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第四章 相似矩阵 147 习题四 1.判断下列命题是否正确并说明理由 . （ 1） 一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量 ； 正确 ， 因为若 0 是方阵 A 的一个特征值 ， 即 0 0 E A ， 则 方程组 0( )E A X o 必 有无穷多非零解 ， 非零解即为 A 对应于特征值 0 的 特征向量 ， 而单独一个 非零解向量线性无关 ， 即一个特征值必至少对应一个线性无关的特征向量 ； （ 2） （ 对于同一个矩阵来说 ） 一个特征向量只能属于一个特征值 ； 正确 ， 若 是矩阵 A 对应于特征值 1 2和 的特征向量 ， 即 1A ， 2A ， 且 1 2 ， 从而 1 2 ， 即 1 2( ) O . 因 1 2, 故 , O 这与特征向量是非零向 量矛盾 ， 因此一个特征向量只能属于一个特征值 . 注意 对于不同的矩阵来说 ， 一个特征向量可能属于多个特征值 （ 见 （ 8）； （ 3） 特征向量可以为零 ； 错误 ， 由定义 ， 特征向量都是非零向量 ； （ 4） 在复数域内 ， n 阶方阵 A 的特征值有且仅有 n 个 ； 正确 ， 因为 n 阶方阵 A 的特征方程 0 E A 为关于 的一元 n 次 方程 ， 由代数基本定理 ， 在复数域内 ， n 次方程有且仅有 n 个根 ， 即 n 阶方阵 A 的特征值有且仅有 n 个 （ 5） 若 n 阶方阵 A 不可逆 ， 则必有零特征值 ； 正确 ， 因为若 n 阶方阵 ( )A ij n na 的 n 个特征值为 1 2, , , n ， 则 1 2 An .现 在 1 2 0n A ， 则 1 2, , , n 中至少有一个为 0； （ 6） 设 0 是方阵 A 的一个特征值 ， ( ) Ar r ， 则 0( )E A X o 有 r 个线性无关的解向 量作为 A 对应于特征值 0 得 特征向量 ； 错误 ， 设 A 为 n 阶方阵 ， 0( )E A X o 的基础解系所含向量的个数 0n r E A 即为 A 对应于特征值 0 的 线性无关 特征向量的个数 ， 显然 0 ( )n r r r E A A ； （ 7） 设 0 是方阵 A 的一个特征值 ， 则 0k 是矩阵 E Ak 的特征值 （ k 是常数 ）； 正确 ， 若 0 是方阵 A 的一个特征值 ， 即 0 0 A ， 从而 0 0 0 0 0 0k k + k + k+ E A E A . （ 8） 设向量 是矩阵 A 的特征向量 ， 则 也是 3 22 4 A A E 的特征向量 . 正确 ， 因 A ， 则 3 2 3 2 3 2 3 22 4 2 4 2 4 2 4 A A E A A E ， 第四章 相似矩阵 148 即 也是 3 22 4 A A E 的 对应于 特征值 3 22 4 的特征向量 . 3.设 n 阶方阵 A 满足等式 2 A E ， 求 A 的特征值 . 解 1 由题意 ， A ， O. 则 2( ) ( ) AA A A ， 而 2 E AA A , 即 2 2 1 O ,因 O， 故 2 1 0 1 . 解 2 设 是 n 阶方阵 A 的特征值 ， 由 1 1 0( ) m m m mf a a a A A A E O 1 1 0( ) 0 m m m mg a a a . 因 2 A E 即 2 0 A E ， 知 2 1 0 1 . 4.已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1 2 31, 2, 3 ， 分别求矩阵 3A ， 1(2 )A 及 *A 的 特征值 . 解 由题意 ， A ， O. （ 1） 3 2 2 2( ) ( ) ( ) A A A A A ( ) ( ) A A A 2 2 3( ) ( ) A ， 即 3 为矩阵 3A 的特征值 ， 从而 3A 的三个特征值为 1, 8, 27 . （ 2） 用 1(2 )A 左乘以 A 两端 ， 有 1 1 12 2 A ， 即 1 11 1 1 12 2 2 2 A A ， 因此 12 为矩阵 12 A 的特征值 ， 从而 12 A 的三个特征值为 1 2, 1 4, 1 6； （ 3） 因为 * 1A A A ， 用 *A 左乘以 A 两端 ， 有 1A A A ， 即 1 1 1 * A A A A A ， 因此 1 A 为矩阵 *A 的特征值 ， 而 1 2 3 6 A ,从而 *A 的三个特征值为 6, 3, 2. 