资源描述
,知识点一等腰三角形,1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图5-3-1.,图5-3-1,2.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”),其所在的直线是等腰三角形的对称轴.(3)等腰三角形是以顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在直线为对称轴的轴对称图形,通常只有一条对称轴.注意:(1)“等边对等角”是在同一个三角形中,否则,不能使用该性质.(2)等腰三角形“三线合一”的应用非常广泛,它可以用来得到角相等、线段相等、垂直关系等.(3)等腰三角形的对称轴是直线.,3.等边三角形(1)等边三角形的概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形.(2)等边三角形的性质:等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60.,例1如图5-3-2所示,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC.(1)求ADB的度数;(2)若BAC=100,求B,C的度数;(3)若BC=3cm,求BD的长.图5-3-2,解析(1)因为AB=AC,AD平分BAC,所以ADBC,所以ADB=90.(2)因为BAC=100,所以B+C=80.因为AB=AC,所以C=B=40.(3)因为AB=AC,AD平分BAC,所以BD=BC=3=1.5(cm).,知识点二线段的垂直平分线,例2(2017安徽阜阳十九中期中)如图5-3-3,在ABC中,AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若DBC的周长为35cm,则BC的长为()图5-3-3A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cm,解析DE垂直平分AB,AD=BD.AC=20cm,AD+CD=20cm,BD+CD=20cm.DBC的周长为35cm,BD+CD+BC=35cm.BC=15cm.,答案C,知识点三角平分线1.角的对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用格式:如图5-3-4.OP平分AOB,PDOA,PEOB,PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等).,图5-3-4,例3如图5-3-5,已知ABC,求作一点P,使P到BAC的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是()图5-3-5A.P是BAC与ABC两角平分线的交点B.P为BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC、AB两边上的高的交点D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点,解析由P到BAC的两边的距离相等,知P在BAC的平分线上,由PA=PB确定点P在AB的垂直平分线上.故选B.,答案B,题型综合运用尺规作角的平分线和线段的垂直平分线例如图5-3-6所示,在公园草地上准备修建一个凉亭,要求凉亭与花坛M,N之间的距离相等,并且与两条小径AB,CD的距离也相等,请你来确定凉亭的位置.图5-3-6,分析凉亭到M,N的距离相等,则应在线段MN的垂直平分线上,到AB,CD的距离也相等,则应在AB,CD所成角的平分线上,两者的交点即为所求.,解析延长BA,DC交于点O,作BOD的平分线OQ.连接MN,作MN的垂直平分线交OQ于点P.如图5-3-7所示,点P即为所求.图5-3-7,点拨正确运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键.,易错点对“三线合一”的性质理解有误而出错例如图5-3-8所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=40,BDAC于点D,则CBD=.图5-3-8,错解35,错因分析本题错解的原因是认为等腰三角形底角的平分线、腰上的中线、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.,正解20,知识点一等腰三角形1.(2017山东烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图5-3-1所示,已知ABCD,AE与AB的夹角为48,若CF与EF的长度相等,则C的度数为(),图5-3-1A.48B.40C.30D.24,答案DABCD,DFE=BAF=48.CF=EF,C=E.C+E=DFE=48,C=24.,2.(2017浙江台州中考)如图5-3-2,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()图5-3-2A.AE=ECB.AE=BEC.EBC=BACD.EBC=ABE,答案CAB=AC,ABC=ACB,由题意可知BC=BE,ACB=BEC,BAC=EBC,故选C.,3.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100,则顶角的度数是.,答案100,解析10090,100的角是顶角,故答案为100.,4.(2017江西中考)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图5-3-3(2),其中OA=OB,若剪刀张开的角为30,则A=度.