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统 计 分 析（方差分析和回归分析）三、典型题解例1：某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表. 饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：10g）饲料鱼的增重（xij）合计平均A131.927.931.828.435.9155.931.18A224.825.726.827.926.2131.426.28A322.123.627.324.925.8123.724.74A427.030.829.024.528.5139.827.96合计=550.8解：这是一个单因素等重复试验，因素数，重复数.各项平方和及自由度计算如下：总平方和 组间平方和 组内平方和 总自由度 处理间自由度 处理内自由度 用、分别除以和便得到处理间均方及处理内均方.因为；根据，查表得FF0.01(3，16) =5.29,，表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不同的饲料饲喂，增重是不同的.例2：抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见下表，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著. 五个不同品种母猪的窝产仔数品种号观 察 值xij (头/窝)xi.181312995110.22781097418.231314101112601241398810489.6512111514136513合计T =265解：这是一个单因素试验，因素数，重复数.现对此试验结果进行方差分析如下：计算各项平方和与自由度列出方差分析表，进行F检验不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表变异来源平方和自由度均方F值品种间73.20418.305.83误差62.80203.14总变异136.0024根据，查临界F值得：F0.05(4,20) =2.87,F0.05(4,20) =4.43，因为FF0.01(4,20)，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平.例3：以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结果如下表，试分解其自由度和平方和.水稻不同药剂处理的苗高(cm)药 剂苗高观察值总和平均A18 21 20 137218B20 24 26 229223C10 15 17 145614D28 27 29 3211629T=33621解：计算各项平方和与自由度 或 进而可得均方： 总方差自由度，药剂间自由度，药剂内自由度例4：为研究雌激素对子宫发育的影响，现有4窝不同品系未成年的大白鼠，每窝3只，随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见下表，试作方差分析.各品系大白鼠不同剂量雌激素的子宫重量(g)品系(A)雌激素注射剂量(mg/100g)(B)合计xi.平均B1(0.2)B2(0.4)B3(0.8)A1106116145367122.3A2426811522575.0A370111133314104.7A442638719264.0合计x.j2603584801098平均65.089.5120.0解：这是一个双因素单独观测值试验结果.A因素(品系)有4个水平，即=4；B因素(雌激素注射剂量)有3个水平，即b=3，共有b=34=12个观测值.方差分析如下：计算各项平方和与自由度 列出方差分析表，进行F检验方差分析表变异来源平方和自由度均方F值A因素(品系)6457.666732152.555623.77B因素(剂量)6074.000023037.000033.54误差543.3333690.5556总变异13075.000011根据，查临界F值，F0.01(3,6)=9.78；根据，查临界F值，F0.01(2,6)=10.92.因为A因素的F值23.77F0.01(3,6)，差异极显著；B因素的F值33.54F0.01(2,6)，差异极显著.说明不同品系和不同雌激素剂量对大白鼠子宫的发育均有极显著影响.例7：在某个地区抽取了9家生产同类产品的企业，其月产量和单位产品成本的资料如表8-1，建立月产量x和单位产品成本y之间的直线方程.并估计当月产量x=10（千件）时，单位产品成本的数值.企业编号123456789月产量（千件）（x）4.16.35.47.63.28.59.76.82.1单位产本（元）（y）807271588650426391解：将表中有关数据代入公式，得：，所以回归方程为：当（千件），（元）.例8：为研究某一化学反应过程中，温度对产品得率的影响，测得数据如下：温度100110120130140150160170180190得率45515461667074788589（1） 求变量关于的线性回归方程.（2） 的无偏估计.（3） 检验回归方程的回归效果是否显著（取）.解： （1），经计算得故得，于是得到回归直线方程或写成 （2）由以上计算计算结果得又已知，故（3）待检验假设，由（1）和（2）知.查表得假设的拒绝域为现在 故拒绝，认为回归效果是显著的.例9：某商品的需求量（单位：件）与价格（单位：元）的统计资料如下所示5435806186957248128879911186190445515461667074788589求需求函数的回归方程.解：画散点图，根据散点图选择曲线类型来描绘需求量与价格的关系经变换，得利用最小二乘法的和的估计值， 所以，.故需求回归方程为：，将与的值加以对比如下：54358061869572481288799111861904536583614682742771917105011981886可见与数据相近，效果较好.四、练习题1.把下面的方差分析表填写完整，方差来源平方和自由度修正（方差）组间131.37（1）（3）组内（2）15（4）总和332.4819临界值参考答案：（1）4（2）201.11（3）32.84（4）13.412.一批由相同材料织成的布料，使用染整工艺，分别处理后进行强度试验，实测数据（单位：）为：工艺：0.94 0.86 0.90 1.26 1.04工艺：1.28 1.72 1.60 1.60工艺：1.02 0.86 1.00 1.22 1.33 1.10试分析不同染整工艺下布料强度的差异显著性？()参考答案：，不显著.3.为考察苗猪品种对增重的影响，今选择，等3个品种各5头发育良好体重相等的苗猪作实验，在同等条件下喂养一段时间后重新过磅，其实际增重（单位：）为：工艺：129 122 140 140 129工艺：123 135 124 104 114工艺：147 131 138 150 124试问猪的品种对增重的影响是否显著？()参考答案：，显著.4.设四名工人操作机器各一天, 其日产量如表8.7所示, 问不同机器或不同工人对日产量是否有显著影响()?工人日产量机器504747535354575852424148参考答案：，显著；，不显著8某地高校教育经费（x）与高校学生人数（y）连续6年的统计资料如下：教育经费（万元）（）316343373393418455在校学生数（万人）（）111618202225要求：（1）建立议程回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学生数； （2）计算估计标准误差.参考答案：（1）， 29.84338（2）9. 以下是子代和父代受教育年限的抽样调查父代（）246810子代（）45879求：（1）子代受教育年限（）关于父代受教育年限（）的回归直线.（2）的无偏估计.（3）判断该结论是否具有推论意义（）.参考答案：（1），（2）（3），显著.10. 设对某产品的价格P与供给量S的一组观察数据如下表：价格P（百元）2345681012供给量S（吨）1520253035456080据此求：（1）该产品的价格P关于供给量S的回归直线.（2）的无偏估计.（3）是否具有推论意义？（）.参考答案：（1），（2）（3），不显著.11.以下是生活期望值与个人成就的抽样调查生活期望值108764321个人成就791042132求：（1）回归直线（2）的无偏估计.（3）是否具有推论意义（）.参考答案：（1），（2）（3），不显著.
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