (2)试问 * X 是 的无偏估计吗，为什么？ 解： (1) 最大似然估计 : 111 1( 1 ) () 11 1( ) ( , ) ni iixnn x n n xnni ii L f x e e e 1ln ( ( ) ) ln ( )L n n n x 21l n ( ( ) ) ( ) 0dnL n n xd 1x为最大似然估计值， 1X为最大似然估计量 矩估计： 1 1 1( ) ( ) 1xE X x f x d x x e d x ， 1 矩估计量为 1X 矩估计值为 1x。 （ 2） *( ) ( ) ( ) 1E E X E X ，所以 * 不是 的无偏估计 11.设总体 (20, ), 0X B p p 为未知参数， 12, , , nX X X 是来自 X 的一个样本。 （ 1）试求 p的最大似然估计量 p 。（ 2）试问 p 是无偏估计量吗？为什么？ 解： (1)因为总体 (20, ),X B p 2020( , ) (1 )x x xf x p C p p ， 设 12, , , nx x x 为样本 12, , , nX X X 的一组观察值， 似然函数 20 20 2 0 2 01 1 1( ) ( , ) ( 1 ) ( ) ( 1 )i i i n n nx x x x n x n n x ii i iL p f x p C p p C p p 201l n ( ( ) ) l n ( ) l n ( 2 0 ) l n ( 1 )i n x iL p C n x p n n x p 1l n ( ( ) ) ( 2 0 ) 01d n xL p n n xd p p p 20 xp 为最大似然估计值， 20Xp 为最大似然估计量 （ 2） ( ) 2 0( ) ( )2 0 2 0 2 0X E X pE p E p ，所以 p 是 p 的无偏估计 12.设总体 X 的概率密度为 231 0,( 6 6 )( ) 0, xxxfx 其 它 , 其中 ,( 0) 为未知参 数 , 12, ,., nX X X 是来自总体 X 的样本 . (1)求 的矩估计量 . (2)验证矩估计 量 是 的无偏估计 . 解 : (1) 2 30 11( ) ( ) ( 6 6 ) , 22E X x f x d x x x x d x 的矩估计量为 =2X , 的矩估计值为 =2x (2) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( )E E X E X E X, 是 的无偏估计