5.已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1 2 31, 1, 2 ， 求 （ 1） 2 3 2B A A E 的特征值 ； （ 2） 2 3 2B A A E 的行列式的值 . 解 设 是 n 阶方阵 A 的特征值 ， 由 1 1 0( ) m m m mf a a a A A A E 1 1 0( ) m m m mg a a a . 则 2 3 2B A A E 的特征值为 2 3 2 ， 对应于 A 的三个特征值 1 2 31, 1, 2 ， 2 3 2B A A E 的三个特征值为 1 2 36, 0, 12 ， 且 1 2 3 6 0 12 0 B . 6.设向量 (1,1,1)T 是矩阵 1 1 2 0 1 1 2 2 a A 对应于特征值 0的特征向量 ， 求 0和 a . 第四章 相似矩阵 149 解 由 A ， 即 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 2 1 1 a ， 得 0 0 0 0 1 1 , 2 1 , 3, 1. 1 2 2 . a a 7.证明 ： （ 1） 设 1 2, 是矩阵 的两个不同的特征值 ， 若 1是对应于 1的特征向量 ， 则 1一定不是 对应于 2的特征向量 ； 证 （ 反证法 ） 若 1 是矩阵 A 对应于特征值 1 2和 的特征向量 ， 即 1 1 1 A ， 1 2 1 A ， 且 1 2 ， 从而 1 1 2 1 ， 即 1 2 1( ) O . 因 1 2, 故 1 , O 这与特征向量是非 零向量矛盾 ， 因此一个特征向量只能属于一个特征值 . （ 2） 设 1 2, 分别为 对应于特征值 1 2, 的特征向量 ， 则 1 2 不是 的特征向量 . 证 （ 反证法 ） 假设 1 2 是 A 的属于特征值 的特征向量 ， 则 1 2 1 2 1 2( ) ( ) . A 又 1 1 1A , 2 2 2A , 1 2 1 2 1 1 2 2( ) A A A , 故 1 1 2 2( ) ( ) . O 由于 1 与 2 属于不同的特征值 ， 故线性无关 ， 从而在上式中 ， 1 2 0, 即 1 2 . 这与 1 2 矛盾 ， 故 1 2 不是 A 的特征向量 . 注 一般地 ， 若 1 与 2 是矩阵 A 的属于两个不同的特征值 1 2, 的特征向量 ， 则当 1 20, 0k k 时 ， 1 1 2 2k k 不是 A 的特征向量 . 若 1 与 2 均是矩阵 A 的属于同一个特征值 的特征向量 ， 则当 1 1 2 2k k 非零时 ， 仍是 A 属 于特征值 的特征向量 ,即同一特征值所对应的特征向量的线性组合仍是该特征值所对应的特征 向量 . 9.设 ,A B为 n阶矩阵 ， 证明 AB与 BA有相同的特征值 . 证 一 只需证明 AB与 BA有相同的特征多项式 . 事实上 ， 因 A可逆 ， 故 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . E AB A A E AB A E AB A A E A A AB A EA A A A BA E BA 证 二 令 为 BA的一个 特征值 ， 是 BA的属于 的特征向量 ， 则 BA .两 第四章 相似矩阵 150 端左乘以 A， 有 AB A A . 下证 .A O 事实上 , 若 A O ， 因 A 可逆 , 则 A O 两端左乘以 1A ， 有 , O 这与特征向量 的定义 矛盾 . 于是 为 AB 的 特征值 ， 且 A 是 AB 的属于 的 特征向量 . 同 理 可证 ， AB的 特征值 也是 BA的 特征值 ， 故 AB与 BA有相同的 特征值 . 证 三 A可逆时 ， 有 1( ) ,BA A AB A 即 AB与 BA为相似矩阵 . 相似矩阵有相同 的特征值 ， 故 AB与 BA的特征值相同 . 8.判断下列命题是否正确并说明理由 . （ 1） 矩阵 1 1 2 A 与 1 2 1 B 相似 ； 正确 . 因为 2 3 2 3,r r c c A B ， 即 123 23 P AP B , 由相似的定义 ， ,A B 相似 ； （ 2） 矩阵 1 1 2 A 与 1 2 0 0 1 0 0 0 2 B 相似 ； 错误 . 