高二数学导数中的恒成立问题专题学案含答案.doc

既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 第 讲 导数中的恒成立问题 时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试1. 函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 .2.几种常见函数的导数= ； ； ； ； ； ； ； 3.导数的运算法则（1） . （2） . （3） .4.复合函数求导法则复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5.函数的极值 (1)极值定义：极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极 值； 极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极 值.(2)判别方法：如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极 值；如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极 值.三、 方法培养一、单参数放在不等式上型：【例题1】设函数若对所有都有，求的取值范围解：令，则，（1）若，当时，故在上为增函数，时，即（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习1】设函数，当时，求的取值范围解：【例题2】设函数在及时取得极值（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围解：（1），函数在及取得极值，则有，即，解得，（2）由（1）可知，当时，；当时，；当时，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为对于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范围为最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习2】已知函数在处取得极值，其中、为常数（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围解：【针对练习3】已知函数，其中若在区间上，恒成立，求的取值范围解：【例题3】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值解：（1）函数的定义域是，设则，令，则当时，在上为增函数，当时，在上为减函数在处取得极大值，而，函数在上为减函数于是当时，当时，当时，在上为增函数当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）不等式等价于不等式，由知，设，则由（1）知，即，于是在上为减函数故函数在上的最小值为a的最大值为小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数（非变量一方）；对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；写出变量的取值范围【针对练习4】已知，若，求的取值范围解：【针对练习5】若对所有的都有成立，求实数的取值范围解：二、单参数放在区间上型：【例题4】已知三次函数图象上点处的切线经过点，并且在处有极值（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围解：（1），于是过点处的切线为，又切线经过点，在处有极值，又，由解得：，（2），由得，当时，单调递增，；当时，单调递减，当时，在内不恒成立，当且仅当时，在内恒成立，的取值范围为【针对练习6】（07陕西文）已知在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又（1）求的解析式；（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围解：三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题5】已知函数，其中，（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围解：（1）当时，显然这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数（2）法一：化归为最值由（2）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对成立从而得，满足条件的的取值范围是法二：变量分离，即令，在上递减，最小值为，从而得，满足条件的的取值范围是或用，即，进一步分离变量得，利用导数可以得到在时取得最小值，从而得，满足条件的的取值范围是法三：变更主元在上恒成立，即，在递增，即的最大值为以下同上法说明：本题是在对于任意的，在上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立4、 强化练习（A）1、已知函数对任意恒成立，试求m的取值范围。五、训练辅导双参数中的范围均未知型：【例题7】（10湖南理）已知函数，对任意的，恒有（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值解：（1）易知由题设，对任意的，即恒成立，从而于是，且，因此故当时，有，即当时，（2）由（1）知，当时，有令，则，而函数的值域是因此，当时，的取值集合为当时，由（1）知，此时或，从而恒成立综上所述，的最小值为【针对练习8】若图象上斜率为3的两切线间的距离为，设（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围解：六、家庭作业布置： 家长签字：_ （请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）附件：堂堂清落地训练 （坚持堂堂清，学习很爽心） 1. 双参数中的绝对值存在型：1设是函数的一个极值点（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围解：（1），由，得，即得，则令，得或，由于是极值点，即当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数（2）由（1）知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，那么在区间上的值域是又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，由于，只须仅须且，解得故的取值范围是2已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，如果对任意，求的取值范围解：10摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。