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一、单项选择题（每小题3 分，满分24 分） 1、设随机变量X 的概率密度为 1 | ,2 2 () 4 0, xx fx 其它 , 则 1 1 X P () 。 (A ) 0. 75 , (B ) 0. 5 , (C ) 0. 25 , (D ) 0 。 2、已知随机变量X 的分布函数为 x b a x F arctan ) ( , x , 若实数c 满足 1 6 PX c ，则c （） 。 （A） 3 3 ；（ B ） 3；（ C ） 1；（ D ） 3 。 3、设随机变量 ) , ( 2 N X ,则 4 (| | ) EX （） 。 (A ) 4 3 ；( B ) 4 4 ；( C ) 4 5 ；( D ) 4 6 。 4、设 B A, 为任意两事件,则下列关系成立的是( ). (A ) A B B A ) ( ；( B )() ABA BA ; (C ) A B B A ) ( ;( D ) ()() ABA BBAAB 。 5、一盒内装有 5 个红球和 15 个白球,从中不放回取 10 次,每次取一个球, 则第 5 次取球时得到的是红球的概率是（ ） 。 （A） 1 5 ；（ B ） 1 4 ；（ C ） 1 3 ； （D） 1 2 。 6 、设每次试验成功的概率为 p ) 1 0 ( p ,则在 5 次重复试验中至少失败 一次的概率为（ ） 。 (A ) 5 1 p ,( B ) 4 (1 ) p p ,( C ) 5 (1 ) p ,( D ) 14 5 (1 ) Cp p 。 7 、设二维随机变量 22 1 (,)( 1 , 2; 2 , 3;) 2 XY N , 则 ) 1 2 ( Y X D () 。 (A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 . 8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5, 现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为（ ） 。 (A )0 .6 , (B ) 11 6 , ( C) 0. 75 , ( D) 11 5 。A6-1 二、填空题（每小题3 分，满分24 分） 1、设总体X 的概率密度为 x x e x f x , 0 , ) , ( ) ( , 又 n x x x , , , 2 1 为来自于总体X 的样本值,则参数 的极大似然估计 。 2、设 B A, 为随机事件, 85 . 0 ) | ( , 8 . 0 ) ( , 6 . 0 ) ( A B P B P A P ,则 ) | ( B A P 。 3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别 为 0 .5、0.3、0.2,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为 0.3、0.6、0.8。 则敌舰被击沉的概率为 。 4、设 n X X X , , , 2 1 是来自正态总体 ) 1 , 0 ( N 的一个样本, n m 1 , 则统计量 22 11 1 () mn kk kk m YXX m 服从的分布为 。 5、设 12 , n XXX 是来自总体X 的样本，且 2 , EX DX ，记 1 1 1 n k k AX X n ， 2 2 1 1 () n k k B XX n ，若 22 12 Ac B 是 2 的无偏估计量， 则常数c 。 6、有 5 个独立的电子装置,它们的寿命 5 , 4 , 3 , 2 , 1 k X k 服从同一指数分布, 其分布函数为 1,0 0, 0 x ex Fx x ， 将这 5 个电子装置串联组成整机, 则整机寿命 ) , , , min( 5 2 1 X X X Y 的概率密度 () Y f y 。 7、设 n X X X , , , 2 1 是来自正态总体 ) , ( 2 N 的样本，其中 未知， 2 已知。 欲使 的置信水平为 1 的置信区间的长度不超过给定L ( 0 L )， 则样本容量n 至少需取 。其 中01 ， () z 。 8、设 12 9 , XXX 是来自总体 ) , ( 2 N X 的简单随机样本, 6 1 1 1 6 k k YX , 9 2 7 1 3 k k YX , 9 22 2 7 1 () 2 k k SX Y , S Y Y Z ) ( 2 2 1 , 则统计量Z 服从的分布为 。