极坐标与参数方程综合运用题型一.docx

极坐标与参数方程综合运用题型(一)【题型分析】题型一 圆上的点到直线距离的最值【例1】已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为=2cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值解：（）即2=2（cos+sin），x2+y22x2y=0，故C2的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=2（）曲线C1的参数方程为，C1的直角坐标方程为，由（）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线C1的距离，动点M到曲线C1的距离的最大值为【变式实践1】1已知曲线C1：，曲线：（t为参数）（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值解：（I）曲线C1的极坐标化为2=2sin，又x2+y2=2，x=cos，y=sin所以曲线C1的直角坐标方程x2+y22y=0，因为曲线C2的参数方程是，消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y8=0（II）因为曲线C2为直线，令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则 ，|MN|的最大值为2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（为参数）（I）写出直线的直角坐标方程；（）求曲线C上的点到直线的距离的最大值解：（1）直线l的极坐标方程为：，（sincos）=，xy+1=0（2）根据曲线C的参数方程为：（为参数）得（x2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，曲线C上的点到直线l的距离的最大值=3已知在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值解：（1）由圆C的极坐标方程=2cos（+），化为，展开为2=，化为x2+y2=平方为=1，圆心为（2）由直线l上的点向圆C引切线长=5，由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5题型二 利用三角函数求最值【例2】在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标得P(0,4)，P(0,4)满足方程xy40，点P在直线l上(2)因为点Q是曲线C上的点，故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，所以点Q 到直线l的距离d(R)则当cos1时，d取得最小值.【变式实践2】1在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为： (为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值解：(1)cos ，x2y2x，即(x)2y2.(2)设P(2cos ，sin )，易知C2(，0)，|PC2|，当cos 时，|PC2|取得最小值，|PC2|min，|PQ|min.2在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线距离的最小值解：(1)C1：x22y22，l：yx4.(2)设Q(cos ，sin )，则点Q到直线l的距离d，当且仅当2k(kZ)，即2k(kZ)时取等号3以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为(是参数)，直线l的极坐标方程为cos2.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值解：(1)直线l的极坐标方程为cos2，2，xy2，即直线l的直角坐标方程为xy40.由得1，即曲线C的普通方程为1.(2)设点P(2cos ，sin )，则点P到直线l的距离d，其中tan .当cos()1时，dmax，即点P到直线l的距离的最大值为.4已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.5在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos.(1)求直线l被曲线C所截得的弦长；(2)若M(x，y)是曲线C上的动点，求xy的最大值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去t，可得3x4y10.由于 cos ，即有2cossin ，则有x2y2xy0，其圆心为，半径为r，圆心到直线的距离d，故弦长为22 .(2)可设圆的参数方程为(为参数)，即M，则xycos sin sin，由于 R，则xy的最大值为1.6(2015新乡许昌平顶山第二次调研)已知直线l：(t为参数)，曲线C1： (为参数) (1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：(1)l的普通方程为y(x1)，C1的普通方程为x2y21.联立方程，解得l与C1的交点为A(1，0)，B，则|AB|1.(2)C2的参数方程为(为参数)故点P的坐标是.从而点P到直线l的距离d，当sin1时，d取得最小值，且最小值为(1)题型三 根据最值求点坐标【例3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），则由sin2+cos2=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=4，即有sincos+cossin=4，即为直线x+y8=0；（2）设P（cos，sin），则P到直线的距离为d，则d=，则当sin（）=1，此时=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3【变式实践3】1在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为.(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标解：(1)由2sin ，得22sin ，从而x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC|，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)2在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.（）解：由，可得，因为，所以曲线的普通方程为（或）（）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得 因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点所以点到直线的距离为因为，所以当时，此时，所以点的坐标为解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为 因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行即直线与的斜率的乘积等于，即因为，解得或所以点的坐标为或 由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为 3已知曲线C1：，（为参数），C2：，（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标解：（）据题，由曲线C1：，（为参数），得（x+4）2+（y3）2=1，它表示一个以（4，3）为圆心，以1为半径的圆，由C2：，（为参数）得，它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆，（）当时，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M（2+4cos，2+sin），由直线C3：，（t为参数），得x2y7=0，它表示一条直线，M到该直线的距离为：d=|5cos（+）13|，（其中sin=，cos=），当cos（+）=1时，d取最小值，从而，当sin=，cos=，时，d有最小值，此时，点Q（，）【强化训练】1在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围解：（）C（，）的直角坐标为（1，1），圆C的方程为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0（）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2，2）2在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2（）求曲线C2的极坐标方程；（）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|TN|的取值范围解：（I）曲线C1的方程是=1，即2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y1）2=1，展开为x2+y22y=0则曲线C2的极坐标方程为22sin=0，即=2sin（II）设T（cos，sin），0，切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2tcos（）sin+12sin=0，t1t2=12sin，|TM|TN|=|t1t2|=|12sin|0，1，|TM|TN|的取值范围是0，13在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin.(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标解：(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC|，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)4在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2cos（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围解：（1）由=2cos，得2=2cos，x2+y2=2x，（x1）2+y2=1，（2）设点M（4cos，3sin），则|MC2|1|MN|MC2|+1，|MC2|2=（4cos1）2+9sin2=7cos28cos+10，当cos=1时，得|MC2|2max=25，|MC2|max=5，当cos=时，得|MC2|2min=，|MC2|min=，|MC2|1|MN|MC2|+15+1，|MN|的取值范围，65已知曲线C1：，（为参数），C2：，（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标解：（）据题，由曲线C1：，（为参数），得（x+4）2+（y3）2=1，它表示一个以（4，3）为圆心，以1为半径的圆，由C2：，（为参数）得，它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆，（）当时，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M（2+4cos，2+sin），由直线C3：，（t为参数），得x2y7=0，它表示一条直线，M到该直线的距离为：d=|5cos（+）13|，（其中sin=，cos=），当cos（+）=1时，d取最小值，从而，当sin=，cos=，时，d有最小值，此时，点Q（，）6在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C1：x2+y2=4，C2：（x+）2+（y1）2=4，C3：（为参数）有一公共点P（0，2）（）分别求C1与C2，C1与C3异于点P的公共点M、N的直角坐标；（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程解：（I）圆C3的直角坐标方程为（x）2+（y1）2=4联立方程组，解得或M（，1），N（，1）（II）M，N的中垂线方程为x=0，故过点M，N，O三点的圆圆心在y轴上，设圆的半径为r，则（r1）2+=r2，解得r=2圆心坐标为（0，2）经过三点O、M、N的圆C的直角坐标方程为x2+（y+2）2=4即x2+y2+4y=0经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程为2+4sin=0，即=4sin7在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C极坐标为，半径r=1（1）求圆C的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为，直线交圆C于A，B两点，求的最小值解：（1）圆C的圆心C极坐标为（1，），半径r=1，圆心C的直角坐标C（0，1），圆的直角坐标方程为x2+（y1）2=1，即x2+y22y=0，圆C的极坐标方程为22sin=0，即=2sin（2）l的参数方程为代入圆C：x2+（y1）2=1，得t2+2（sin+cos）t+1=1，由直线参数方程的几何意义得|PA|+|PB|=2|sin+cos|，|PA|PB|=1=，0，当=时，的最小值8已知曲线C的极坐标方程是=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，设曲线C上任一点为M（x，y），求的最小值解：（1）直线l的参数方程为为参数）由上式化简成t=2（x1）代入下式得根据2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）（2）代入C得（5分）设椭圆的参数方程为参数）（7分）则则的最小值为4（10分）9在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2），是曲线C1上的两点，求的值解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），普通方程为曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x2）2+y2=4（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=10已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为=2sin；C2的参数方程为（t为参数）（）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围解：（I）曲线C1方程为=2sin，可得2=2sin，可得x2+y2=2y，C1的直角坐标方程：x2+（y1）2=1，C2的参数方程为，消去参数t可得：C2的普通方程：（4分）（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，则点P到曲线C2距离的取值范围为（10分）11已知直线的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线与圆C的交点的极坐标；（）若P为圆C上的动点求P到直线的距离d的最大值解：（I）由圆C的参数方程为（为参数），化为：x2+（y2）2=4，联立，解得或可得极坐标分别为：，（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，P到直线l的距离d的最大值为+r=+212在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线C的极坐标方程为=2cos，直线的参数方程为（t为参数，为直线的倾斜角）（I）写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）若直线与曲线C有唯一的公共点，求角的大小解：（）当时，直线l的普通方程为x=1；当时，直线l的普通方程为y=（tan）（x+1）（2分）由=2cos，得2=2cos，所以x2+y2=2x，即为曲线C的直角坐标方程（4分）（）把x=1+tcos，y=tsin代入x2+y2=2x，整理得t24tcos+3=0由=16cos212=0，得，所以或，故直线l倾斜角为或（10分）13在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin，0，2）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线：，（t为参数，tR）的距离最短，并求出点D的直角坐标解：（1）曲线C的极坐标方程为=2sin，0，2），即2=2sin，化为x2+y22y=0，配方为x2+（y1）2=1（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1直线l：，（t为参数，tR）化为普通方程：y1=0，可得圆心C到直线l的距离d=1=0，直线l与圆C相切，其切点即为所求联立，解得D14