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习 题八 8.1某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上随机抽取10桶，称得它们的重量(单位：千克)分别是10.2,9.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8. 假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显著性水平下，检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克，试给出检验的p值的计算公式.解：问题归结为检验如下假设 此处n=10，S=0.246.，于是拒绝域为 而，所以我们接受原假设，即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得，该检验的P值为 8.2假设香烟中尼古丁含量服从正态分布，现从某牌香烟中随机抽取20支，其尼古丁含量的平均值毫克，样本标准差S=2.4毫克，取显著性水平，我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值毫克” 的断言 ?解：问题归结为检验如下假设 此处n=20，S=2.4.，于是拒绝域为 而，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值毫克”的断言.8.3(1)考虑正态总体和假设检验问题 证明:当已知时，则拒绝域为 的检验的显著性水平为。 若未知 则拒绝域为 的检验的显著性水平为.(2)在习题8.2中， 对毫克和S=2.4毫克两种情况，我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过17.5毫克”的断言? 证明：(1)取显著水平0，对于正态总体和假设检验问题 因中的均值都比中的小，所以从直观上看，较合理的检验法则应当是：若观察值与的差过分大，即c时，我们拒绝接受.采用与书中类似的讨论，可以推出 于是拒绝域为 类似地，当未知 则拒绝域为 .(2) 第1种情况，问题归结为检验如下假设此处n=20，.，于是拒绝域为 而，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值毫克”的断言.第2种情况，S=2.4，问题归结为检验如下假设此处n=20，S=2.4.，于是拒绝域为 而，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值毫克”的断言.8.4 设某厂生产的产品尺寸服从正态分布，规定标准尺寸为120毫米，现从该厂抽得5件产品 测量其尺寸分别为 119,120,119.2,119.7,119.6试判断产品是否符合规定要求,即检验假设(显著性水平=0.05).解：问题归结为检验如下假设此处n=5，经计.查表，于是拒绝域为 而样本观察值，所以我们不接受原假设，即可判断产品不符合规定要求. 8.5设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为和 为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异，从两矿中取样若干份，测试结果如下：甲矿 ：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙矿 ：18.2,16.9,20.2,16.7试在显著性水平=0.05下，检验“含煤粉率无差异” 这个假设。 解：问题归结为检验如下假设此处；，查表得，在显著性水平=0.05下的拒绝域为 经计算样本观察值，因此我们不接受原假设，即可判断这两个煤矿的煤含煤粉率有明显差异，甲矿的煤含煤粉率高于乙矿的煤含煤粉率。 8.6比较A、B两种小麦品种蛋白质含量，随机抽取A种小麦10个样品，测得，=1.62.随机抽取B种小麦5个样品，测得,=0.14,假定这两种小麦蛋白质含量都服从正态分布，且具有相同方差，试在水平下，检验两种小麦的蛋白质含量有无差异。解：问题归结为检验如下假设此处已知未知；=1.62，=0.14， 查表得，在显著性水平=0.01下的拒绝域为 样本观察值，因此我们不接受原假设，即可判断A种小麦的蛋白质含量高于B种小麦的蛋白质含量。 8.7由于存在声音反射的原因，人们在讲英语时在辅音识别上会遇到麻烦。有人随机选取了10个以英语为母语的人(记为A组)和10个以英语为外国语的人(记为B组)，进行了试验，下面记录了他们正确反应的比例(%).A组：93,85,89,81,88,88,89,85,85,87, B组：76,84,78,73,78,76,70,82,79,77.