A6-2 三、 （ 满 分1 6分 ） 设二维随机变量(,) X Y 的概率密度为 22 3 2 1 (,) ( 1s i n s i n) 2 xy f xy e x y , , x y , （1）求(,) X Y 关于X 的边沿概率密度 () X f x ； （2）求(,) X Y 关于Y 的边沿概率密度 () Y f y ； （3）X 与Y 是否相互独立 ？ (4)利用本题结果可以用于说明概率论中一个什么样的问题 ？A6-3 四、 （ 满 分1 6分 ） 设随机变量 Y X, 的二阶矩 22 () ,() EXE Y 存在， 证明：成立不等式 11 22 22 |( )|() () EXY EX EY 。 （要求用最直接的方法给予证明，并注意分别讨论 2 0 EX 和 2 0 EX 的情形。 ）A6-4 五、 （满分 8 分） （此 题学过 1 - 9 章 和 1 1 -13 章 的学生做，仅学过 1 至 9 章 的学生不做 ） 设随机过程 ) sin( ) ( t a t X ,其中a 和 是非零常数, 是在 ) 2 , 0 ( 上服从均匀 分布的随机变量。 试求： (1 )写出 的概率密度 () f ；（ 2 ） 求 ) ( t X E ; (3 )求 ) ( ) ( t X t X E ；( 4 ) 判 断 ) (t X 是否为平稳过程？ (备用公式: ) cos( ) cos( 2 1 sin sin ) 五 、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章 的学生做；学过 1 至 9 章 和 1 1-13 章的学生不做 ） 设某昆虫产k 个卵的概率为 ! k e k ,( 0 为常数), , 2 , 1 , 0 k . 每个卵能孵化成幼虫的概率为 ) 1 0 ( p p ,且各个卵能否孵化成幼虫是相互独立的。 试求： （1）该昆虫没有后代的概率； （2）该昆虫有后代的概率。A6-5 六、 （ 满 分1 2分 ） （ 此题学过 1 至 9 章 和 1 1-13 章的学生作 ， 仅 学过 1 至 9 章 的学生不做 ） 传输数字 0 和 1 的通讯系统,每个数字的传输需经过若干步骤, 设每步传输正确的概率为 0.95,传输错误的概率为 0.05.以 n X 表示第n 步传输出的数字 , 则 , 2 , 1 , 0 , n X n 是一齐次马尔可夫链; 试求： （1）写出状态空间S 和一步转移概率矩阵P ; （2）求两步转移概率矩阵 ) 2 ( P ; (3 ) 求 0 | 0 , 1 2 1 n n n X X X P 。 六、 （满分 12 分） （此 题仅学过 1 至 9 章 的学生做，学过 1 - 9 章 和 1 1 -13 章 的学生不作 ） 设某种零件尺寸 (, 1 . 2 1 ) XN , 今从此种一批零件中随机取 9 件 ,测得样本均值 31.4 x ， 当检验水平 05 . 0 时，能否认为此批零件尺寸的均值为 32.5 ？ （ 96 . 1 025 . 0 1 z ， 645 . 1 05 . 0 1 z ， 1 0.025 (8) 2.306 t ， 10 . 0 5 (8) 1.8595 t ， x X P ）A6-6 答案及评分细则 A卷 一、 单 项选择题（每小题 3 分 ，满分 2 4 分 ） 1、C；2、B；3、A；4、D；5、B；6、A；7、D；8、C。 二 、填空题（每小题 3 分 ，满分 24 分 ） 1、 12 min , , , n xxx ，2 、 7 . 0 ) | ( B A P ； 3 、 0. 49 ; 4 、 22 2 11 1 () (1 ) mn kk kk m YXXn m m ； 5 、 1 1 n ；6 、 5 5,0 () () 0, 0 y YY ey fyFy y ； 7、 2 2 2 2 11 22 24 zz LL ；8 、 ( 2 ) t 。 三、 （满分 16 分） 解（ 1 ） dy y x f x f X ) , ( ) ( 22 3 2 1 (1 sin sin ) 2 xy ex y d y 222 3 222 1 (s i ns i n ) 2 xyy eex ey d y 22 22 1 0 2 xy eed y 22 22 11 2 2 2 x x ee ， x ； 4 分 （2） () (,) Y fyf x y d x 22 3 2 1 (1 sin sin ) 2 xy ex y d x A6-7 222 3 222 1 (s i ns i n ) 2 yxx eex ey d x 22 22 1 0 2 yx eed x 2 2 1 2 y e ， y ；8 分 （3）因 为 (,) () () XY f xy f xfy ，所以X 与Y 是不相互独立12 分 （4）本题提供了例子，仅有X 与Y 的分布，不能确定(,) X Y 的分布， 或由X 与Y 都服从一维正态分布，不能推出(,) X Y 服从二维正态分布。