医用物理学第02章课后习题解答.pdf

1 第二章 流体的运动 通过复习后，应该: 1. 熟练掌握理想流体和稳定流动的概念、连续性方程和伯努利方程及其应用、掌握牛 顿粘滞定律、粘度的概念、泊肃叶公式; 2. 理解实际流体的伯努利方程、层流、湍流和雷诺数的概念、斯托克斯公式； 3了解血液的粘度和沉降、循环系统中的血流速度、体位对血压的影响、心脏作功。 2-1 什么叫理想流体、流线、流管、稳定流动、流量、空吸作用? 理想流体作稳定流 动时，流体速度与流管截面积有什么关系? 答: 理想流体: 绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体叫理想流体。 流线: 设想在流体中画一些曲线， 使这些曲线上每一点的切线方向与流体质点在 该点的速度方向一致，这些曲线称为流线。 流管: 在流场中任取某一垂直于流线的面积元S，过 S 周边各点的流线所围成的 管状区域叫流管。 稳定流动: 如果流体中各点的速度、压强和密度都不随时间变化，则这样的流动 称为稳定流动。 流量: 单位时间内通过流管内某一横截面的流体的体积称为该横截面的体积流 量，简称为流量。 空吸作用: 如本题附图所示，流管中 B 处截 面积小，流速大，由伯努利方程可知，B 处的压强 小，当它小于大气压强时，容器 D中的液体因受大 气压强的作用上升到 B处而被水平管中的流体带走， 这种作用叫空吸作用。 习题2-1 附图 可压缩的流体作稳定流动时，在同一流管中流体的速度v、该处流管的横截面积 S 及其该处的流体密度之积是一常量；即 2 2 2 1 1 1 v v S S 。 不可压缩的流体作稳定流动时，在同一流管中流体速度v、该处流管的横截面积 S 之积是一常量，即 2 2 1 1 v v S S 。 2-2 水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知截面积 S1 处压强为 110Pa，流速为 0.2ms -1 ，在截面积 S2 处的压强为 5Pa，求S2 处的流速（内摩擦不计） 。 解: 已知 Pa 110 1 p ， 1 1 s m 2 0 . v ， Pa 5 2 p ， 2 h 1 h ，由伯努利方程可得 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 v v p p 2 2 2 1000 2 1 5 2 0 1000 2 1 110 v . 1 2 s m 5 0 . v 。 S2 处的流速为0.5ms -1 。 2-3 水在截面积不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为最细处的 3 倍。若出 口处的流速为2ms -1 ，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一个小孔，水会不会流出 A B C D E 2 来? 解: 已知 细 出 S 3 S ， -1 s 2m 出 v ，根据连续性方程 细 细 出 出 v v S S 得 -1 s 6m 2 3 3 出 细 v v 又已知 2 1 h h , Pa 10 1.013 5 0 p p 出 ，由伯努利方程得 2 2 0 2 1 2 1 细 细 出 v v p p 2 2 0 6 1000 2 1 2 1000 2 1 细 p p Pa 10 0.853 16000 - 10 013 1 5 5 . p 细 因为 0 p p 细 ，所以若在最细处开一小孔，水不会流出。 2-4 水在一水平管中流动，A 点的流速为 1.0ms -1 ，B 点的流速为 2.0ms -1 ，求这两 点的压强差。 解: 已知 -1 A s 1.0m v ， -1 B s 2.0m v ， B A h h ，则伯努利方程为： 2 B B 2 A A 2 1 2 1 v v p p Pa 1500 0 1 0 2 1000 2 1 2 1 2 2 2 A 2 B B A ) . . ( ) ( p p v v AB 这两点的压强差为 1500Pa。 2-5 在一水管的某一点，水的流速为 2.0ms -1 ，计示压强为 10 4 Pa。设水管的另一 点高度比第一点降低了 1.0m，如果第二点处的横截面积是第一点的 1/2，求第二点的计示压 强。 解: 已知 -1 1 s .0m 2 v ， )Pa 10 4 0 0 1 p ( p p p 计示 ， 0 . 