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ftp服务器地址 1 ftp:/10.108.142.57 用户名和密码均为： sjxhfx 包括每次课的 课件 和 部分习题解答 2.14 2 广义平稳随机过程 的自相关矩阵如下，试确定矩阵中用 表示的元素。 ()Yt 解： 2 1 .3 0 .4 2 1 .2 0 .8 0 .4 1 .2 1 .1 0 .9 2 YR 由自相关函数的性质 1 2 2 1( , ) ( , )YYR t t R t t 2 1 . 3 0 . 4 2 1 . 2 0 . 8 0 . 4 1 . 2 0 . 9 1 . 3 0 . 8 1 . 1 1 . 1 0 . 9 2 YR 由 广 义 平 稳 的 性 质 为常数 2(0 ) ( ) YR E Y t 2 1 . 3 0 . 4 0 . 9 1 . 3 2 1 . 2 0 . 8 0 . 4 1 . 2 1 . 1 0 . 9 0 . 8 1 . 1 2 2 YR 2.15 3 根据掷骰子试验，定义随机过程为 ( ) c o s ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )3KX t t K (1)求 、 的概率密度； (1)X (2)X (2) 是否为平稳随机过程？ ()Xt 解： 1 / 2 , 1 , 5 1 / 2 , 2 , 4 ( 1 ) c o s 1 , 33 1 , 6 K KK X K K 1 1 1 1 ( , 1 ) ( ) ( ) 3 2 3 2 11 ( 1 ) ( 1 ) 66 f x x x xx 1 / 2 , 1 , 2 , 4 , 52( 2 ) c o s 1 , 3 , 63 KKX K 2 1 1( , 2 ) ( ) ( 1 ) 3 2 3f x x x 不满足严格平稳。 思考：是否满足广义平稳？ 2.17 4 随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生： 1 2 3( , ) 1 , ( , ) s i n , ( , ) c o sX t e X t e t X t e t (1)计算均值 和自相关函数 ； (2)该过程是否为平稳随机过程？ ()Xmt 12( , )XR t t 解： 1 2 3 1 1 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) 3 3 3Xm t X t e X t e X t e 1 (1 sin c o s ) 3 tt 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) XR t t E X t X t 1 2 1 2 1 ( 1 1 sin sin c o s c o s ) 3 t t t t 12 1 1 c o s( ) 3 tt 不满足广义平稳。 设随机过程 ，其中 是具有瑞利分布的 随机变量，其概率密度为 2.18 5 ( ) c o s ( )X t A t A 2 22e x p ( 0 )() 2 0 ( 0 ) A aa a fa a 是在 中均匀分布的随机变量，且与 统计独立， 为常量。试问 是否为平稳随机过程？ 0,2 A ()Xt解： ( ) ( ) c o s ( ) Xm t E X t E A t ( ) c o s ( ) E A E t 2 0 1( ) c o s ( ) 2E A t d ( ) 0 0EA 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) c o s ( ) c o s ( ) XR t t E X t X t E A t A t 22 1 2 1 2 11 c o s ( 2 ) c o s ( ) 22E A E t t E A E t t 22 12 11 0 c o s ( ) 22E A E A t t 2 12 1 c o s ( ) 2 E A t t 2.19 设 为一平稳随机过程 ， 若对应于某一个 ， 的 自相关函数 满足 ， 证明 必为以 为周期的周期函数 。 ()Xt 0T ()Xt ()XR ( ) ( 0 )XXR T R ()XR T 证明： 两个随机变量 和 的相关系数为 ()X t T ()Xt ( ) ( ) 22 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 1 X t T X t X X X X XX E X t T X t E X t T E X t r D X t T D X t R T m R m 由相关系数的性质得 ， 存在常数 和 ， 使得 a b ( ) ( )X t T a X t b 6 2.19 对上式两边取均值 ， 得 XXm a m b 对上式两边取方差 ， 得 2 2 2XXa 得 1 0 a b 即 ( ) ( )X t T X t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () X X R T E X t T X t E X t X t R 7 2.20 8 若两个随机过程 、 均不是平稳随机过程，且 ， 。式中随机过程 、 是 相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数。