医用物理学第08章课后习题解答.pdf

第八章 振动和 波 通过复习 后 ，应该: 1.掌握 简谐振 动方程、 波 的产生和 传 播、波动 方 程、波的 能 量和强度 、 波的干涉; 2.理解 简谐振 动的能量 、 简谐振动 的 合成、惠 更 斯原理、 波 的衰减; 3.了解 衰减振 动、受迫 振 动、共振 、 复杂振动 的 分解、驻 波 。 8-1 试解释下列名词: 简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波 阵面、波的强度。 答: 简谐振动: 质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与 离开平衡位 置的位移成 正比，且方 向相反。 振幅: 振动物 体离开平衡 位置的最大 距离称为 振幅。 频谱分析: 将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。 基频: 一个 复杂的振动 可以分解为 若干个频率 不同的简谐 振动之和， 这些分振动 频率中最 低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。 频谱图: 将 组成一个复 杂振动的各 分振动的频 率和振幅找 出来，按振 幅与频率关 系列出谱 线，这种图称为频谱图。 波动: 振动 在介质中的 传播现象叫 波动，它也 是一种重要 的能量传播 过程。其中 简谐振动 在介质中传播所形成的波叫简谐波。 横波: 波在 介质中传播 时，如果介 质中各质点 振动的方向 与波的传播 方向垂直， 则该波叫 做横波。 纵波: 如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。 波阵面: 在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。 波的强度: 单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。 8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向: 平衡位置，向正方向运动; 平衡位置，向负方向运动; 正方向的端点; 负方向的端点。 解: 设该质点的振动方程为: ) cos( t A x 将它对时间 t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度 v 和 加速度 a 的 表达式: ) 2 cos( ) sin( t A t A dt dx v ) cos( ) cos( 2 2 2 2 t A t A dt x d a 由此可以 看 出，速度 的 相位超前 位 移 2 ，加速 度 与位移的 相 位相反。 下 面根据上 面 三式 来 回答本题中的四个问题。 质点在平衡位置，向正方向运动时: x=0 ， v=A ， a =0 质点在平衡位置，向负方向运动时: x=0 ， v=-A ， a =0 质点在正方向的端点时: x=A ， v=0 ， a=-A 2 质点在负方向的端点时: x=-A ， v=0 ， a=A 2 8-3 一个作简 谐振动的质点，在 t=0 时 ，离开平衡位置 6cm 处 ，速度为零，振动周期为 2s ， 求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。 解: 根据题意，t=0 时， 质 点速度为零， 离开平衡位置 6cm ， 这说明该振动的振幅为 A=6cm ， 这时质点可能位于平衡点右侧 6cm 处，或位于平衡点左侧 6cm 处。下面 分这两种情况进行 讨论，设该振动方程为: ) cos( t A x （a ） 第一种情况: 位于平衡点右侧 6cm 处，这时位移 x=6cm ，将 t=0 ，A=6cm ，x=6cm 代 入（a ）式得 cos 6 6 6 解之得， =0。