轴对称变换有难度有答案.doc

轴对称变换1、在中，由点向边引高线，垂足落在上，如果，求证：.2、如图所示，在四边形中，求证：.3、 如图所示，在中，、为的两条高，求证：.4、如图所示，在四边形中，求四边形的面积.5、在凸四边形中，,.如果厘米，求四边形的面积.6、(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点是四边形的边的中点，且,证明：.7、 设是凸四边形的边的中点，求证：.8、 如图所示，在中，的平分线交于点，已知，且，求的各个内角.9、如图所示，已知在中，的平分线交于，求之长.10、如图所示，在中，为三角形内一点，求证：.11、如图所示，在中，为的中点，是边上的点，求的面积与的面积的两倍的和.12、 如图所示，在中，是边上的高，点在内部，求证：.14、 在中，为内部一点，求的度数.15. 如图所示，为边上的一点，且，已知，试求的度数.参考答案1题【解法1】如图所示，以为对称轴翻折到的位置，则在上，.在中，根据外角定理可知，所以，故.【解法2】以为对称轴翻折到的位置，则，从而.进而，而(由“翻折”的特点决定)，故.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知，即.注意到，故，即，亦即，故.2题【解析】注意到，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出角.以为对称轴将翻折到的位置，连接.则，故为等边三角形.从而，等号成立时平分.3题【解法1】将改写为，可形成下面的思路：的平分线记为，作点关于的对称点，作点关于的对称点，过点作的垂线，因为，而，故.【解法2】我们用“分析法”寻求思路：.注意到，故.而由、.4题：【解析】直接计算四边形的面积有困难，注意到，我们以的垂直平分线为对称轴，作的关于的轴对称图形，从而可以将角度集中.，所以，因此，是直角三角形.由勾股定理求得.在中，.而.由勾股定理的逆定理可知.5题：【解析】如图所示，以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形，则，故、共线.又因为，由可知，而，故.因此，是等腰直角三角形.故6题：【解析】显然，要证题设的不等式，应当把，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.再以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等边三角形，.由于两点之间以直线段为最短，所以，即.7题：【解析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，则，且，.而，则，故.8题：【解析】是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点翻折到的位置，且在的延长线上，且，.延长至点，使，则，故，从而，则，故为等边三角形.故，.9题：由于平分，因此这就提供了以为轴进行对称变换的可能性.取的中点，连接，交于，易知与关于对称，且.由于，所以.延长至，使，连接交的延长线于点.显然和关于对称，且.由于是的中位线，所以，.因为，所以.所以，.于是.10题：【解析】由已知条件，考虑作直线于，并以为对称轴将翻折至的位置，连接.由轴对称的性质有，.因为，于是，即是正三角形，从而可得，.再由三内角之和为，即，整理后得.11题：【解析】将补成一个等边三角形，并作的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于.作，其中点在的延长线上，则为等边三角形.作于点，并取点关于点的对称点，则有.而，故，且相似比为.则.而()，故.12题：【解析】作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接.因为，是边上的高，易得.因为，故.14题：【解析】容易求得，.的对称轴为，作点关于的对称点，则，故为等边三角形，则平分，.故.15题：【解析】作出点关于直线的对称点，连接、，则，如图所示.取的中点，连接，则为等边三角形，故，.又因为，故，故平分，故点到直线、等距，从而是的外角平分线，所以10