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1 概率论与数理统计 A 期末复习题 1设 ( ) 0.4, ( ) 0.7PA PA B= ，那么 （ 1）若 ,A B互不相容，则 ()PB= ?; （ 2）若 ,A B相互独立，则 ()PB= ?. 答案： （ 1） () 0.3PB= （ 2） 1 () 2 PB= 2袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑 色的概率 . 答案： 2/3 3把长为 a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率 . 答案： 1/4 4设 ,1.0)(,3.0)(,5.0)( = ABPBPAP ， 求 (|),(|),(| )PAB PBA PAA B , )|(),|( ABAPBAABP . 答案： 1 (|) 3 PAB= ， 1 (|) 5 PB A= ， 5 (| ) 7 PAA B=， 1 (| ) 7 PABA B=， (| )1PAAB= 。 5对任意三事件 ,A BC，试证 () () () ()PAB PAC PBC PA+ . 6设 () 0, () 0PA PB，证明 A、 B 互不相容与 A、 B 相互独立不能同时成立 . 7证明若三事件 ,A BC相互独立，则 AB 及 A B 都与 C 独立。 8玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0， 1， 2 只残次品的概率分别为 0.8， 0.1， 0.1， 一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买 下该箱，否则退回。试求： （ 1）顾客买下该箱的概率 ； （ 2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 . 答案： （ 1） 0.94 ； （ 2） 0.85 . 9. 根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有 90%的可能考试及格，不努力学习的学 生中有 90%的可能考试不及格据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问： 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 答案： 1 37 4 13 10. 某超市销售一批照相机共 10 台 ,其中有 3 台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超 市已售出 2 台，该顾客从剩下的 8 台中任意选购一台，求 (1) 该顾客购到正品的概率 ; (2) 若已知顾客购到的是正品 ,则已售出的两台都是次品的概率是多少 ? 答案: （ 1） 7/10 （ 2） 1/12 2 11. 据相关信息有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查 15 个美国人，以 X 表示 15 个人中无任何健康保险的人数 （设各人是否有健康保险相互独立） 。 问 X 服从什么分布？ 写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率： （ 1）恰有 3 人； （ 2）至少有 2 人； （ 3） 不少于 1 人且不多于 3 人； （ 4）多于 5 人。 答案 ： X 服从二项分布 (15, 0.2)B ，分布律为 15,2,1,0,8.02.0)( 15 15 null= kCkXP kkk 。 （ 1） ,2501.08.02.0)3( 1233 15 = CXP （ 2） ( 2) 0.8329PX= ； （ 3） (1 3) 0.6129PX= ； （ 4） ( 5) 0.0611PX= 12.一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内， 以 X 表示铃响至结束讲解的时间。设 X 的概率密度为 = 他其 10 0 )( 2 xkx xf ， （ 1）确 定 k； （ 2）求 2 1 4 1 XP ； （ 3） 求 3 2 XP 。 答案 ： （ 1） 3=k ； （ 2） 7 64 ； （ 3） 19 27 。 13.设随机变量 X 的概率密度为 ; ,8,1 ,0 , 3 1 )( 3 2 其他 若 = x x xf F(x)是 X 的分布函数 . 求随机变量 Y=F(X)的分布函数 . 答案 :Y=F(X)的分布函数为 .1 ,10 ,0 ,1 , ,0 )( = y y ye yf y Y 。 （ 2） 其他 10 0 1 )( = ye y yf y Y 。 15. 设随机变量 7 () () , 12 XfxEX=， 且 + = 其它,0 10, )( xbax xf ， 求 a 与 b 的值 , 并求分布函数 )(xF . 