1 1 h ， 1 1 2 05 2 S S S ， 0 2 h ， 根据连续性方程 2 2 1 1 v v S S 得 1 1 1 2 1 1 2 s m 0 4 5 0 0 2 . S . . S S S v v 由伯努利方程得 习题2-5 附图 ) h h ( g ) ( p p p p p 2 1 2 2 2 1 1 0 2 0 2 2 1 v v 计示 计示 ) ( ) ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 h h g p p v v 计示 计示 1 v 2, P 2 1m 2 v 1, P 1 3 Pa 10 38 1 0 0 1 8 9 1000 0 4 0 2 1000 2 1 10 4 2 2 4 . ) . ( . ) . . ( 第二点的计示压强是 1.3810 4 Pa。 2-6 一粗细不均匀的水平圆管，粗处的半径为 5.0cm，流速为 1.0ms - 1 ，细处的半径 为粗处的 1/3，求细管处的流速和管的流量。 解: 已知 2 -4 2 2 2 m 10 25 cm 5.0 粗 粗 r S ， -1 s 1.0m 粗 v ， 2 4 - 2 2 2 m 10 8 2 cm 5.0) 3 1 3 1 . ( r ） （ 粗 细 S 。 根据连续性方程 细 细 出 出 v v S S ，得： 1 - s 9.0m 1.0 9 细 粗 粗 细 S S v v , 1 3 -3 -4 s m 1.0 7.85 1.0 1.0 25 粗 粗 v S Q 细管处的流速为 9ms -1 ，流量为 7.8510 -3 m 3 s -1 。 2-7 一流量为3000cm 3 s -1 的排水管水平放置，在截面积为 40cm 2 和 10cm 2 两处接 一 U 形管，内装水银，求：粗细两处的流速；粗细两处的压强差；U 形管中水银柱的高度差。 解: 已知 1 3 3 6 s m 10 0 3 10 3000 . Q ， 2 4 m 10 40 1 S ， 2 4 m 10 10 2 S 。 根据连续性方程： Q S 2 2 1 1 v v S 1 4 6 1 s m 75 0 10 40 10 3000 . S Q 1 v 1 4 6 2 s m 0 3 10 10 10 3000 . S Q 2 v 粗细两处的流速分别为 1 s m 75 0 . , 1 s m 0 3 . 已知 2 h 1 h ，伯努利方程为： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 v v p p , 习题2-7 附图 Pa 10 22 4 75 0 0 3 1000 2 1 2 1 2 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 . ) . . ( p p v v 粗细两处的压强差 Pa 10 22 4 3 . p1 -p2 0，说明粗处压强高于细处的压强。 如果忽略水银上方水柱的压强，则 U 形管中水银柱的高度差: 0.0317m 9.8 10 13.6 10 4.22 3 3 2 1 g p p h 水银 h S 1 =40 S 2 =10 4 如果考虑水银上方水柱的压强，则 U 形管中水银柱的高度差: m 0342 0 9.8 10 1) - (13.6 10 4.22 3 3 2 1 . g ) ( p p h 水 水银 2-8 如附图所示将两管插入流水中测水流速度， 设两管中的水柱高度分别为 5.010 -3 m和 5.410 -2 m，求水流速度。 解: 已知 m 10 0 5 3 . A h ， m 10 4 5 2 . B h ， v v A ， 0 B v , 由伯努利方程得： 习题 2-8 附图 ) h - 2g(h v A B 1 s m 98 0 . -2 10 0.5) - (5.4 9.8 2 2-9 有一截面为 5.0cm 2 的虹吸管把截面极大的容器中的水吸出， 虹吸管最高点 B比容 器液面 A 高 1.2m，出水口 D 比容器液面 A 低 0.6m，求在稳定流动的条件下，虹吸管的流量 和管内最高点 B 的压强。 