假定这些数据都来自正态总体，且具有公共方差，试在=0.05下，检验这两组的反应是否有显著差异？解：问题归结为检验如下假设此处已知未知；经计算， 查表得，在显著性水平=0.05下的拒绝域为 经计算样本观察值，因此我们不接受原假设，即可判断A组的反应高于B的反应。 8.8某厂生产的瓶装纯净水要求标准差升，现在从超级市场上随机抽取20瓶这样的纯净水，发现它们所装水量的样本标准差S=0.03升.假定瓶装纯净水装水量服从正态分布，试问在显著性水平=0.05下，我们能否认为它们达到了标准差升的要求？ 解：问题归结为检验如下假设这里n=20,，。又已知S=0.03，因为 所以我们不接受原假设，即可判断该厂生产的瓶装纯净水不符合标准差升的要求。 8.9试写出检验(8.36)的推导过程. 见教材P.183。略8.10试对习题8.7的数据，检验假设 解：因为m=n=10,在显著性水平=0.05下的拒绝域为 而 ，所以两组的方差无差异。8.11某种导线要求电阻标准差不超过0.005欧姆，今在生产的一批导线中随机抽取9根 测量后算得S=0.07欧姆.设电阻测量值服从正态分布，问在=0.05下，能否认为这批导线的电阻值满足原来的要求？解：问题归结为检验如下假设这里n=9,。又已知S=0.07，因为 所以我们不接受原假设，即认为这批导线的电阻值不满足原来的要求。8.12孟德尔豌豆试验中 有一次观测到黄色和绿色豆子的数目分别为70和27，试在显著性水平=0.05下， 检验“黄色和绿色豆子的数目为3：1”的理论。 解：定义随机变量 记，我们要检验假设 (1)将分成两个区间，(2)计算每个区间上的理论频数，这里n=70+27=97，(3)实际频数，(4)查表得，所以我们接受原假设，即认为黄色和绿色豆子的数目为3：1。 8.13在一个复杂试验中，孟德尔同时考虑豌豆的颜色和形状，一共有四种组合：(黄,圆)，(黄,非圆)，(绿,圆)，(绿,非圆)，按孟德尔理论这四类应有9:3:3:1的比例 在一次观察中，他发现这四类观测到的数目分别为315,101,108和32，试在=0.05下，检验“9:3:3:1” 这个理论。解：定义随机变量随机事件(黄,圆)(黄,非圆)(绿,圆)(绿,非圆)随机变量X1234记，我们要检验假设 (1)将分成四个区间，(2)计算每个区间上的理论频数，这里n=315+101+108+32=556 (3)实际频数，(4) 查表得，所以我们接受原假设，即接受“9:3:3:1” 这个理论。 8.14某汽车修理公司想知道每天送来修理的车数是否服从泊松分布 下表给出了该公司250天的送修车数：送修车数012345678910送这么多车的天数2821314448392217135试在=0.05下，检验原假设 ：一天内送修车数服从泊松分布。解：定义随机变量X为一天送修车数，X的取值有：0,1,2,10.(1)将分成十一个区间记，我们要检验假设总体X服从泊松分布 由于在中参数未具体给出，故先估计.由最大似然估计法得。 (2)查泊松分布得随机变量X理论取得的概率送修车数X理论概率0.00670.03370.08420.14040.17550.17550.14620.10440.06530.03630.0318从而得到在每一个区间上的理论频数 送修车数X012345678910送这么多车的理论天数1.6758.42521.0535.143.87543.87536.5526.116.3259.0757.95(3)列表计算统计量X0123456789101.6758.42521.0535.143.87543.87536.5526.116.3259.0757.9528213144483922171350.06300.02140.00010.4790.00040.38780.16420.6440.02791.6981.095由表得 4.496 (4)查分位表得，因为统计量4.49618.31，所以我们接受原假设，可以认为一天内送修车数服从泊松分布。8.15为检验一颗骰子的均匀性，对这颗骰子投掷60次，观察到出现1,2,6点的次数分别为7,6,12,14,5,16试在=0.05下，检验原假设：这颗骰子是均匀的，即每个点出现的概率均为.解：设X表示每次骰子出现的点数，记，我们要检验假设 (1)将分成六个区间(2)计算每个区间上的理论频数，这里n=60 (3)实际频数，(4) =0.9+1.6+0.4+1.6+2.5+3.6=10.6(5)查表得，所以我们接受原假设：每个点出现的概率均为，即这颗骰子是均匀的。
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