答案 ： ,1=a .2/1=b . 1,1 10),( 2 1 0,0 )( 2 + = x xxx x xF 16设随机变量 X 的概率密度为 sin , 0 , () 0, cx x fx = 成立的 a. 答案 ： （ 1） 1 2 c = ； （ 2） 2 a = 。 17设随机变量 X 的分布函数为 ( ) arctanFx A B x=+ ， x +， 求： （ 1）系数 A与 B ； （ 2） (1 1)PX ； （ 3） X 的概率密度。 答案 ：（ 1） 1 2 A= ， 1 B = ；（ 2） 1 (1 1) 2 PX =； （ 3） 2 1 () , (1 ) fx x x = + + 。 18在电源电压不超过 200V ，在 200 240V 和超过 240V 三种情况下，某种电子元件， 损坏的概率分别为 0.1， 0.001 和 0.2，假设电源电压 X 服从正态分布 2 (220, 25 )N ，试求： （ 1） 该电子元件损坏的概率 ； （ 2） 该电子元件损坏时， 电源电压在 200240V 的概率 。 答案 ： （ 1） 0.0641 （ 2） 0.0898. 19设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证 2 1 X Ye = 在区间 (0,1) 上服从均匀分布。 提示 ： 只须证明 Y 的分布函数为 0, 0 () , 0 1, 1, 1. Y y Fy y y y = 20设随机变量 X 的概率密度为 2 2 ,0 , () 0, . x x fx = 其它 求 sinYX= 的概率密度 . 4 答案 ： Y 的概率密度为 2 2 ,0 1, 1() 0, Y y yfy = 其他. 21. 设随机变量 ),( YX 的概率密度为 ,0 ; (, ) 0, . y ke x y fxy = y yye yf y Y X 与 Y 不相互独立 . (3)在 yY = 的条件下 , X 的条件概率密度为 )( ),( )|( | yf yxf yxf Y YX = . ,0 0,/1 = 其它 yxy (4) 12 + YXP ,321 3 1 2 1 += ee 1|2/10 YXP 1 1,2/10 = YP YXP 1 2 1 1 21 2 1 1 = e ee dxxfYXP YX )4|(4|2 2 | + = . 2 1 4 1 4 2 = dx 22设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 7.03.0 21 X ， 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 答案 : g(u)= ).2(7.0)1(3.0 + ufuf 23设随机变量 X 服从区间 ()1, 4 上的均匀分布，并且当 xX = ( )41 x 时，随机变量 Y 的条件密度函数为 () = 其它0 0 3 2 3 xyy x xyf XY 求 (),XY 的联合概率密度 求 ( )cov ,XY 5 Y 答案： () ()() 2 3 14,0 , 0 X YX y x yx fxy f xf yx x = ； 其它。 ()()()() 21 5 15 9 cov , 42816 XY EXY EX EY= = 24设一加油站有两套用来加油的设备，设备 A 是加油站的工作人员操作的，设备 B 是有 顾客自己操作的。 A， B 均有两个加油管。随机取一时刻， A， B 正在使用的软管根数分别记 为 ,X Y ，它们的联合分布律为 X 0 1 2 0 0.10 0.08 0.06 1 0.04 0.20 0.14 2 0.02 0.06 0.30 （ 1） 求 1,1 YXP ； （ 2） 求至少有一根软管在使用的概率； （ 3） 求 YXP = ， 2 =+YXP 。 （ 4） 求在 0=X 的条件下 Y 的条件分布律；在 1=Y 的条件下 X 的条件分布律。 答案 ： （ 1） 1,1 YXP =0.42. （ 2）至少有一根软管在使用的概率为 10.9PX Y+ = . （ 3） PX Y=0.6. 20.28PX Y+= = . （ 4）在 0=X 的条件下 Y 的条件分布律为 Y 0 1 2 0| =XYP 5/12 1/3 1/4 在 1=Y 的条件下 X 的条件分布律为 X 0 1 2 1| =YXP 4/17 10/17 3/17 25设随机变量 (),XY 在由曲线 xyxy = , 2 所围成的区域 G 均匀分布。 （ 1） 写出 (),XY 的概率密度； （ 2） 求边缘概率密度 )(),( yfxf YX ； 6 Y （ 3） 求条件概率密度 )|( | xyf XY ，并写出当 5.0=x 时的条件概率密度。 答案 ： （ 1） = 他其，0 ),(,3 ),( Gyx yxf 。 （ 2） 2 2 33( )0 1 () 0, x X x dy x x x fx = = ， 其他 ； 2 3( ) 0 1 () 0 Y y yy fy = ， ，其他 。 （ 3）当 10 x 时， = 其他,0 , 1 )( ),( )|( 2 2 | xyx xx xf yxf xyf X XY 。 当 5.0=x 时的条件概率密度为 = 其他,0 2/24/1, 122 4 )5.0|( | y yf XY 。 26设随机变量 (),XY的联合分布律为 （ 1） 求 ),max( YXU = 的分布律。 （ 2） 求 ),min( YXV = 的分布律。 （ 3） 求 YXW += 的分布律。 答案 ： （ 1） ),max( YXU = 的分布律为 U 0 1 2 3 k p 1/12 2/3 29/120 1/120 （ 2） ),min( YXV = 的分布律为 U 0 1 k p 27/40 13/40 （ 3） YXW += 的分布律为 W 0 1 2 3 k p 1/12 5/12 5/12 1/12 27设 X 关于 Y 的条件概率密度为 23 | 3/,0 , (|) 0, . XY x yxy fxy = 其他 而 Y 的密度为 X 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 7 4 5,0 1, () 0, . Y yy fy = 他其 ， ， 20,0 0 2 3 ),( 3 yx e yxf x （ 1） ,X Y 独立否？说明理由； （ 2） 求 ,max YXZ = 的分布函数； （ 3） 求概率 12/1 ZP 。 答案 ： （ 1） ,X Y 独立。 （ 2） ,max YXZ = 的分布函数为 () 3 3 0, 0 () 1 , 0 2 2 1, 2 z Z z z z Fz e z ez 。 （ 3） 33/2 11 1 1 / 2 1 42 4 PZ ee = + 。 29 设 A， B 为两个随机事件 ,且 4 1 )( =AP , 3 1 )|( =ABP , 2 1 )|( =BAP , 令 = 不发生， 发生， A A X 0 ,1 = .0 ,1 不发生， 发生， B B Y 求 (1) 二维随机变量 ),( YX 的联合分布列 ; (2) X 与 Y 的相关系数 XY ; (3) 22 YXZ += 的数学期望 . 答案 : (1) ),( YX 的概率分布为： Y X 0 1 0 1 3 2 12 1 6 1 12 1 8 (2) 15 15 XY (3) 5 12 EZ = 30. 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为 () 1 1, 0,1 3 PX i i= = ， Y 的概率 密度为 () 10 1 0 Y y fy = 其它 ，记 Z XY= + （ 1）求 1 0 2 PZ X = ； （ 2）求 Z 的概率密度 答案 ： (1) 11 (0) 22 PZ X = (2) 1 ,1 2 () 3 0, Z z fz （ 3） 22 15 (2),0 2, () 16 0, xx x fx = 其他; （ 4） ,0 1, () 2 , 1 2, 0, . xx fx x x = 其他 9 答案 ： （ 1） 0EX = ， 2DX = （ 2） 0EX = ， 1 6 DX = . （ 3） 1EX = ， 1 7 DX = . （ 4） 1EX = ， 1 6 DX = . 36设随机变量 X 的概率密度为 ,0 2, () , 2 4, 0, ax x fx cx b x = + 其他. 已知 3 2, (1 3) 4 EX P X= 若 若 求： （ 1） U 和 V 的联合分布； （ 2） U 和 V 的相关系数 . 答案 ： （ 1） (,)UV 的概率分布为 （ 2） ,UV的相关系数为 1 3 = . 44设随机变量 X 和 Y 在圆城 222 (0)xyrr+ 上服从均匀分布， （ 1）求 X 和 Y 的相关 系数 ； （ 2）问 ,X Y 是否独立？为什么？ 答案 ： （ 1） ,X Y 的相关系数 0 = . （ 2） ,X Y 不独立 . 45设 ,A B是二随机事件，随机变量 1, 1, A X A = 若出现, 若不出现; 1, 1, B Y B = 若出现, 若不出现. 试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A与 B 相互独立 . 46设随机变量 X 的概率密度为 | 1 () , 2 x fx e x = (1)若将这 2 个电子装置 串联 联接组成整机 , 求整机寿命 (以小时计 ) N 的数学期望 . (2)若将这 2 个电子装置 并联 联接组成整机 , 求整机寿命 (以小时计 )M 的数学期望 . 01 00.10.1 10.8 0 X 2 X 1 01 11 00 44 11 3 1 42 4 11 22 i j p p V U 11 答案 (1) N 的数学期望为 1 () . 2 EN = (2) M 的数学期望为 3 () 2 EM = 48 某项任务完成所需时间 2 (10,5)TN 规定：该项任务若在 100 天之内完成 则得奖金 10000 元；若在 100 天至 115 天内完成，则得奖金 1000 元； 若超过 115 天 , 罚款 5000。