矩阵 A 为对角阵 ， 则与 A 相似的矩阵不但能够对角化 ， 而且要能相似对角化为 A . 显然矩阵 A 及 B 的特征值都是 1 1 （ 二重 ）， 2 2 . 可见 ， 若 B 能够对角化 ， 则得到的 矩阵必是 A ， 因此只需判断 B 是 否 可以对角化 . 对于 B ， 考虑二重特征值 1 1 ， 因 13 3 2 1 2r E B , 所以 B 不能对角化 . 注 以下两种情形 ， n 阶矩阵 A 可对角化 ： （ 1） n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值 ， A 可对角化 ； （ 2） 若 A 有 k 重特征值 ， 当方程组 E A X O 的基础解系含有 k 个线性无关的解 向量 ， 即 n r k E A 或 r n k E A 时 ， A 可对角化 . （ 3） 若 A B ， 则 A B ； 第四章 相似矩阵 151 正确 . 因 A B ， 故存在可逆矩阵 P ， 使 1 P AP B ， 于是 1 1 1 P AP B P A P B P P A B A B . （ 4） n 阶方阵 A ， B 有相同的特征值 ， 则 A ， B 相似 ； 错误 . 对于矩阵 1 1 2 A 与 1 2 0 0 1 0 0 0 2 B ， A ， B 有相同的特征值 1 1 （ 二重 ）， 2 2 .但 B 不能对角化 ， 故 A ， B 不相似 （ 详见本题之 （ 2） . （ 5） n 阶方阵 A ， B 有相同的特征值 ， 且都可以对角化 ， 则 A ， B 相似 ； 正确 . 若 矩阵 A 及 B 的特征值 相同 ， 且都可以对角化 ， 则他们的相似对角矩阵必相同或相 似 . 由相似的对称与传递性 ， A ， B 必相似 . （ 6） n 阶方阵 A ， B 相似 ， 则 k E A与 k E B相似 ； 正确 . 因 A B ， 故存在可逆矩阵 P ， 使 1 P AP B ， 于是 对任意常数 k ， 恒有 1 1( ) ,k k k P E A P E P AP E B 故 k E A与 k E B相似 . 例 44 若矩阵 A与 B 相似 ， 则下列说法正确的是 （ ） . ( )A ; E A E B ( )B A与 B 均相似于同一对角矩阵 ； ( )C ( ) ( )r rA B ； ( )D 对于相同的特征值 ， A, B 有相同的特征向量 . 解 相似矩阵 A, B 有相同的特征多项式 ， 即 E A E B . 但 E A 不一 定等于 .E B 若 E A E B 则必有 ,A B 显然不对 ， 排除 ( ).A 当矩阵 A 与矩阵 B 相似时 ， 不能保证它们 可相似对角化 . 即使 A, B 都可以对角 化 ， 但化成的 对角矩阵 一般不唯一 ， 即 A, B 可以 分别 相似于不同的对角矩阵 . 排除 ( )B . A 与矩阵 B 相似 ， 即存在可逆矩阵 P ， 使得 1 P AP B . 因 P ， 1P 可逆 ， 则 P , 1P 可以写成一系列初等矩阵的乘积 ， 则 1 P AP B 等价于将矩阵 A 经过一系列 第四章 相似矩阵 152 的初等变换化为 B . 因为初等变换不改变矩阵的秩 ， 故 ( )C 为正确答案 . 至于 ( )D ， A与矩阵 B 相似 ， 即存在可逆矩阵 P ， 使得 1 P AP B. 若 A ， 则 1 1 P A P ， 而 1 1 1 1 P A P AP P B P ， 即 1 1 B P P ， 可见 对于相同的特征值 ， A, B 的特征向量 一般不相同 .故 ( )D 不正确 . 例 69 设 n阶方阵 A相似于对角矩阵 ， 则下列 各项 正确的是 （ ） . ( )A A必为可逆矩阵 ； ( )B A有 n个不同的特征值 ； ( )C A必为实对称矩阵 ； ( )D A必有 n个线性无关的特征向量 . 解 例如 ， 1 2 3 0 0 0 0 0 0 A ， 2( 1) 0 E A ， A的特征值为 0（ 二 重 ） 和 1. 对于二重特征值 0来说 ， 3 0 3 1 2r E A ， 故 A可对角化 ， 但 0A ， A有 重 特征值 ， A不是实对称矩阵 ， 因此 ( )A 、 ( )B 、 ( )C 都不成立 . 故 正确答案为 ( )D . 事实上 ， ( )D 为矩阵可对角化的充要条件 . 10.已知矩阵 4 2 0,2 0 1ab A B 且 A B ， 求 ,a b的值及 A ， B 的特征值 . 