16 四、 （ 满 分1 6分 ） 证明 对任意实数t ,恒有 222 2 () 2 0 EY tX tEX tEXY EY ,4 分 当 2 0 EX 时，取 2 EXY t EX ，代入上式，8 分 则有 2 2 2 () 0 EXY EY EX ； 222 () EXY EX EY , 即得 11 22 22 | | EXY EX EY ；12 分 （或直接由判别式 2 40 ba c ，得 222 (2 ) 4 0 EXY EX EY ，A6-8 即得 222 () EXY EX EY , 于是 11 22 22 | | EXY EX EY 。 ） 当 2 0 EX 时，对任意实数t , 222 2 () 2 EY tX tEX tEXY EY 2 2tEXY EY 恒有 2 20 tEXY EY ， 必有 0 EXY ，自然成立 11 22 22 | | EXY EX EY 14 分 综合以上情形， 于是有 11 22 22 | | EXY EX EY ，16 分 五、 （ 满 分8分 ） （此 题学过 1 至 9 章和 11 -13 章 的学生作，仅学过 1 至 9 章 的学生不做 ） 解（ 1 ） 的概率密度 其它 , 0 2 0 , 2 1 ) ( f ，2 分 (2 ) ) ( t X E d f t a t a E ) ( ) sin( ) sin( 0 2 1 ) sin( 2 0 d t a ， 4 分 (3 ) ) ( ) ( t X t X E ) ) ( sin( ) sin( t a t a E d f t a t a ) ( ) ) ( sin( ) sin( d t a 2 1 ) 2 ) 2 ( cos( cos 2 1 2 0 2 cos 2 2 a ， 6 分 (4 ) ) ( 2 t X E 2 2 a ，A6-9 因为 0 ) ( t EX 是常数， 2 ()( ) c o s 2 a EXtXt 仅依赖于 ， ) ( 2 t X E 存在，所以 ) (t X 是平稳过程8 分 六、 （满分 12 分） （此 题学过 1 至 9 章和 11 -13 章 的学生作，仅学过 1 至 9 章 的学生不做 ） 解 ( 1)状态空间S =0,1, 2 分 一步转移概率矩阵 05 . 0 95 . 0 P 95 . 0 05 . 0 , 4 分 (2)两步转移概率矩阵 05 . 0 95 . 0 2 ) 2 ( P P 95 . 0 05 . 0 05 . 0 95 . 0 95 . 0 05 . 0 095 . 0 905 . 0 905 . 0 095 . 0 ; 8 分 (3 ) 0 | 0 , 1 2 1 n n n X X X P 0 , 1 | 0 0 | 1 1 2 1 n n n n n X X X P X X P 1 | 0 0 | 1 1 2 1 n n n n X X P X X P 0025 . 0 05 . 0 05 . 0 10 01 p p . 12 分 五 、 （满分 8 分） （此题仅学过 1 至 9 章 学生做，学过 1- 9 章 和 1 1-13 章学生不做 ） 解设 A 该昆虫有后代, k B 该昆虫产k 个卵, , 2 , 1 , 0 k , 易知,事件组 , , , , , 2 1 0 n B B B B 是一完备事件组, ! ) ( k e B P k k , , 2 , 1 , 0 k , A 该昆虫没有后代 每个卵都没孵化成幼虫, k k p B A P ) 1 ( ) | ( , , 2 , 1 , 0 k ,4 分 由全概率公式得 （1） ) | ( ) ( ) ( 0 k k k B A P B P A P k k k p k e ) 1 ( ! 0 0 ! ) 1 ( k k k p e A6-10 p p e e e ) 1 ( ,6 分 （2）从而 p e A P A P 1 ) ( 1 ) ( . 8 分 六 、 （满分 12 分） 解 (1)检验假设 0 H 5 . 32 : 0 ,2 分 (2)统计量 ) 1 , 0 ( 0 N n x U ,4 分 (3 ) 现 在 9 n , 31.4 x , 1 . 1 , 计算统计量值 0 0 31.4 32.5 3.0 1.1 9 x u n ,6 分 (4 )对于 05 . 0 ，查标准正态分布表得 96 . 1 975 . 0 2 1 z z ,8 分 (5 )因为 0 1 2 |3 . 01 . 9 6 uz ，故拒绝 0 H ，10 分 （6） 即不能认为此批零件尺寸的均值为 32.50 。12 分
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