已 知 T=2 秒， 则 2 2 ，将 A 、 、 值代 入 （a ） 式可 得第一种情况 的位移表达式为 t x cos 6 （cm ） （b ） 再将（b ）式 对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第一种情况的速度、加速度表达式 t dt dx v sin 6 （cm s -1 ） t dt x d a cos 6 2 2 2 （cm s -2 ） 第二种情况: 位于平衡点左侧 6cm 处， 这时位移 x=-6cm，将 t=0 ， A=6cm ， x=-6cm 代入 （a ） 式得 -6=6cos 解之得， = 。已知 = ，= ，A=6cm ，代 入（a ）式可得第二种情况的位移表达式 t t x cos 6 ) cos( 6 （c ） 再将（c ）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第二种情况的速度、加速度表达式 t dt dx v sin 6 （cm s -1 ） t dt x d a cos 6 2 2 2 （cm s -2 ） 8-4 两个物体 作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，分别是 0.1m 和 2s ，当 t=0 时，一 物体的位移为 0.1m ，另 一物体的位移为-0.1m ， 问两者的相位差是多少? 当 t=1s 时， 它们的 位移各是多少? 解: 已知 A=0.1m ，T=2s ，则 =2 T= rad s -1 ，设它们的振动方程分别为 ) cos( 1 1 t A x （a ） ) cos( 2 2 t A x （b ） 已知 t=0 时，x 1 =0.1m ，x 2 =-0.1m ，则 由（a ）式和（b ）式可得 x 1 =0.1cos 1 =0.1 x 2 =0.1cos 2 =-0.1 分别解上面两式得 1 =0 ， 2 = ， 因此两者的相位差 2 - 1 = 。两振 动的方程分别为 x 1 =0.1cos （ t ） （c ） x 2 =0.1cos （ t+ ） （d ） 当 t=1s ， 由上面的（c ）式和（d ） 式可得到它们的位移分别为 x 1 =0.1cos （ +0 ）m=-0.1m x 2 =0.1cos （ + ）m=0.1m 8-5 两个同频 率、同方向的简谐振动，周期为 20ms ，振幅分 别为 1.0cm 和 3.0cm ，求: 两 者合振动的圆频率; 当两者的相位差分别为 0 、3 、2 、 时，合振动的振幅各是多少? 解: 由于是两个同频率、同方向的振动合成，所以合振动的频率不变，即其圆频率为 02 . 0 14 . 3 2 2 2 1 T rads -1 =100 rad s -1 314rad s -1 已知分振动的振幅 A 1 =1.0cm ，A 2 =3.0cm ，合 振动的振幅 A 与两个分振动的振幅 A 1 、 A 2 及相位差 1 - 2 有以 下关系: ) cos( 2 2 1 2 1 2 2 2 1 A A A A A 当相位差 2 - 1 =0 时， 两个分振动同相位，合振动的振幅为 A=A 1 +A 2 = （1.0+3.0 ）cm=4.0cm 当相位差 3 1 2 时，合振动的振幅为 ) 3 cos( 3 1 2 3 1 2 2 A cm= 13 cm 3.6cm 当相位差 2 - 1 = 2 时，合振动的振幅为 ) 2 cos( 3 1 2 3 1 2 2 A cm= 10 cm 3.2cm 当相位差 2 - 1 = 时， 两个分振动相位相反，合振动的振幅为 A=|A 1 -A 2 |=|1.0-3.0|cm=2.0cm 8-6 有三个同 方向的简谐振动，它们的频率分别为 100Hz 、200Hz 、300Hz ，问: 三者合成 后是否仍为简谐振动? 合振动的周期是多少? 解: 由于分振动的频率不同， 所以它 们合成后将不是简谐振动。 合振动 的频率为 100Hz ， 周期 T= 100 1 s=0.01s 。 8-7 弹簧振子 作简谐振动时， 若其振幅增为原来的两倍， 而频率降为原来的一半， 它们的能 量怎样改变? 答: 弹簧振子 作简谐振动时， 其能量为 2 2 2 1 A m E ， 若其振幅 A 增为原 来的两倍， 而 频 率降为原来的一半，结果能量没有改变。 8-8 什么叫阻 尼振动、 受迫振动、 共振? 在受迫振 动中振子受到哪三个力的作用? 受迫 振动达 到稳定时有什么特点? 答: 在振动 中， 由于各种因素的影响， 能量会减少， 振幅也随之减小， 这种振幅随时 间而减小的振动，称为阻尼振动。 