解 由 A与 B 相似 ， 则 ,A B 有相同的特征值 1 2, , 且 1 2 4 2 2A B b a = ； 1 24 2 1 b ， 从而 3, 5. b a 因 B 的特征值为 2, 1 , 故 A 的特征值 也 为 2, 1 . 第四章 相似矩阵 153 11.矩阵 2 0 0 0 0 1 0 1 x A 与 2 0 0 0 0 0 0 1 y B 相似 ， 求 ,x y 的值 . 解 由 A与 B 相似 ， 则 ,A B 有相同的特征值 1 2 3, , 且 1 2 3 2 2A B y = ； 1 22 2 1y x ， 从而 0, 1. x y 因 B 的特征值为 2, 1 , 故 A 的特征值 也 为 2, 1 . 12.已知二阶方阵 A 的特征值为 1, 2 ， 它们对应的特征向量分别为 T(1, 2) 和 T(1,3) ， 求 A 及 kA . 解 由 1 1 1A , 2 2 2A ， 有 1 2 1 1 2 2, ,A ， 故 1 1 1 22 3 2 6A ， 从而 11 2 1 1 1 2 3 1 1 1 2 6 2 3 2 6 2 1 6 4A . 因 A 的特征值为 1, 2 ， 则 A 必可对角化 ， 且存在可逆矩阵 P ， 使 1 1 2P AP ， 其中 1 2 1 1, 2 3P ， 故 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 3 1 1 0 1 1 3 2 1 2 . 2 3 0 2 2 3 2 1 0 2 2 3 6 3 2 2 3 2A P P = k k k k k k k k 13. A ， B 为 n 阶方阵 ， A 与 B 相似 ， 证明 （ 1） TA 与 TB 相似 ； （ 2） mA 与 mB 相似 （ m 为正整数 ） ； 第四章 相似矩阵 154 （ 3） 3A E 与 3B E 相似 . 证 因 A B ， 故存在可逆矩阵 P ， 使 1 P AP B ， 于是 （ 1） 11 1 1 1P AP B P A P B P A P B T TT T T T T T T T 即存在可逆矩阵 1P T ， 使 11 1 P A P B T T T T ， 即 TA 与 TB 相似 ； （ 2） 1 1P AP B P A P B m m m m ， 即存在可逆矩阵 P ， 使 1P A P B m m ， 即 mA 与 mB 相似 （ m 为正整数 ） ； （ 3 ） 1 13 3 3P A P P AP B E E E , 即 存 在 可 逆 矩 阵 P ， 使 1 3 3P A P B E E ， 即 3A E 与 3B E 相似 . 综合练习题四 1.填空题 （ 1） 设 A 是 3阶矩阵 ， 1A 的特征值是 1,2,3， 则 *A 的特征值是 . 解 因为 * 1A A A ， 1 A 为矩阵 *A 的特征值 . 因 1A 的特征值是 1,2,3， 则 A 的 特征值是 1 1 11 , 2 ,3 ， 且 1 1 1 11 2 3 6 A ， 故 *A 的特征值是 1 1 1, ,6 3 2 . （ 2） 设 A 为 n 阶矩阵 ， ( )r nA ， 则 A 必有特征值 ， 且该 特征值的 重数至少是 . 解 因 ( )r nA ， 即 1 0 0n A E A ， 故 A 必有特征值 0. 由 (0 ) ( ) ,r r n E A A 可知 (0 ) E A X O 的基础解系有 (0 )n r E A 个线性无关 的解 . 故特征值 0 的重数至少为 ( )n r A . 注 若 0 是特征方程 0 E A 的 m 重根 ， 则方程 组 0( ) E A X O 的基础解系至多含 第四章 相似矩阵 155 有 m 个线性无关的解向量 . （ 3） 设 A 为 n 阶可逆矩阵 ， 是 A 的特征值 ， 则 * 2( ) A E 必有特征值 . 解 因 * 1A A A ， 则 2 22* 2 1 1( ) E E A E A A A A ,故 * 2( ) A E 的特 征值为 22 1 1 A = 2 1 A . （ 4） 已知 2 是 0 2 2 2 2 2 2 6 x A 的特征值 ， 则 x . 解 因 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 0 12 4 0 2 2 8 0 0 6 E x x x A ,故 4x . （ 5） 设 A 是 3阶矩阵 ， 且各行元素之和都是 5， 则 A 必有特征向量 . 