解: 以D为参考面，则 6 0 A . h m， 0 D h , 0 A p p D p ， 2 4 m 10 0 5 . S 因 SAS，有 vA0，A与 D 的伯努利方程为 2 D A 2 1 v gh -1 A D s m 3.43 0.6 9.8 2 2gh v 虹吸管的流量为 1 3 -3 -4 D s m 1.0 72 1 .43 3 10 5 . S Q v 容器液面 A 与最高点B的伯努利方程： 习题 2-9附图 B 2 B B A 2 A A 2 1 2 1 gh p gh p v v 以液面A为参考面， 则 0 A h ， SAS， 有vA0， Pa 10 013 1 5 0 A . p p ， m 2 1 B . h ， 1 D B s m 43 3 . v v ，则上式简化得最高点 B 的压强为 B 2 B 0 B 2 1 gh p p v Pa 10 37 8 2 1 8 9 1000 43 3 1000 2 1 10 013 1 4 2 5 . . . . . B A h A h B v 5 2-10 在一粗细均匀的水平管上等距离地任选三点，竖直接上三个支管，分析下述情况三 竖直支管中的液面高度: 理想液体在管中流动; 实际液体在管中流动; 液体在管中 不流动。 解: 理想液体在管中流动时， 由于该管粗细均匀且水平放置， 故三处的高度 3 2 1 h h h ， 流速 3 2 1 v v v 。由伯努利方程可知，这三处的压强都相等，即 3 2 1 p p p ，故这三竖 直支管中的液面高度相同。 实际液体在管中流动时，由于液体的粘滞性作用，使得液体在流动的过程中，需要克 服内摩擦力作功消耗能量，故这三竖直支管的液面高度将依水流的方向，以相同的高差依次 降低，竖直支管的液面高度和出水口连成一条斜线。 如果液体在管中不流动， 0 3 2 1 v v v ，且 3 2 1 h h h ，则根据伯努利方程可知， 三处的压强相等， gh p p 3 2 1 p ，这三支竖直管的液面高度将保持一致，只是高度比 流动时大 2g v 2 h 。 2-11 设橄榄油的粘滞系数为 1.8P，流过长度为 50cm，半径为 1.0cm 的管子，管两端 的压强差为 100mmHg，求其流量。 解: 已知 s Pa 18 0 . ， m 5 0. L ， m 01 0. r ， Pa 10 3 13 mmHg 100 3 . p 。 根据泊肃叶公式得流量 1 3 4 3 4 2 s m 10 8 5 5 0 18 0 8 10 3 13 10 14 3 . . . . ) ( . p Q L 8 r 4 2-12 狗的一根大动脉，内半径为 4mm，长度为10cm，血流粘度为 2.08410 -3 Pas， 流过这段血管的血液流量为 1.0cm 3 s -1 。求: 血流的平均速度和最大速度; 这段动脉 管的流阻; 这段血管的血压降落。 解: 已知 m 10 4 3 r ， 1 3 6 s m 10 0 1 . Q ， s Pa 10 084 2 3 . ， 0.10m L 由 v S Q 可得血流的平均速度为 1 2 2 3 6 2 s m 10 0 2 10 4 14 3 10 0 1 . ) ( . . r Q S Q v 1 2 2 3 6 2 s m 10 0 2 10 4 14 3 10 0 1 . ) ( . . r Q S Q v 最大速度为 1 2 2 s m 10 0 4 10 2 . 2.0 2 v v max 6 由流阻公式得这段动脉管的流阻为 5 6 4 3 3 m s N 10 07 2 10 4 14 3 10 0 10 084 2 8 . ) ( . . . R 4 r L 8 由泊肃叶公式 R P Q ，可得这段血管的血压降落为 0.0155mmHg Pa 07 2 10 07 2 10 1 6 6 . . QR p 可见，这段大动脉的血压降落是很小的。 2-13 一条半径为 3mm 的分支动脉被一硬斑阻塞，使之有效半径变为 2mm，且该处的 平均血流速度为 50cms -1 。求: 未变窄处血流的最大速度; 变窄处会不会发生湍流; 变窄处的血流动压强（设血液的=3.010 -3 Pas，密度=1.059gcm -3 ） 。 解: 已知 m 10 3 3 1 r ， m 10 2 3 2 r ， 1 s m 5 0 . 2 v 。 根据连续性方程 2 1 1 v v S 2 S ,得 1 2 3 2 3 1 2 s m 22 0 10 3 5 0 10 2 . ) ( . ) ( S S 2 1 v v 则未变窄处血流的最大速度为 1 s m 44 0 22 0 2 . . 