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23 第 三 章 多维随机变量及其分布 一 、填空题 1、随机点 ),( YX 落在矩形域 , 2121 yyyxxx 的概率为 ),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF . 2、 ),( YX 的分布函数为 ),( yxF ，则 ),( yF 0 . 3、 ),( YX 的分布函数为 ),( yxF ，则 ),0( yxF ),( yxF 4、 ),( YX 的分布函数为 ),( yxF ，则 ),(xF )(xFX 5、设随机变量 ),( YX 的概率密度为 其它0 42,20)6(),( yxyxkyxf ，则 k 81 . 6、随机变量 ),( YX 的分布如下，写出其边缘分布 . 7、设 ),( yxf 是 YX, 的联合分布密度， )(xfX 是 X 的边缘分布密度，则 )(xf X 1 . 8、二维正态随机变量 ),( YX ， X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 0 . X Y 0 1 2 3 jP 1 0 83 83 0 86 3 81 0 0 81 82 iP 81 83 83 81 24 9、如果随机变量 ),( YX 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 31 则 , 应满足的条件是 ；若 X 与 Y 相互独立，则 184 ， 182 . 10、设 YX, 相互独立， )1.0(),1,0( NYNX ，则 ),( YX 的联合概率密度 ),( yxf 2 2221 yxe ， YXZ 的概率密度 )(ZfZ 42 221 xe . 12、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 yxyxyxAyxF 0 0,01 11 11 1, 222则 A =_1_。 二 、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字 1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为 X ，第二次取的球上标的数字 Y ，求 ),( YX 的联合分布律 . 解： 0311,1 YXP 311312,1 YXP 3121321,2 YXP 3121322,2 YXP 2、三封信随机地投入编号为 1,2,3 的三个信箱中，设 X 为投入 1 号信箱的信数， Y 为投入 2 号信箱的信数，求 ),( YX 的联合分布律 . 解： X 的可能取值为 0,1,2,3 Y 的可能取值为 0,1,2,3 3310,0 YXP 3331,0 YXP 33 23 3332,0 CYXP X Y 1 2 1 0 31 2 31 31 25 3313,0 YXP 3330,1 YXP 33 231,1 YXP 33 132,1 YXP 03,1 YXP 3 2330,2 CYXP 3331,2 YXP 02,2 YXP 03,2 YXP 3310,3 YXP 03,32,31,3 YXPYXPYXP X Y 0 1 2 3 0 271 273 273 271 1 273 276 273 0 2 273 273 0 0 3 271 0 0 0 3、 设 函 数 F(x , y) = 120 121 yx yx ； 问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 2， 0 1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0) = 1 1 1 + 0 = 1 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。 4、设 0 1)(,0)( dxxgxg 且 ，有 其它,0 ,0,)(2),( 2222 yxyxyxgyxf 证明： ),( yxf 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 证明：易验证 ),( yxf 0 ，又 d x d yyxf ),( d x d yyx yxg 0 0 22 22 )(2 020 0 1)( )(2 drrgr d rr rgd 符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。 26 5、 在 0, 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求 0)cos ( YXP 的值。 