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动， 叫做受迫振动。 在受迫振动中， 振子同 时受到三个 力的作用: 弹 性力、阻尼 力、周期性 外力。受迫 振动达到稳 定状态时， 振幅保持 一定， 如果外力是按简谐运动规律变化， 则稳定后的受迫振动也是简谐振动， 且振动频率等 于外力变化的频率。 在受迫振动中， 当周期性外力的频率接近系统的固有频率时， 振动的振幅急剧增大， 这种 现象叫做共振。 8-9 要产生机械波必须 具备哪两个 条件? 当波动在通过不同 介质时，它 的波长、频 率、速 度 中哪些会发生变化? 哪些 不会改变? 答: 要产生 机 械 波必须 具 备 两个条 件:第一， 要有作机 械 振动的物 体 ，即波源; 第 二，要 有 能够传播这种机械振动的弹性介质。 当波动通过不同的介质时，波长和波速会发生变化，而频率不会改变。 8-10 已知波 动方程式 y=Msin （bt-ax ） ，试求该波的振幅、波速、频率和波长。 解: 先将题目给的波动方程进行变换: 2 ) ( cos ) ( sin ) sin( b ax t b M b ax t b M ax bt M y （a ） 而波动方程的通用形式为 ) ( cos c x t A y （b ） 将（a ）式和（b ）式比较 可得 振幅: A=M 波速: a b u 频率: 2 b f 波长: a 2 。 8-11 有一沿 X 轴正方向 传播的简谐波，在原点处质点的振动方程为 t T A y 2 cos ，已知 A=0.02m ，T=3s，波 速 u=2m s -1 。求: 波动方程; 在 X 轴正方向离原点 5m 处质点的 振 动方程; 当 t=2.5s 时，原 点处质点的位移; 当 t=2.5s 时，在 X 轴正方向离原点 5m 处质 点 的位移。 解: 已知 A=0.02m ，T=3s ，则=2 T=2 3 ，根 据题意，可得原点的振动方程为 t t T A y 3 2 cos 02 . 0 2 cos 已知波速 c=2m s -1 ，由上式可进一步得到波动方程为 ) 2 ( 3 2 cos 02 . 0 x t y （1 ） 已知 x=5m ，可得在 X 轴正方向离原点 5m 处质 点的振动方程为 ) 3 5 3 2 cos( 02 . 0 ) 2 5 ( 3 2 cos 02 . 0 t t y ) 3 3 2 cos( 02 . 0 t 已知在（1 ）式中，t=2.5s ，x=0 ，则 有 ) 3 2 cos( 02 . 0 3 5 cos 02 . 0 y m =0.01m 已知在（1 ）式中，t=2.5s ，x=5m ，有 ) 2 5 5 . 2 ( 3 2 cos 02 . 0 y m =0.02m 8-12 在空气 中 P 点声波的强度为 2.0 10 5 W m -2 ，振动 幅度为 2mm ，空气的密度 为 1.29kg m -3 ，波速为 344m s -1 。求: 声波的波长; P 点的平均能量密度。 解: 求波长: 已知 I=2.0 10 5 W m -2 ，A=2mm=2 10 -3 m ，=1.29kg m -3 ，由声波强 度公式 2 2 2 1 A u I ，可得角频率 2 3 5 2 ) 10 2 ( 344 29 . 1 10 0 . 2 2 2 uA I rad s -1 =1.510 4 rads -1 由 =2 f，可 得 f= /2 =1.5 10 4 /6.28=2.39 10 3 Hz 。由 u=f ，可得声波的波长为 3 10 39 . 2 344 f u m 0.144m 求 P 点平均能量密度: 比较平均能量密度公式 2 2 2 1 A w 和波的强度公式 2 2 2 1 A u I ，可得 P 点 的平均能量密度 w 为 344 10 0 . 2 5 u I w J m -3 581J m -3 8-13 一物体 作周期为 0.005s 的谐振动 ， 振幅为 0.2cm ， 该振动在 空气中形成以 332m s -1 速 度传播的平面波 （设波在传播中无衰减） ， 空气 的密度为 1.29kg m -3 。 求该平面波的波 动方程; 该波的强度。 解: 波动方程: 已知 005 . 