求完成任务获得的平均奖金数。 答案 ： 5492.2。 49设 12 , n X XXnull 是来自总体 X 的一个样本， X 服从参数为 的指数分布，证明 2 1 2() n i i X n = . 50已知 ()X tn，求证 2 (1,).X Fn 51 设 1234 ,X XXX是来自正态总体 2 (0,2 )N 的简单随机样本， 22 12 34 (2)(34)XaX X bX X= + ，求常数 ,ab，使得 2 (2)X . 答案 ： 11 , 20 100 ab= 52设 11 , , , nn nm XXX X + nullnull 是分布 2 (0, )N 的容量为 nm+ 的样本，试求下列统计量 的概率分布类型及相关参数。 ： （ 1） 1 1 2 1 n i i nm i in mX Y nX = + =+ = ； （ 2） 2 1 2 2 1 n i i nm i in mX Y nX = + =+ = 答案 ： （ 1） 1 ( );Ytm（ 2） 2 (,).YFnm 53 设 11 , , nn X XX + null 是来自总体 2 (, )N 的样本， 1 1 n i i X X n = = ， *2 2 1 1 () n i i SXX n = = ，试求统计量 1 * 1 1 n XXn T Sn + = + 的分布类型及相关参数。 答案 ： ( 1)Ttn . 54设样本 1 1 , n X Xnull 和 2 1 , n YYnull 分别来自相互独立的总体 2 11 (, )N 和 2 22 (, )N ，已 知 12 = , 和 是两个实数，求随机变量 12 2222 1122 12 1 2 ()() (1) (1) () 2 XY nSnS nn n n + + + + 的分布类型及相关参数。 答案 ： 12 ( 2)tn n+. 55设总体 X 服从正态分布 ),( 2 1 N , 总体 Y 服从正态分布 ),( 2 2 N , 1 , 21 n XXX null 和 2 , 21 n YYY null 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本 , 则 12 12 22 11 12 ()() 2 nn ij ij XX YY E nn = + = + . 答案： 2 . 56设随机变量 X 的分布函数为 = ， ， x x x xF 0 ,1 ),( 其中参数 1,0 . 设 n XXX , 21 null 为来自总体 X 的简单随机样本 , (1) 当 1= 时 , 求未知参数 的矩估计量 ; (2) 当 1= 时 , 求未知参数 的最大似然估计量 ; (3) 当 2= 时 , 求未知参数 的最大似然估计量 . 答案： (1) 参数 的矩估计量为 1 X X . (2) 的最大似然估计量为 1 /ln n i i nx = = ( 3) 当 2= 时 , 的最大似然估计量为 ,min 21 n XXX null= 57设 12 n X,X, Xnull 为取自总体 XU,ab 的样本， () 12 n1 X=min(X,X, X),null令： () 12 nn X=max(X,X, X),null 证明： () ()1 EX +EX n a+b= 。 58设总体 X 的密度函数为 () = 00 0 1 x xe xf x 其中 0 是未知参数， () n XX ， null 1 是从总体 X 中抽取的一个简单随机样本 ()1n 令 = = n i i X n X 1 1 1 ， ( ) n XXn ， null 12 min = ， 证明： 1 与 2 都是 的无偏估计 试比较 1 与 2 哪个更有效？ 59设总体 X 的概率密度为 13 1 ,0 ; 2 1 (; ) , 1; 2(1 ) 0, x fx x = 其他. . 其中参数 (0 1) 未知， 12 , ,. n X XX是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值 . （ 1）求参数 的矩估计量 null ； （ 2）判断 2 4X 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由 . 答案 ： （ 1）参数 的矩估计量为 null 1 2 2 X = ； （ 2） 2 4X 不是为 2 的无偏估计量 . 60设总体 X 的概率密度为 () ,0 1, ;1,12, 0, x fx x = 其他, 其中 是未知参数 ()01， 12 n , .,X XX为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 值 12 , ., n x xx中小于 1 的个数 . （ 1）求 的矩估计； （ 2）求 的最大似然估计 答案： （ 1） 的矩估计为 3 2 X = null . （ 2） N n = null 为 的最大似然估计 .