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大学物理练习册解答 第八章 真空中静电场 1、三个电量为q 的点电荷各放在边长为 r的等边三角形的三个顶点上。电荷 Q (Q0 ) 放在三角形的重心上，为使每个负电荷受力为零，Q之值应为多大？ 解：利用矢量合成可得 2 30 cos r 4 q ) r 3 3 ( 4 Qq 2 0 2 2 0 = Q 所以 q 3 3 Q = 2、线电荷密度为的无限长均匀带电线，分别弯成 如图 (a) 和 (b) 所示的两种形状，若圆半径为 R， 试求(a)、(b) 图中 O点的场强。 A O R （a） A E 1 （B） E 2 E 3 （A） B B E 1 （B） E 2 E 3 （A） 解：图（ a）由两根半无限长带电直线和一段圆弧组 成，方向如图所示。根据矢量合成 2 3 2 1 O E E E E E r r r r r = + + = R 4 2 E E 0 2 O = = 1 E E tg x y = = = 45 即与水平成 45 图（b）由两根半无限长带电直线和一段半圆弧 组成，方向如图所示。根据矢量合成 （b） 0 R 4 2 R 2 45 cos E 2 E E 0 0 0 1 2 Ox = = = 0 45 sin E 45 sin E E 0 3 0 1 Oy = = 0 E O = 1大学物理练习册解答 3、有一细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其上半部均 匀分布有电荷+Q，下半部均匀分布有电荷Q，如图所 示求半圆中心处的场强。 + + + + + R O 解：由于对称性，dE + 、dE 在x方向上的分量抵 消 0 E x = = = Rd dl dq （ R Q 2 = ） = = = = d cos R 4 cos dE dE R 4 d R Rd 4 dE 0 y 0 2 0 = = = 2 0 2 2 0 0 y R Q cos R d 4 2 cos dE 2 E 方向沿y方向 4、一无限大的均匀带电平板，电荷密度为，在平板上挖去一个半径为的圆孔，求通 过圆孔中心并垂直于板的轴上一点的场强。 解：取圆环元半径为， = d 2 dq 则圆环元在轴线上产生 dE 公式 2 3 2 2 0 p ) x ( xdq 4 1 dE + = 2 1 2 2 0 R 2 3 2 2 0 R p p ) x R ( 2 x ) x ( 4 d x 2 dE E + = + = = O P R x x 方向沿 x轴方向 2 大学物理练习册解答 5、 如图所示， 在点电荷的电场中， 取半径为的平面， 在该平面的轴线上的点处求通过此圆平面的电通 量。 R O r A q 解法一：以 A 为中心，r 为半径作一球面，则通过圆平 面的电通量与通过以圆平面为底的球冠电通量相等。 设球面积 ， 通量 2 0 r 4 S = 0 0 q = 球冠面积 ) cos r r ( r 2 S = 通量 2 cos 1 r 4 ) cos 1 ( r 2 S S 2 2 0 0 = = = 2 ) cos 1 ( q ) 2 cos 1 ( 0 0 = = 解法二： h x + = = = R 0 2 2 0 xdx 2 cos ) h x ( 4 q ds cos E s d E r v + + = R 0 2 1 2 2 2 2 0 xdx 2 ) h x ( h ) h x ( 1 4 q = ) cos 1 ( 2 q ) h R ( h 1 2 q 0 2 1 2 2 0 = + 6、一半径为 R 的无限长直圆柱体，均匀带电，电荷体密度 0，求电场场强分布；并 用 E r图表示场强随距离的分布情况。 解：在圆柱体内外取图示高斯面，由高斯定理 0 q S d E = r v E R r R r = S d E r v 0 2 h R rh 2 E = r 2 R E 0 2 = R r S d E r v 0 2 h r rh 2 E = = 0 2 r E = 3大学物理练习册解答 7、一厚度为 d 的无限大平板，均匀带电，体电荷密度为 ，求平板体内、外场强的分布， 并以其对称面为坐标原点作出 E x的分布曲线。 解：在平板内外取图示高斯面，由高斯定理 0 q S d E = r v 2 d x 2 d or 2 d x = S d E 2 r r 0 2 S d S E 2 = 0 2 2 d E = 8、半径为 R的非金属球带有正电荷，电荷体密度随径向距离的变化满足 =br，其中 b为常数，r为离球心的距离，求球内、外场强的分布。 解：由于 与 r成线性关系，电场分布仍有球对称性，故可由高斯定理求解。 作同心球面为高斯面 R r 4 R 0 3 2 R 0 R b dr r 4 b dr r br 4 dV q = = = = = S d E r v 外 0 4 2 R b r 4 E = 外 2 0 4 r 4 bR E = 外 4 大学物理练习册解答 9、两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2 =20.0cm，已知内球面的电势为 U1=60V，外球面的电势U2= 30V求： (1) 内、外球面上所带电量； (2) 在两个球面之间何处的电势为零。 解： （1） V 90 ) 30 ( 60 ) R 1 R 1 ( 4 q dr r 4 q U 2 1 0 1 2 R 1 R 2 0 1 2 R 1 R = = = = C 10 67 . 