资源描述
7.1 解：因 + = = 1 0 1 ) 1 ( ) 1 ( ) , ( dx x x x dx x xf X E 2 2 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 0 1 0 1 1 0 + = + + + = + = + = + x dx x dx x x 故 1 2 X E X E = 从而依矩 法估计 有 X X M = 1 2 7.2 解：因 ) ( Pois X 故 = X E 从而依矩 法估计 有 X M = 又因 12 17 2 3 7 10 22 16 2 5 3 4 7 3 10 2 22 1 16 0 = + + + + + + + + + + = X 所以 12 17 = M 7.6 解： 由于 mp X E = 故 1 X E m p = 从而依矩估计法 m X p = . 由于 X 的似然函数 为 = = = n i i i n x X P p x x x L 1 2 1 ) ( ) ; , , , ( i i x m x n i i p p x m = = ) 1 ( 1 从而 ) 1 ln( ) ( ln ln ) ; , , , ( ln( 1 1 1 2 1 p x nm p x x m p x x x L n i i n i i n i i n + + = = = = 上式两端关 于 p 求导， 并令其为 0 得 0 ) ( 1 1 1 ln 1 1 = = = = n i i n i i x nm p x p p L 即 m X p = 最终得 p 的最 大似然估 计量为 m X p L = . 7.9 解： 由于 dx e x e dx e x X E x x = = 1 + = = = = ) ( ) ( e e e dx xe e x d xe e x 同理 2 2 2 2 2 2 1 + + = = dx e x X E x 所以 2 2 ) ( X E X E X Var = 2 2 2 2 ) ( 2 2 = + + + = 从而 = = X Var X Var X E 故依矩估计法有 = = n M n M S S X 由 于当 ) , , 2 , 1 ( n i x i = 即 ) 1 ( x 时, X 的似然 函数为 = = n i i X n x f x x x L 1 2 1 ) , , ( ) , ; , , , ( n x n n i i e = = 1 1 1 从而 = = n i i n n x n x x x L 1 2 1 1 ln ) , ; , , , ( ln( 上式两端 关于 求导，并令 其 为 0 得 0 ln = = n L 上式无解 因此从似 然函数的 定义出 发， 要使 X 的似然函数 达 最大 应 取 ) 1 ( X 所以 ) 1 ( X L = 又因 L ln 关于 求导，并 令其为 0 得 0 ) ( 1 ln 1 2 = + = = n i i n x n L 即 = X 从而 ) 1 ( X X L = 故 = = ) 1 ( ) 1 ( X X X L L 7.10 解：由 于 X 的似然函数为 = = n i i X n x f x x x L 1 2 1 ) , ( ) ; , , , ( = = n i i x n e 1 故 = = n i i n x n x x x L 1 2 1 ln ) ; , , , ( ln( 上式两端关于 求导，并 令其为 0 得 0 ln 1 = = = n i i x n L 即 X 1 = 从而 5 1179 1 1 . = = X L 又因 = = 1500 1500 ) 1500 ( e dx e X P x 所以 2717 . 1 1500 = = e e P L 7.13 解： （1 ） 因 , 0 U X 故 = = = = 2 2 2 2 1 X E X E T E 又因 = . , 0 , 0 , ) ( ) ( 1 ) 1 ( 其它 x x n x f n n X 所以 + = = 0 1 ) 1 ( 1 ) ( n dx x n x X E n n 从而 = + = ) 1 ( ) 1 ( 2 X E n T E 因此 综上可知 2 1 ,T T 均为 的无 偏估计量 . （2 ） 因 + + = = 0 2 1 2 2 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) ( n n dx x n x X E n n 故 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 X Var n T Var + = 2 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) ) ( ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 + = + + + + = + = n n n n n n X E X E n 又因 n n X Var n X Var T Var 3 12 4 4 4 2 2 1 = = = = 所以 0 ) 2 ( 3 ) 1 )( 2 3 ( 2 3 2 2 2 + + = + n n n n n n n ) 2 ( n 从而 2 1 T Var T Var 因此 1 T 更有效 . 