图5-3-3,答案75,解析由对顶角相等可得AOB=30,OA=OB,A=75.,5.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是AC、AB边上的高,求BFC的度数.图5-3-4,解析ABC是等边三角形,BE、CD分别是AC、AB边上的高,FBC=FCB=60=30,BFC=180-30-30=120.,知识点二线段的垂直平分线6.(2017湖北荆州中考)如图5-3-5,在ABC中,AB=AC,A=30,AB的垂直平分线l交AC于点D,则CBD的度数为()图5-3-5A.30B.45C.50D.75,答案BAB=AC,A=30,ABC=ACB=75,AB的垂直平分线交AC于D,AD=BD,A=ABD=30,BDC=60,CBD=180-75-60=45.故选B.,7.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至M,则BCM的度数为()图5-3-6A.40B.50C.60D.70,答案B由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线,C在l上,AC=BC,B=CAB=25,BCM=50,故选B.,8.(2017江苏常州中考)如图5-3-7,已知在ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则ABD的周长是.图5-3-7,答案15,解析DE是BC的垂直平分线,DB=DC,ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15,故答案为15.,知识点三角平分线9.(2017山东枣庄中考)如图5-3-8,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积是()图5-3-8A.15B.30C.45D.60,答案B由题意得AP是BAC的平分线,如图,过点D作DEAB于E,C=90,DE=CD=4,ABD的面积=ABDE=154=30.,10.(2017浙江台州中考)如图5-3-9,点P是AOB的平分线OC上一点,PDOB,垂足为D.若PD=2,则P到边OA的距离是()图5-3-9A.1B.2C.D.4,答案B如图,过点P作PHOA,垂足为H,点P是AOB的平分线OC上一点,PDOB,PHOA,PH=PD=2.,1.(2015江苏苏州中考)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BAD=35,则C的度数为()A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC的中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,2.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=50,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则EBC的度数是()A.15B.20C.65D.100,答案AAB=AC,A=50,ABC=65,DE为AB的垂直平分线,AE=BE,A=ABE=50,EBC=ABC-ABE=65-50=15.故选A.,3.(2015浙江湖州中考)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于()A.10B.7C.5D.4,答案C过点E作EKBC于点K,则EKB=90,因为BE平分ABC,CDAB,所以EK=ED=2,所以BCE的面积=BCEK=52=5,故选C.,4.如图,ABC是等边三角形,AD是ABC的角平分线,ADE是等边三角形.下列结论:ADBC;EF=FD;BE=BD,其中正确的有(填序号).,答案,解析因为ABC是等边三角形,AD是其角平分线,所以ADBC,CAD=BAD=30.因为ADE是等边三角形,所以DAE=60,所以EAF=DAF=30,所以EF=FD,ABDE,所以BE=BD.,5.(2015江苏宿迁中考)如图,已知AB=AC=AD,且ADBC,试说明:C=2D.,解析AB=AC=AD,C=ABC,D=ABD,ABC=CBD+D,ADBC,CBD=D,ABC=D+D=2D,又C=ABC,C=2D.,1.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm,答案A当腰长为2cm时,底边长为6cm,但是2+2=46,3、6、6能组成三角形,该三角形的周长为3+6+6=15.,3.(2017湖南湘潭中考)如图5-3-10,在RtABC中,C=90,BD平分ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段.图5-3-10,答案BC=BE(或DC=DE或BE=AE),解析已知C=90,BD平分ABC,DE垂直平分AB,显然BE=AE;利用角平分线性质定理可知DC=DE;根据已知条件易得BCDBED,根据全等三角形的性质可得BC=BE.,4.(2017湖南益阳中考)如图5-3-11,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示ABC的周长为.图5-3-11,答案2a+3b,解析AB=AC,BE=a,AE=b,AC=AB=a+b,DE是线段AC的垂直平分线,AE=CE=b,ECA=BAC=36,AB=AC,ABC=ACB=72,BCE=ACB-ECA=36,BEC=180-ABC-ECB=72,BEC=ABC,CE=BC=b,ABC的周长为AB+AC+BC=2a+3b.,5.如图5-3-12,已知ABC是等边三角形,且1=2=3.