解： 其它,0 ,0,1),( 2 yxyxf ， 0)cos ( YXP 43)232 YXP 6、 设随机变量 ),( YX 的密度函数为 其它0 0,0),( )43( yxkeyxf yx (1)确定常数 k (2)求 ),( YX 的分布函数 (3)求 20,10 YXP 解： (1) 0 0 )43( 1dxekdy yx 0 0 030434 123141 keekdxedyek xyxy 12k (2) y x yxvu eedudveyxF 0 0 43)43( )1)(1(1211212),( )1)(1( 43 yx ee 0,0 yx 0),( yxF (3) )2,0()0,1()0,0()2,1(20,10 FFFFYXP 95021.00)1)(1( 83 ee 7、设随机变量 ),( YX 的概率密度为 其它0 20,103/),( 2 yxxyxyxf 求 1 YXP 解： 1 1 0 2 1 2 )3(),(1 yx x dy xyxdxdxdyyxfYXP 10 32 7265)65342( dxxxx 8、设随机变量 ),( YX 在矩形区域 ,|),( dycbxayxD 内服从均匀分布， (1)求 联合概率密度及边缘概率密度 . (2)问随机变量 YX, 是否独立？ 27 解： (1)根据题意可设 ),( YX 的概率密度为 其它0 ,),( dycbxaMyxf ba dc cdabMdydxMd x d yyxf )(),(1 于是 )( 1 cdabM ，故 其它0 ,)(/(1),( dycbxacdabyxf dcX abcdab dydyyxfxf 1)(),()( 即 其它0 1 )( bxaabxf X baY cdcdab dxdxyxfyf 1)(),()( 即 其它0 )/(1)( dyccdyf Y (2)因为 )()(),( yfxfyxf YX ，故 X 与 Y 是相互独立的 . 9、 随机变量 ),( YX 的分布函数为 其它,0 0,0,3331),( yxyxF yxyx求： （ 1）边缘密度；（ 2）验证 X,Y 是否独立。 解：（ 1） )33(3ln),( yxxxyxF ， ,33ln),( 22 yxyxyxF 0,0 yx . 其它0 0,033ln),( 2 yxyxf yx 28 其它0 033ln33ln)( 20 xdyxf xyx X , 其它0 0,33ln33ln)y( 20 ydxf yyx Y (2) 因为 )()(),( yfxfyxf YX ，故 X 与 Y 是相互独立的 . 10、 一电子器件包含两部分，分别以 YX, 记这两部分的寿命 (以小时记 )，设 ),( YX 的分布函 数为 其它0 0,01),( )(01.001.001.0 yxeeeyxF yxyx (1)问 X 和 Y 是否相互独立？ (2)并求 120,120 YXP 解： (1) 00 01),()( 01.0 xxexFxF xX 00 01),()( 01.0 yyeyFyF yY 易证 ),()()( yxFyFxF YX ，故 YX, 相互独立 . (2)由 (1) YX, 相互独立 1 2011 2011 201 201 20,1 20 YPXPYPXPYXP 091.0)120(1) 120(1 42 eFF YX 11、设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为 F x y A B a r c t g x C a r c t g y( , ) ( ) ( ) 2 3求： ( 1 ) 系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。 解： ( 1 ) F A B C( , ) ( )( ) 2 2 1 F A B C( , ) ( )( ) 2 2 0 F A B C( , ) ( )( ) 2 2 0 由 此 解 得 A B C 1 2 2 , , 29 ( 2 ) ( , ) ( ) ( )x y x y 64 92 2 2 12、设 ),( YX 相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 试写出 ),( YX 的联合分布律 . 解： X Y 2 1 0 21 21 81 61 241 61 1 161 121 481 121 3 161 121 481 121 13、设 YX, 相互独立，且各自的分布律如下： 求 YXZ 的分布律 . 解： ,2,1,0 kPkXP k ,2,1,0 qYP YXZ 的分布律为 ,2,1,0 iqPiZP kik Z 的全部取值为 2,3,4 412121111,12 YPXPYXPZP 1,22,13 YXPYXPZP Y 21 1 3 kP 21 41 41 X 2 1 0 21 kP 41 31 121 31 X 1 2 kP 21 21 Y 1 2 kP 21 21 30 21212121211221 YPXPYPXP 412121222,24 YPXPYXPZP 14、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为 00 021)( 21 x xexf x X 00 031)( 3 y yeyf y Y 求 YXZ 的密度函数 . 解： YXZ 的密度函数为 dxxZfxfZf YXZ )()()( ， 由于 )(xfX 在 0x 时有非零值， )( xZfY 在 0xZ 即 Zx 时有非零值， 故 )()( xZfxf YX 在 Zx0 时有非零值 Z Z xZxZxZ dxeedxeeZf 0 0 6332 613121)( )1( 63063 ZZZxZ eeee 当 0Z 时， 0)( Zf 故 00 0)1()( 63 Z ZeeZf ZZZ
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