7.16 解： （1 ） 由于 X 的似然函 数为 = = = n i i i n x X P x x x L 1 2 1 ) ( ) ; , , , ( i i x x n i i x = = 10 1 ) 1 ( 10 从而 ) 1 ln( ) 10 ( ln 10 ln ln 1 1 1 p x n x x L n i i n i i n i i + + = = = = 上式两端关于 求导，并 令其为 0 得 0 ) 10 ( 1 1 1 ln 1 1 = = = = n i i n i i x n x L 即 10 X = 从而得 的最 大似然估 计量为 10 X L = （2 ） 因 = = = = 10 10 1 10 1 10 1 X E X E E L 所以 L 是的 无偏估计 又因 10 X M L = = 故 L 是的 矩估 计 因此 L 是的 相合估计 . 7.17 解 ：设 的置信 水平为 1 因 ) 1 , 0 ( 2 ) ( N X n 故 = 1 2 ) ( 2 1 u X n P 得 置信区 间为 + n u X n u X 2 1 2 1 2 , 2 所以 1 . 0 95 . 0 2 1 = = 因此 的置信度为 9 . 0 1 = 又因置信 区间的 长 度为 n u 95 . 0 4 故 9932 . 10 16 1 4 2 95 . 0 95 . 0 = u n n u 从而样本 容量至 少 为11 . 7.19 解： （1 ） 由于 2 未知 故由 ) 1 , 0 ( ) ( N X n ， ) 1 ( ) 1 ( 2 2 * 2 n S n n 知 ) 1 ( ) ( * n t S X n n 所以 置信水平为 0.95 的置信 区间为 + n S n t X n S n t X n n * 2 1 * 2 1 ) 1 ( , ) 1 ( 又因 975 . 0 2 1 05 . 0 95 . 0 1 = = = 12 = n ， 2010 2 11 975 . 0 . = ） （ t ， 6329 . 2 * 12 = S 代入得 的置信水 平 为 0.95 的置 信 区间为 9229 . 1001 , 5771 . 998 . （2 ） 由于 未知，且 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 * 2 n S n n 所以 置信水平为 0.95 的置信 区间为 ) 1 ( ) 1 ( , ) 1 ( ) 1 ( 2 2 * 2 2 1 * 2 2 n S n n S n n n 又因 816 3 11 2 025 0 . . = ） （ ， 920 21 11 2 975 0 . . = ） （ 代入得 的置信 水平为 0.95 的 置信 区间为 9826 . 19 , 4787 . 3 . 7.20 解 ：设 Y X , 分别表 示甲、 乙 两类试 验 田的亩产 量， 则 其 均值分 别为 甲 ， 乙 ，方差 为 2 ，且 10 , 8 = = n m 则 ) , ( 2 甲 N X ， ) , ( 2 乙 N Y 而 2 未知，且 ) 2 ( ) 2 ( 1 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 1 + + + + n m t n m nS mS n m Y X n m 乙 甲 故 乙 甲 的置信水平 为 0.95 的置 信区间 为 2 1 1 ) 2 ( ) ( 2 2 2 1 2 1 + + + + n m nS mS n m n m t Y X n m ， 2 1 1 ) 2 ( ) ( 2 2 2 1 2 1 + + + + + n m nS mS n m n m t Y X n m 因 625 . 569 8 1 8 1 = = = i i X X ， 243 1850 ) ( 8 1 2 8 1 2 1 . = = = i i m X X S 487 10 1 10 1 = = = i i Y Y ， 5982 2930 ) ( 10 1 2 10 1 2 1 . = = = i i m Y Y S 1199 . 2 ) 16 ( 975 . 0 = t 所以 乙 甲 的置信水 平 为 0.95 的置 信区间 为 4216 . 135 , 8284 . 29 7.21 解：设 X 与Y 分别 表示 B A 与 的测量值， 且 ) , ( 甲 甲 N X ) , ( 乙 乙 N Y 因 2 2 乙 甲 的 95% 的置信区 间为 2 2 2 2 ) 9 , 9 ( 1 ) 9 , 9 ( 1 025 . 0 975 . 0 * * * * 乙 甲 乙 甲 ， S S F S S F 且 541 0 2 * . = 甲 S ， 606 0 2 * . = 乙 S 03 . 4 ) 9 , 9 ( 975 . 0 = F ， 2481 . 0 ) 9 , 9 ( 1 ) 9 , 9 ( 975 . 0 025 . 0 = = F F 代入得 2 2 乙 甲 的 95%的置信 区间为 5977 . 3 , 2215 . 0 .
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