2 v v 1 max 已知 3 3 m kg 10 059 1 . ， s Pa 10 0 3 3 . , 则变窄处的雷诺数 Re 为 353 10 0 . 3 10 2 5 . 0 1059 3 3 r v R e 因为Re1000，所以变窄处不会发生湍流。 狭窄处血流动压强为 1mmHg 132.4Pa 2 5 0 1059 2 1 2 2 2 . v p 动 2-14 皮下注射时，若针头内径减小一半，则手指的推力需要增大到原来的多少倍才能 取得注射相同流量的效果？ 解: 泊肃叶公式: 4 4 8 8 r L R , L p r R P Q 已知 2 1 2 r r ， 1 2 Q Q ,， S p F ， 1 2 S S ， 则 1 4 2 2 R R ， 1 4 2 2 p p ， 1 1 4 2 16 2 F F F 即手指的推力需要增大到原来的 16倍才能取得注射相同流量的效果。 7 2-15 粘度为 1.00510 -3 Pas 的水，在半径为 1.0cm，长度为 2m 的管中流动，如 果管轴中心处的流速为 10cms -1 ，求该管两端的压强差及管的流阻。 解: 已知 s Pa 10 005 1 3 . ， m 01 0. r ， m 2 L ， 1 max s m 1 0 . v 。 由 2 max 2 v v r S Q 和泊肃叶公式 L p r Q 8 4 可得 2 max 2 v r L p r 8 4 则该管两端的压强差为： 0.06mmHg Pa 04 8 01 0 1 0 2 10 005 1 4 4 2 3 2 max . . . . r L p v 流阻为： 5 5 4 3 m s N 10 12 5 01 0 14 3 2 10 005 1 8 . . . . R 4 r L 8 2-16 假设排尿时，尿从压强为 40mmHg 的膀胱经过尿道后，由尿道口排出，已知尿道 长为 4cm，体积流量为 21cm 3 s -1 ，尿的粘滞系数为 6.910 -4 Pas，求尿道的有效半 径。 解: 已知 5331.2Pa 40mmHg - 1 0 1 0 2 1 计示 计示 ） p p p p ( p p p ， m 10 4 2 L ， 1 3 6 s m 10 21 Q ， s Pa 10 9 6 4 . ， 由泊肃叶公式 L p r Q 8 4 可得 2 5331 14 3 10 21 10 4 10 9 6 8 8 6 2 4 4 . . . p LQ r 0.73mm m 10 73 0 3 . r 尿道的有效半径为 0.73mm。 2-17 设血液的粘度为同温度下水的 5 倍（37） ，如以 72cms -1 的平均流速通过主 动脉产生了湍流，设此时的雷诺数为 1000，求该主动脉的横截面积（37水的粘度 s Pa 10 69 0 3 . ， 3 m kg 1050 ） 。 解: 已知 1 s m 72 0 . v , 1000 e R , s Pa 10 45 3 10 69 0 5 3 3 . . 3 3 m kg 10 050 1 . ，则由雷诺数公式 r v R e 得 8 4.56mm m 10 56 4 72 0 10 050 1 1000 10 45 3 3 3 3 . . . . r v R e 该主动脉的横截面积为 2 2 2 2 0.65cm 65.29mm 56 4 14 3 . . r S 2-18 设某人在体循环中的血流量为 83mLs -1 ，体循环的平均血压为 90mmHg，求此人体 循环总的流阻。 解: 已知 1 3 6 s m 10 83 CO ， 133.28Pa 90 0mmHg 9 A p ， 由总外周阻力公式可得此人体循环总的流阻为 5 8 6 A m s N 10 45 1 10 83 28 133 90 . . CO p TPR 注：如果以临床上常用的单位表示，则为 1446 dynscm -5 。 2-19 设某高血压患者的收缩压为 180mmHg，舒张压为 105mmHg，心脏每分输出的血量 为5.1Lmin -1 。求: 平均血压和脉压; 体循环总外周阻力（单位为 dyn.scm -5 ） 。 