(1)求BEC的度数;(2)DEF是等边三角形吗?请简要说明理由.图5-3-12,解析(1)ABC为等边三角形,BCA=60.DEF=BCE+2,2=3,DEF=BCE+3=BCA=60.BEC=180-DEF=180-60=120.(2)DEF是等边三角形.理由:与(1)同理可知EDF=60,DFE=60,DEF=DFE=EDF=60,DEF为等边三角形.,1.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C共有()A.6个B.7个C.8个D.9个,答案C若ABC为等腰三角形,则AC=BC或AC=AB或BC=AB.当AC=BC时,点C在线段AB的垂直平分线上,可以找到4个符合题意的点.当AC=AB时,可以找到2个符合题意的点.当BC=AB时,也可找到2个符合题意的点.故符合题意的点C共有8个.,2.等边三角形中,两条中线相交所成的钝角的度数为()A.120B.130C.150D.160,答案A如图,ABC为等边三角形,AD、BE都是中线,AD、BE都是ABC的角平分线,1=2=30,AFB=180-1-2=120.故选A.,3.(2015浙江义乌中考)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图,衣架杆OA=OB=18cm,衣架收拢时,AOB=60,如图,则此时A,B两点之间的距离是cm.,答案18,解析OA=OB,衣架收拢时,AOB=60,连接AB,则AOB是等边三角形,AB=OA=OB=18cm.,4.如图,已知点P为MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.若AB的长为15cm,求PCD的周长.,解析点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称,DA=DP,CP=CB.PCD的周长=DP+CP+DC=DA+DC+CB=AB=15cm.,一、选择题1.(2017北京昌平临川育人学校第二次月考,10,)下列说法中正确的是()角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等;角是轴对称图形;线段不是轴对称图形;线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.A.B.C.D.,答案C,二、填空题2.(2018山东德州期末,18,)已知ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,若EBC=42,则BAC的度数为.,答案32或152或88,解析如图1,ABC是等腰三角形,AB=AC,ABC=ACB,ABC+ACB+BAC=180,DE垂直且平分AB,EA=EB,ABE=BAC,EBC+ACB=AEB,42+(180-BAC)=180-2BAC,解得BAC=32.如图2,同理可得,BAC=152,如图3,同理可得,BAC=88.综上所述,BAC=32或152或88.,3.(2017内蒙古乌加河学校期末,13,)已知等腰三角形的两边长分别是4cm和5cm,则它的周长是;若等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm,则它的周长是.,答案13或14cm;22cm,解析三角形的三边长分别为4cm,4cm,5cm或4cm,5cm,5cm,故周长为4+4+5=13cm或4+5+5=14cm;因为4+49,所以三角形的三边长不能为4cm,4cm,9cm,只能为4cm,9cm,9cm,故周长为9+9+4=22cm.,三、解答题4.(2018广东云浮云城期末,19,)如图5-3-13,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5cm,ABD的周长为17cm,求ABC的周长.图5-3-13,解析DE垂直平分AC,AE=EC=5cm,AD=DC,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm,AB+BC+AC=17+10=27cm.即ABC的周长为27cm.,1.(2018江苏泰州靖江期中,8,)如图,在ABC中,AB=AC,BAC=108,ADB=72,DE平分ADB,则图中等腰三角形的个数是()A.3B.4C.5D.6,答案CAB=AC,ABC是等腰三角形.又BAC=108,C=B=36,BAD=180-B-ADB=180-36-72=72=ADB,AB=BD,ADB是等腰三角形.DAC=BAC-BAD=108-72=36=C,CD=AD,ACD是等腰三角形.DE平分ADB,BDE=ADE=36=B,BE=ED,EBD是等腰三角形.AED=180-72-36=72=EAD,ED=AD,AED是等腰三角形.共有5个等腰三角形.故选C.,2.(2016北京昌平期末,6,)如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8,AB=10,则EBC的周长是()A.13B.16C.18D.20,答案CDE垂直平分AC,AE=CE,CE+BE=AE+BE=AB=10,又BC=8,EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=8+10=18.,3.(2018广东蓬江期末,20,)如图,在ABC中,BAC=90,BE平分ABC,AMBC于点M,AD平分MAC,交BC于点D,交BE于点F,AM交BE于点G.(1)试说明:BAM=C;(2)判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.,解析(1)AMBC,ABC+BAM=90,BAC=90,ABC+C=90,BAM=C.