解 3 3( ) ,ija A 因 A的每行元素之和均为 5， 即 11 12 13 21 22 23 31 32 33 5, 5, 5. a a a a a a a a a 即 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 1 5 1 1 1 a a a a a a a a a ， 亦即 1 1 1 5 1 1 1 A ， 从而 ， 5是 A的特征值 ， A 必有特征向量 T(1,1,1) . （ 6） 已知四阶矩阵 A 与 B 相似 ， A 的特征值为 1 1 1 1, , , ,2 3 4 5 则 1 B E . 解 由 ,A B 知 B 的特征值是 1 2 1 3 1 4,1 5,， ， 于是 1B 的特征值是 2,3, 4,5， 从而 1B E 的特征值是 1,2,3, 4. 故 1 1 2 3 4 24.B E （ 7） 设 A 为 n 阶矩阵 ， 5A ， 则 *B AA 的特征值是 ， 特征向量是 . 解 * 5A E E B AA , 则 5 5 nE B E E ， 则 *B AA 的特征值是 5， 而 5 5 5B E , 故 任意 n 维非零向量 都是 B 的特征向量 . 第四章 相似矩阵 156 （ 8） 已知 1 1 0 1 4 1 4 3 0 , 1 3 0 1 0 2 0 0 2 A B ， 且 A 的特征值为 2 和 1（ 二重 ）， 则 B 的 特征值为 . 解 TB A , 因为 TTT E B E A E A E A E A ,则 B 的特 征值与 A 的特征值相同 ， 皆为 2 和 1（ 二重 ） . （ 9） 设 ,A B 为 n 阶矩阵 ， 且 0A ， 则 AB 与 BA 相似 .这是因为存在可逆矩阵 P ， 使得 1 P ABP BA . 解 由 1 P ABP BA ， 两端左乘以 P 得 ABP PBA, 显然 P A . （ 10） 设 n 阶方阵 ( )ijaA 且 ( ) 1r A ， 则 A 的特征值为 . 解 一般地 ， n 阶矩阵 A 的特征多项式的展开式为 1 1 ( 1) ( 1) n n n k n k n ii k i a S E A A. （ *） 其中 kS 是 A 的全体 k 阶主子式的和 . 特别地 ， 当 3n 时 ， 有 11 13 22 2311 123 2 11 22 33 31 33 32 3321 22 ( ) a a a aa aa a a a a a aa a E A A . 对于式 （ *） ， 若 ( ) 1r A ， 有 1 1 n n n ii i a E A ， 此时 ， A 的 n 个特征值为 1 2 3 1 , 0 n ii n i a . 2.选择题 （ 1） 若 n 阶矩阵 A 的任意一行 n 个元素的和都是 a ， 则 A 的一个特征值为 . )(a a ； )b（ a ； )(c 0 ； )(d 1a 第四章 相似矩阵 157 解 选 )(a 见 1（ 5） . （ 2） 设 A 为 n 阶方阵 ， 1 2, 分别为 对应于特征值 1 2, 的特征向量 ， 则 . )(a 当 1 2 时 ， 1 2, 一定成比例 ； )b（ 当 1 2 时 ， 1 2, 一定不成比例 ； )(c 当 1 2 时 ， 1 2, 一定成比例 ； )(d 当 1 2 时 ， 1 2, 一定不成比例 解 由 定理 6 矩阵 的不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的 .故 当 1 2 时 ， 1 2, 一定不成比例 ， 选 )(d . （ 3） 设 A 为 3阶不可逆方阵 ， 1 2, 是 AX o的基础解系 ， 3是属于特征值 1 的特征 向量 ， 下列向量中 ， 不是 A 的特征向量的是 . )(a 1 23 ； )b（ 1 2 ； )(c 1 3 ； )(d 32. 解 A 不可逆 ， 则 0A ， 则 A 必有特征值 0. 因 0E A X AX o , 则 1 2, 是特 征值 0 对应的特征向量 . 因同 一特征值对应的特征向量的线性组合仍是特征向量 ， 则 )(a ， )b（ ， )(d 都是 A 的特征向量 。 故选 )(c . （ 4） 0是 对应于特征值 0的特征向量 ， 则 0不是 的特征向量 . )(a 2( )A E ； )b（ 2 A； )(c TA ； )(d *A . 