6 q 10 1 = 又 V 60 R 4 q R 4 q U 2 0 2 1 0 1 1 R = + = U 2 q 2 U 1 q 1 R 1 R 2 C 10 33 . 1 q 9 2 = （2）令 r处 U （r）=0 即 0 4 4 2 0 2 0 1 = + R q r q 所以 r=0.10m=10.0cm 10、电荷 Q均匀地分布在半径为 R的球体内，试证明离球心 r (r = R r r 4 Q R r R 4 Qr E 2 0 3 0 = + = = R 2 R r 1 r d E d E d E U l l l r r r r r r ( ) 3 0 2 2 R 8 r R 3 Q 5大学物理练习册解答 11、一均匀带电细杆，长为l =15.0cm，电荷线密度 求: m / C 10 0 . 2 7 = (1) 细杆延长线上与杆的一端相距 a=5.0cm处的电势。 (2) 细杆中垂线上与细杆相距 b=5.0cm处的电势。 解： （1） ) x a ( 4 dx ) x a ( 4 dq dU 0 0 + = + = l l O dq l a x = + = l 0 3 0 V 10 5 . 2 ) x a 4 dx U l （ （2） 2 2 0 b x 4 dx dU + = b = + = 2 2 3 2 2 0 V 10 3 . 4 b x 4 dx U l l -l/2 0 dq l/2 12、半径为 R 的无限长圆柱体中，电荷按体密度均匀分布，分别以 (1) 轴线处为零电 势位置；(2) 圆柱体表面为零电势位置。求圆柱体内、外的电势。 解：场强分布 R r 0 2 R r 2 E = l l r 2 R E 0 2 = （1） R r + = + = R r 0 R 0 2 ) 1 R r ln 2 ( 4 R d E d E U l l v v v v （2） R r = = R r 0 2 R r ln 2 R Edr U 6 大学物理练习册解答 13、如图所示， AB=2 l，弧OCD是以B为 中心，l为半径的半圆。A点有点电荷+q， B点有点电荷q。 (1) 把单位正电荷从 O点沿弧 OCD移到 D点，电场力作了多少功? (2) 若把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长 线移到无穷远处，电场力作功又为多少? 解： （1） 0 4 q 4 q U 0 0 0 = + = l l l l l 0 0 0 D 6 q 4 q 3 4 q U = = D 0 D 0 1 U U ) U U ( q A = = l 0 6 q = ( 2) l 0 0 2 6 q ) U U ( A = = 14、在静电透镜实验装置中，有一均匀带电的圆环，内半径为R1，外半径为R2，其电荷 面密度为 (负电)，现有一电子沿着轴线从无限远射向带负电的圆环，欲使电子能穿过 圆环，它的初始动能至少要多大? 解：设电子在无穷远处初动能为E k , 0 点电子动能 0 K K 0 E E ) U U ( e A = = = ) R R ( 2 r 4 rdr 2 r 4 dq U 1 2 0 2 R 1 R 0 0 0 = = = ) R R ( 2 e eU E 1 2 0 0 K = = A O D +q q l 2 l R 2 R 1 C 7大学物理练习册解答 15、一电偶极子原来与均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功为 A，则当 此电偶极子与场强成 45角时，此电偶极子所受的力矩为多少? 解： = = = 0 PE 2 d sin PE Md A Q 4 A 2 2 2 2 A 45 sin PE M = = = ( E 2P E) P ( E P A e e e = = ) 1 2 3 16、如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，电荷密度 为 1=1.210 -4 C/m 2 ， 2=0.210 -4 C/m 2 ，3=1.110 -4 C/m 2 ， A点与平面II相距为 5.0cm，B点与平面II相距 7.0cm，求: A B (1) A、B 两点的电势差； (2) 把电量q 0= 1.010 -8 C的点电荷从A点移到B点，外 力克服电场力作功多少? 解： （1） 0 3 0 3 0 2 0 1 3 2 1 A 2 10 2 2 2 E E E E = = = I II III V 10 1 . 9 10 85 . 8 2 10 16 2 10 16 10 7 2 10 3 10 5 2 10 d E d E U U 2 10 3 E E E E 4 12 7 0 7 2 0 3 2 0 3 2 B 1 A B A 0 3 3 2 1 B = = = + = + = = + = （2） 0 A A = + 静 外 J 10 1 . 9 10 1 . 9 10 0 . 1 ) U U ( q W A A 4 4 2 A B 0 = = = = = 静 外 8 大学物理练习册解答 17、有一半径为 R，电荷密度为 的均匀带电的圆盘，求: (1) 圆盘轴线上任意一点的电势； (2) 利用场强和电势梯度的关系求该点场强。 解：取 rdr 2 dq = + = R 0 2 1 2 2 0 ) r x ( 4 rdr 2 dU ) x R x ( 2 2 2 0 + = ) 1 R x 2 x 2 ( 2 dx dU E 2 2 0 + = = ) R x x 1 ( 2 2 2 0 + = 9