(2)BE垂直平分AD.理由:如图,AD平分MAC,1=2,BAD=BAM+1,ADB=C+2,BAM=C,BAD=ADB,AB=BD,BAD是等腰三角形,又BE平分ABC,BE垂直平分AD.,4.(2016湖北黄冈五校期中联考,21,)如图,已知点B、C、D在同一条直线上,ABC和CDE都是等边三角形,BE交AC于F,AD交CE于H.(1)试说明:BCEACD;(2)试说明:FHBD.,解析(1)ABC和CDE都是等边三角形,BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60,BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD.在BCE和ACD中,BCEACD(SAS).(2)由(1)知BCEACD,则CBF=CAH,ABC和CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上,ACH=180-ACB-ECD=60,ACH=BCF,在BCF和ACH中,BCFACH(ASA),CF=CH,又FCH=60,CHF为等边三角形,FHC=HCD=60,FHBD.,一、选择题1.(2018湖北黄冈中考,4,)如图5-3-14,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()图5-3-14A.50B.70C.75D.80,答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2018江苏扬州中考,7,)如图5-3-15,在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是()图5-3-15A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC,答案CACB=90,CDAB,ACD+BCD=90,ACD+A=90,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE.故选C.,二、填空题3.(2018湖南湘潭中考,12,)如图5-3-16,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD=.图5-3-16,答案30,解析ABC是等边三角形,BAC=60,AB=AC.又点D是边BC的中点,BAD=BAC=30.,三、解答题4.(2016江苏常州中考,23,)如图5-3-17,已知ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.(1)试说明:OB=OC;(2)若ABC=50,求BOC的度数.图5-3-17,解析(1)AB=AC,ABC=ACB,即EBC=DCB.BD、CE是ABC的两条高,BEC=BDC=90.在BEC和CDB中,BECCDB,ECB=DBC,OB=OC.(2)ABC=50,AB=AC,A=180-250=80,又ADB=90,ABD=10,DBC=ABC-ABD=50-10=40.BOC=180-240=100.,(2017山东滨州中考,8,)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为()A.40B.36C.80D.25,答案B设C=x,由DA=DC可得DAC=C=x,所以ADB=C+DAC=2x,因为BD=BA,所以BAD=ADB=2x,由AB=AC可得B=C=x,根据三角形内角和定理,得x+x+3x=180,解得x=36.所以B=36.,1.如图5-3-18,在一张长为8cm,宽为6cm的长方形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点A重合,其余的两个顶点都在长方形的边上).这个等腰三角形的剪法有()图5-3-18A.1种B.2种C.3种D.4种,答案C当等腰三角形中以A为顶点的角为顶角时,如图1,此时AE=AF=5cm.图1当等腰三角形中以A为顶点的角为底角时,有两种情况:如图2,图3.,故选C.,2.(2017天津中考)如图5-3-19,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图5-3-19A.BCB.CEC.ADD.AC,答案B如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC,PB=PC,PB+PE=PC+PE,PE+PCCE,当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE,故选B.,(2017黑龙江哈尔滨中考,24改编,)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图,试说明:AE=BD;(2)如图,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中至少三对全等的直角三角形.,解析(1)ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE,在ACE与BCD中,ACEBCD(SAS),AE=BD.(2)AC=DC,AC=CD=EC=CB,又ACB=DCE=90,ACBDCE(SAS);由(1)可知AEC=BDC,EAC=DBC,ODM+EDM+DEO=AEC+EDM+DEO=90,DOM=90,易知AEC=CAE=CBD,又EC=BC,ECM=BCN=90,EMCBNC(ASA),CM=CN,DM=AN,又DOM=AON=90,ODM=OAN,DOMAON(AAS).,
展开阅读全文