解 0 0 0 ,A 则 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0( ) 2 2 1 ( 1)A E A A E , 0 0 02 2 ,A * 1 0 0 0 ,A A 即 )(a ， )b（ ， )(d 正确 。 而 TA T 0 0 0 , A T T 故 选 )(c （ 5） 下列矩阵中 ， 不能相似对角化的是 . )(a 1 2 1 2 4 3 1 3 5 ； )b（ 0 0 0 0 0 0 1 2 3 ； )(c 0 0 0 0 1 0 0 2 3 ； )(d 0 0 0 1 0 0 0 2 1 . 解 记 ( ),( ),( ),( )a b c d 中的矩阵分别为 1 2 3 4, , , .A A A A 对于 )(a ， 矩阵为实对称阵 ， 可对角化 ； 关于 )b（ ， 对于二重特征值 0 ， 只对应 两个 特征向量 ， 所以 2A 可对角化 ； 关于 )(c ， 3A 有 3个互异的 特征值 0,1,3， 所以 3A 可对角化 ； 第四章 相似矩阵 158 因此选 )(d . 注 （ 1） n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值 ， A 可对角化 ； （ 2） 若 A 有 k 重特征值 ， 当方程组 E A X O 的基础解系含有 k 个线性无关的 解向量时 ， A 可对角化 ； （ 3） 实对称阵可对角化 。 （ 6） 设 A 为 n 阶非零方阵 ， m A O ， 下列命题中不正确的是 . )(a 的特征值只有零 ； )b（ 不能对角化 ； )(c 2 1m E A A A必可逆 ； )(d A 只有一个线性无关的特征向量 . （ 7） 矩阵 1 1 0 1 0 1 0 1 1 A 的特征值是 . )(a 1,1, 0 ； )b（ 1, 1, 2 ； )(c 1, 1, 2 ； )(d 1,1, 2 . （ 8） 若 A B ， 则 . )(a E A E B ； )b（ A B ； )(c 对于相同的特征值 ， 两个矩阵有相同的特征向量 ； )(d BA, 均与同一个对角矩阵相似 . （ 9） 设 3阶方阵 A 有特征值 1 2 31, 1, 2 ， 其对应的特征向量分别为 1 2 3, , ， 记 2 3 1(2 , 3 , 4 ) P ， 则 1 P AP . )(a 1 2 1 ； )b（ 2 1 1 ； )(c 1 1 2 ； )(d 1 1 2 . （ 10） n 阶方阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 . )(a 方阵 A 的秩等于 n ； )b（ A 有 n 个不全相同的特征值 ； )(c A 有 n 个不同的特征向量 ； )(d A 有 n 个线性无关的特征向量 . 第四章 相似矩阵 159 3.已知 ( 1, 2,3)i ii i A ， 其中 ， T1 (1, 2, 2) , T T2 3(2, 2,1) , ( 2, 1, 2) ， 求矩阵 A . 4.已知 3阶矩阵 A 的第一行元素全是 1， 且 T(1, 1, 1) , T T(1,0, 1) , (1, 1,0) 是 A 的三个特征 向量 ， 求 A . 5.设矩阵 1 5 3 1 0 a c b c a A ， 行列式 1A ， 又 *A 有一个特征值 0， 属于 0的一个 特征向量为 T( 1, 1, 1) , 求 , ,a b c 及 0的值 . 6.已知 0 是 3 2 2 1 4 3 k k k A 的特征值 ， 判断 A 能否对角化 . 7.已知 A B ， 其中 1 4 6,2 3 1 ab A ， 求 ,a b的值及矩阵 P ， 使 1 P AP B . 8.设 3 22 2 A ， 求 kA . 9. A 是二阶矩阵 ， 0A ， 证明 A 能够对角化 . 10.三阶 矩阵 A 有特征值 1 和 2 ， 证明 * 2( ) B E A 能够对角化 ， 并求 B 的相似对角矩阵 . 11.设 ,A B 为 n 阶矩阵 ， 证明 AB 与 BA有相同的特征值 . 12. 1 2 3, , 是 A 是的特征值 ， 1 2 3, , 是相应的特征向量 ， 若 1 2 3 仍是 A 的特征向 量 ， 证明 ， 1 2 3 .
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