概率论与数理统计第二章补充题及答案.doc

统计学院 概率论与数理统计 补充题概率论与数理统计第二单元补充题 一、 填空题： 1、函数为连续型随机变量的概率密度函数的充要条件是2、随机变量的分布律为，则的分布律为_,2X+1的分布律为_3、设离散型随机变量的分布律为，则随机变量的分布律为4、设离散型随机变量X的分布律为 k=1, 2, 3,，则c= .5、设随机变量X的概率密度函数为，则P(0X3/4)= .6、随机变量，则，7、随机变量的分布律为，则，8、随机变量服从上的均匀分布，且，则9、已知随机变量服从参数为2的泊松分布，则，二、选择题： 1、下列命题正确的是 。（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设与分别为随机变量与的分布函数，则为使是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是_（ A ） （ B ） ( C ） （ D ） 三、计算题 1、已知随机变量只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为, 确定常数c并计算P1|0.2、已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).3、设连续型随机变量的分布函数为:求：（1）、系数A; （2）、P(0.30.7);（3）、 概率密度(x).4、设随机变量X的密度函数用Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，求（1）PY=2；（2）PY1.5、已知离散型随机变量的概率分布为，求随机变量的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X的概率密度函数为，求X的分布函数。（2）、已知随机变量X的分布函数为另有随机变量试求Y的分布律和分布函数。7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y表示二人投篮的总次数。（1）求Y的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？8、假设随机变量X的绝对值不大于1，；在事件“|X|1”发生的条件下，X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数.9.一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？四、问答题 1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？2、随机变量的分布函数有什么意义？3、连续型随机变量的与离散型随机变量的在概率中的意义是否相同？4、为什么不能说明X=a是不可能事件？5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？概率论与数理统计第二单元补充题参考答案一、填空题： 1、函数为连续型随机变量的概率密度函数的充要条件是（1） （2）2、随机变量的分布律为，则的分布律为,2X+1的分布律为3、设离散型随机变量的分布律为，则随机变量的分布律为4、设离散型随机变量X的分布律为 k=1, 2, 3,，则c= 0.5 .5、设随机变量X的概率密度函数为，则P(0X3/4)= 1/2 6、随机变量，则，7、随机变量的分布律为，则，8、随机变量服从上的均匀分布，且，则9、已知随机变量服从参数为2的泊松分布，则，二、选择题： 1、下列命题正确的是 C 。（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设与分别为随机变量与的分布函数，则为使是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是_A_（ A ） （ B ） ( C ） （ D ） 二、 计算题 1、已知随机变量只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为, 确定常数c并计算P1|0.解: 根据概率函数的性质有即得设事件A为1, B为0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则.2、已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).解: ；因为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P=0.5=0；现在求F(x): 当x0时, F(x)=0当0x1时, 当x1时, F(x)=1综上所述, 最后得:3、设连续型随机变量的分布函数为:求：（1）、系数A; （2）、P(0.30.7);（3）、 概率密度(x).解: （1）因是连续型随机变量, 因此F(x)必是连续曲线, 则因此A12=1, 即A=1. （2）则分布函数为P(0.30.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4（3）概率密度(x)为4、设随机变量X的密度函数用Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，求（1）PY=2；（2）PY1解：首先可计算得到 由题意知Yb（3，）所以（1） （2）5、已知离散型随机变量的概率分布为，求随机变量的分布律和分布函数解：由于因此，Y的分布律为：，易计算，它的分布函数为。6、（1）、已知随机变量X的概率密度函数为，求X的分布函数。（2）、已知随机变量X的分布函数为另有随机变量试求Y的分布律和分布函数。解： （1）由于 所以 所以（2）易知于是Y的分布律为-11分布函数为7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y表示二人投篮的总次数。（1）求Y的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？解：易知PY=1=0.7 PY=2=0.30.8 PY=3=0.30.20.7 PY=4=0.320.20.8所以：（1）分布律：（2）甲先投中的可能性大8、假设随机变量X的绝对值不大于1，；在事件“|X|1”发生的条件下，X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数解：当 当 当由于当时， 有 即当 9.一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设， ，则 四、问答题 1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？答：随机变量是在随机试验的样本空间S上，对每一个，给予一个实数X（e）与之对应而得到的一个实值单值函数。从定义可以认识到：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间。这两点是二者的主要区别。引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。2、随机变量的分布函数有什么意义？答：分布函数给出了随机变量X的取值不大于实数x的概率，而X在任意区间上的概率也可用分布函数表出，即。因此分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。 另一方面，分布函数是一个普通函数，因此可以用高等数学课程中的理论和方法加以研究和分析，认识问题。概率论与数理统计就是通过随机变量和分布函数两个工具来全面研究认识随机现象的统计规律性的。3、连续型随机变量的与离散型随机变量的在概率中的意义是否相同？答：相同。在离散型随机变量X中，随机变量X的取值点是离散的点，是X取某一时的概率。而在连续型随机变量X时，X取某一x时的概率为零；在小区间上的概率为，由定积分中值定理有。当对连续型随机变量离散化时，与的意义是相同的，同样描述了随机变量的分布情况。4、为什么不能说明X=a是不可能事件？答：因为，若，则有两种可能。对离散型随机变量，时，X=a必然是不可能事件，但是，对连续型随机变量，任一点上的概率都等于零，这由，当时，可以得知，所以不能说明X=a是不可能事件5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？答：否，可以相同。例如，进行投篮试验时，可以令，或，与是两个不同的随机变量，表现为对应法则的不同。但是它们有相同的分布函数第单元补充题及参考答案 第 11 页 共 11 页 2013-月