0 2 2 T =400 rad s -1 ， A=0.2cm=2 10 -3 m ， c=332m s -1 ， 则该平面波的波动方程为 ) 332 ( 400 cos 10 2 ) ( cos 3 x t u x t A y 波的强度: 又知 =1.29kg m -3 ，将、A 、u 、 值代入波的强度公式得 2 2 2 1 A u I =12 1.29 332 （400） 2 （2 10 -3 ） 2 W m -2 1351W m -2 8-14 已知波 源 O 的振动方程为 t y 9 cos 06 . 0 （单位为 m ） ，以 2m s -1 的无衰减地向 x 轴正方向传播。求: x=10m 处的振动 方程; 10m 处质点与波源 O 的振动相位差。 解: 已知波源 O 的振动方程为 t y 9 cos 06 . 0 ，则其振幅为 A=0.06m ，角频 率 9 ， 又知 u=2m s -1 ，则该波 的波动方程为 ) 2 ( 9 cos 06 . 0 x t s 由它可得 x=10m 处的质点 振动方程为 ) 5 ( 9 cos 06 . 0 t y ） 由上式和波源的振动方程可得波源 O 与 x=10m 处质点的 相位差为 9 5 ) 5 ( 9 9 t t 8-15 设某列 波的波动方程为 ) 100 ( 10 sin 10 x t y cm ，求 在波线上 x 等于一个波长处的 质点位移方程。 解: 由本题的波动方程可知 =10 ，f=5Hz ，u=100cm s -1 ，由 u=f 可得 波长为 5 100 f u cm=20cm 在 x= =20cm 处的质点 位移方程为 ) 2 10 sin( 10 ) 5 1 ( 10 sin 10 t t y =10sin10 t （cm ） 8-16 什么叫 波的干涉、 相干波? 初相 位相同的两列相干波发生干涉时， 合振动的振幅什么时 候最大? 什么 时候最小? 答: 当频率 相同、 振动方向相同、 相位相同或相位差恒定的两列波在空间相遇时， 使得某 些点的振动始终加强， 而另一些点的振动始终减弱或完全抵消， 这种现象叫做波的干涉。 能 产生干涉现象的两列波叫做相干波。 初相位相同的两列相干波发生干涉时， 如果两波的波程差等于半波长的偶数倍 （或波长的 整数倍） ，则 合振动的振幅最大; 如果波程差等于半波长的奇数倍，则合振动的振幅最小。 8-17 O 1 和 O 2 是两个同 方向、 同频率、 同相位、 同振幅的波源所在处， 设它们在介质中产 生的波列的波长为 ，O 1 、O 2 之间 的距离为 1.5 ，P 是 O 1 、O 2 连线 上 O 2 点外侧的任 意点。求: O 1 、O 2 两 点发出的波到达 P 点时的相位差; P 点的振幅。 解: 习题 8-17 附图 已知，A 1 =A 2 =A ， 1 = 2 = ， 1 = 2 = ，设 P 点到 O 2 的距离为 x，那 么 O 1 到 P 点的 距离为 x+1.5 ，则两列波的波动方程分别为 ) 5 . 1 ( cos 1 u x t A y ) ( cos 2 u x t A y 由上面两式可得两列波的相位差 为 ) 5 . 1 ( ) ( u x t u x f f u 2 5 . 1 5 . 1 =3 P 点的振幅; 由于两波满足相干波的条件， 而在 P 点的相位差=3 ， 且 两者的振幅相同， 所以在 P 点合振动的振幅等于零。 8-18 同一种 介质中有两个相干波源，在它们联线的垂直平分线上各点，两波叠加后的合 振 动是否一定加强? 为什么? 习题 8-18 附图 解: 设两个相干波的波动方程分别为 ) ( cos 1 1 1 1 u x t A y 2 2 2 2 ) ( cos u x t A y 式中 1 、 2 分别为两波的初相位。 由于叠加点在两波源联线的垂直平分线上， 即 x 1 =x 2 ， 两波的相位差 为 ) ( ) ( 1 1 2 2 u x u x 1 2 1.5 x P O 1 X O 2 O O P x 1 x 2 O 可见， 两波在垂直平分线上的合振动不一定是加强的， 合振动是加强还是减弱， 与两相干波 的初相位差 2 - 1 有关。 例如， 当 2 - 1 =0 时， 两 波在垂直平分线上的合振动是加强的， 且 合振幅最大; 而当 2 - 1 = 时，两波在垂直平分线上的合振动是减弱的，其合振幅最小。