解: 已知 0mmHg 18 s p ， 05mmHg 1 d p ，则其平均血压为 mmHg 130 105 3 2 180 3 1 3 2 3 1 d s A p p p 脉压为 75mmHg mmHg 75 105 180 d s p p 已知 1 min L 1 5 . CO ，则总外周阻力为 5 A cm s dyn 2039 1 5 130 80 80 . CO p TPR 2-20 某人站立时，身高为 165cm，心脏部位的血压为 95mmHg，高度为120cm，血液的 密度=1.059gcm -3，其头部与脚部两处的平均血压差是多少 mmHg。 解: 已知 Pa 08 133 1mmHg . , 血液的密度 3 3 m kg 10 059 1 . ，以脚部为参考面，其 高度 0 F h ，心脏部位的高度为 m 2 1 H . h ，脑部的高度为 m 65 1 B . h ，心脏部位的 血压 12.64kPa 95mmHg H p ，若忽略三处动脉血流速度的差异, 则由伯努利方程 可得:头部与脚部两处的平均血压差: 129mmHg 17.12kPa 65 1 8 9 10 059 1 3 B . . . gh p 2-21 某人的收缩压为 115mmHg，舒张压为 80mnHg，主动脉平均血流速度为 40cms -1 ， 心脏每分输出的血量为 5.5Lmin -1 ，求: 心脏在 24 小时内所作的功; 体循环总外周 阻力为多少 Nsm -5 ?（血液密度 3 m 1.059g ） 9 解: 已知 15.29kPa 5mmHg 11 s p ， 10.64kPa 80mmHg d p ， 1 A s 0.4m v ， 1 3 3 min m 10 5 5 . CO ，平均血压为 Pa 10 2 12 10 64 10 3 2 10 29 15 3 1 3 2 3 1 3 3 3 d s A . . . p p p 心脏对1m 3 血液所作的功 W 为 3 4 2 3 2 A A m J 10 44 1 04 1000 2 1 10 2 12 6 7 2 1 6 7 . . p W v , 心脏每分钟所作的功为 1.4410 4 5.510 -3 J，故24 小时内作的总功为 J 10 44 1 10 5 5 10 44 1 60 24 5 3 4 . . . W 体循环总外周阻力 TPR 为 5 8 3 3 A m s N 10 3 3 1 60 10 5 5 10 2 12 . . . CO p TPR 2-22 某液体中有一直径为 4m 的小颗粒，它的密度为 1.09gcm -3 ，设该液体密度为 1.04gcm -3 ，粘度为 1.210 -3 Pas，试求: 小颗粒在重力作用下在液体中沉降 1.0cm 所需的时间; 如果用加速度为 10 5 g的超高速度离心机，问沉淀同样的距离所需的时间又 是多少? 解: 已知 m 10 2 10 4 2 1 6 6 r ， 3 3 m kg 10 09 1 . , 3 3 m kg 10 04 1 . , s Pa 10 2 1 3 . ，小颗粒沉降速度为 g r ) ( 9 2 2 T v 8 . 9 ) 10 04 . 1 10 09 . 1 ( 10 2 . 1 9 ) 10 2 ( 2 3 3 3 2 6 1 7 s m 10 63 3 . 1 4 s mm 0 1 63 3 . 这时沉降 1.0cm 所需的时间为 7.8h s 10 2.8 10 3.63 0.01 4 7 - v l t 将 g r ) ( 9 2 2 T v 中的g用10 5 g 代替，得: 1 2 5 7 s m 10 63 3 10 10 63 3 . . T v 10 8s 2 0 10 3.63 0.01 2 - . l t v 沉淀同样的距离所需的时间为 0.28s. 2-23 液体中一空气泡，直径为 1mm，液体的粘度为 0.15Pas，密度为 900kgm -3 ， 问此空气泡在液体中匀速上升的速度为多少?（设空气的密度为 1.3kgm -3 ） 解: 已知 m 10 5 10 1 2 1 4 3 r ， 3 m kg 900 ， s .15Pa 0 ， 3 m 1.3kg ，这时也可借助沉降公式计算气泡在液体中匀速上升的速度，即 g r ) ( 9 2 2 T v 8 . 9 ) 900 3 . 1 ( 15 . 0 9 ) 10 5 ( 2 2 4 1 3 s m 0 1 26 3 . 1 s 3.26mm 式中负号表示气泡运动不是下沉，而是上升。