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电动力学习题解答 第三章 静磁场1. 试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。解：是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 ，由矢势定义得；三个方程组成的方程组有无数多解，如：， 即：；， 即：解与解之差为则这说明两者之差是无旋场2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以 dl1)螺线管内部：由于螺线管是无限长 r理想螺线管，所以其内部磁场是 O z均匀强磁场，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。由其无限长的特性，不 I妨取场点为坐标原点建立柱坐标系。， 取的一小段，此段上分布有电流2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点为场点，其中。 3. 设有无限长的线电流I沿z轴流动，在z0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。解：设z0区域磁感应强度和磁场强度为，；z0)；，(z0)。在介质中 所以，介质界面上的磁化电流密度为：总的感应电流：，电流在 z0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。4. 设x0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作它满足边界条件：及。由此可得介质中：由 得：在x0 的介质中 ，则： 再由 可得，所以， （沿 z 轴）5. 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知，其中为常量。试求该处的。提示：用，并验证所得结果满足。解：由于B具有对称性，设， 其中 ，即：，（常数）。当时，为有限，所以 ；，即： （1）因为，所以 ，即 （2）直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c为常数)6. 两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上。每个线圈上载有同方向的电流I。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。提示：用条件解：1） 由毕萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为， 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：，。所以，轴线上的磁感应强度： （1）2）因为 ，所以 ；又因为，所以 ，。代入（1）式并化简得： 将 z=0 带入上式得：， 7. 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的磁导率为，导体外的磁导率为。解：矢势所满足的方程为： 自然边界条件：时，有限。边值关系：；选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令，代入微分方程得：；解得：；由自然边界条件得，由 得：，由 并令其为零，得：，。；8. 假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁场强度为。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。解：由 得： (1) 令 ,得: , (2)显然 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势讨论： 当时，；当时，；当时，故的表达式在具有奇异性，此时不合理。9. 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应强度和诱导磁矩m。(对比P49静电场的例子。)解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H0的方向为，此球体被外加磁场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。本题所满足的微分方程为： （1）自然边界条件：为有限；。衔接条件：在处满足 及 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：； 由两个衔接条件，有：比较的系数，解得：； ，即：，（），（）在RR0区域内，10. 有一个内外半径为和的空心球，位于均匀外磁场内，球的磁导率为，求空腔内的场，讨论时的磁屏蔽作用。解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H0的方向为，在外场H0的作用下，空心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为： ； ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； ； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为：； ； 因为泛定方程的解是把产生磁场的源H0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系。在本题中源的表示是：所以上面的解中， ，解的形式简化为： ； ； 代入衔接条件得：， ， 。解方程组得：，。从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内：当时，所以。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。11. 设理想铁磁体的磁化规律为，其中是恒定的与无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（为常值）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M0的方向为，本题具有轴对称的磁场分布，磁标势的微分方程为： ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为：； ； 代入衔接条件，比较各项的系数，得：，；， ，由此 又 ，（其中）将B的表达式代入，得：12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场中，结果如何？解：根据题意假设均匀外场的方向与M0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。磁标势的微分方程为： ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； 解得满足自然边界条件的解是：，代入衔接条件，得：解得： ，其中 ，13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为，总电荷为，今使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求球内外的磁场。提示：本题通过解或的方程都可以解决，也可以比较本题与5例2的电流分布得到结果。解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为： ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； 其中 是球壳表面自由面电流密度。解得满足自然边界条件的解是：，代入衔接条件，得：； 解得： ， ，其中 ，14. 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为，半径为，它以角速度绕自身某一直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M0是均匀分布的）。解：1）磁矩又 ， 又 2)自转动量矩：15. 有一块磁矩为m的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力。解：根据题意，因为无穷大平面的很大，则在平面上所有的H均和平面垂直，类比于静电场，构造磁矩m关于平面的镜像,则外场为：而 m受力为：第 9 页