证 明： 是广义平稳随机过程。 ()Xt ()Yt ( ) ( ) c o sX t A t t ( ) ( ) s inY t B t t ()At ()Bt ( ) ( ) ( )Z t X t Y t 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) c o s ( ) s i n Zm t E X t Y t E A t t B t t ( ) c o s ( ) s i nE A t t E B t t 0 c o s 0 s in 0tt 12( ) ( ) ( ) ZR t E Z t Z t 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) c o s ( ) s i n ( ) c o s ( ) s i n E A t t B t t A t t B t t 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) c o s c o s ( ) ( ) c o s s i n ( ) ( ) s i n c o s ( ) ( ) s i n s i n E A t A t t t E A t B t t t E B t A t t t E B t B t t t 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) c o s c o s ( , ) s i n s i nABR t t t t R t t t t 1 2 1 2( ) c o s c o s ( ) s i n s i nR t t R t t 12( ) c o s ( ) ( ) c o s ( )R t t R 1/ 0 (1 )d 2.22 9 已知平稳随机过程的相关函数 和 ， 。试求其相关时间 。 2()XRe 2( ) (1 )XR 1/ 0 解： (1) 2 lim ( )XXmR 2lim 0e 因此有 2 2 ()() XX X X Rmr 22(0 )X X XRm 2 e 0 0 ()Xr r d 0 ed 1 (2) 2 lim ( )XXmR 0 因此有 2 2 ()() XX X X Rmr 22(0 )X X XRm 2 1 , ( 1 / ) 0 0 ()Xr r d 1 2 2.27 证明严格循环平稳的定理 1： 设 是 严格循环平稳 的，而随机变量 在区间 上均匀分布，且 与 统计独立，定义新的随机过程 则 是 严格平稳 随机过程，其 维分布函数为 ( ) ( )X t X t ()Xt ( , )T0 ()Xt ()Xt N ( , , , , , ) ( , , , , , ) NNX T X N N F x x t t F x x t t d T 11 110 1 10 因此有 2.27 1 1 1 1| ( , , ; , , | ) ( ) , , ( ) |N N N NXF x x t t P X t x X t x 1 1 1 1|( , , ; , , ) ( , , ; , , | ) ( )N N N NXX F x x t t F x x t t fd 证明： 1 1 1 10 1( , , ; , , ) ( , , ; , , )T N N X N NXF x x t c t c F x x t c t c dT 11 1 ( , , ; , , )c Tc X N Nc F x x t t dT 令 11 11( ) , , ( )NNP X t x X t x 11( , , ; , , )X N NF x x t t 110 1 ( , , ; , , )T X N NF x x t t dT 1 1 1 10 1 ( , , ; , , ) ( , , ; , , )XFT T X N N N NXF x x t t d F x x t tT () 是 的 周 期 为 的 函 数 2.28 设 是 广义循环平稳 的，而随机变量 在区间 上 均匀分布，且 与 统计独立，定义新的随机过程 ( ) ( )X t X t 则 是 广义平稳 随机过程，且 ( ) ( ) 0 1 T XE X t m t d tT ( ) ( , )0 1 T XXR R t t d tT ()Xt ( , )T0 ()Xt ()Xt 证明广义循环平稳的定理 2： 12 2.28 证明： ( ) ( ) Xm t E X t 13 ( ) | XE E X t ( ) | XE E X t ( ) | XE m t 0 1 ()T Xm t dT 1 ()t t XtT mdT 令 = 0 1 ()T XmdT 利 用 周 期 性 质 ( , | )XR t t ( ) ( ) | E X t X t ( ) ( ) E X t X t ( , )XR t t ( , ) ( , | ) XXR t t E R t t 0 1 ( , | )T XR t t dT 0 1 ( , )T XR t t dT 1 ( , )t Tt Xt RdT = 0 1 ( , )T XRdT 利 用 周 期 性 质 常数 只与 有关
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