抽象代数复习题及答案.doc

抽象代数试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)1. 设Q是有理数集，规定f(x)= +2；g(x)=+1,则（fg）(x)等于（ B ）A. B. C. D. 2. 设是到的单射，是到的单射，则是到的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射 3. 设 S3 = （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z10的子环有( B )。A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 设G是有限群，aG, 且a的阶|a|=12, 则G中元素的阶为( B )A 2 B. 3 C. 6 D. 97设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A ) A. B. b的阶不一定整除G的阶 C. G的单位元不唯一 D. G中消去律不成立8. 设G是循环群，则以下结论不正确的是( A ) A. G的商群不是循环群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群9. 设集合 A=a,b,c, 以下AA的子集为等价关系的是( C )A. = (a,a),(a,b),(a,c),(b,b) B. = (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C. = (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D. = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10. 设是到的满射，是到的满射，则是到的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S3 = （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。A. 1B. 2C. 3D. 412. 在剩余类环中，其可逆元的个数是( D )。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 设（R，+，）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。A. R的零元惟一 B. 若，则C. 对，的负元不惟一 D. 若，则14. 设G是群，aG, 且a的阶|a|=12, 则G中元素的阶为( B )A 2 B. 3 C. 6 D. 915设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A ) A. B. |b| = C. G的单位元不唯一 D. 方程在G中无解16. 设G是交换群，则以下结论正确的是( B )A. G的商群不是交换群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是循环群 D. G的任何子群都是循环群17. 设A=1，-1, i，-i，B = 1, -1, : AB, , aA，则是从A到B的( A )。A. 满射而非单射B. 单射而非满射 C. 一一映射D. 既非单射也非满射18.设A=R（实数域）， B=（正实数集）， :a， aA，则 是从A到B的( C )。A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 19.设A=所有实数x，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( C )。 A.x10x B.x2x C.x|x| D.x-x20. 数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )A. 构成一个交换群 B. 构成一个循环群 C. 构成一个群 D. 构成一个交换环21.在高斯整数环Zi中，可逆元的个数为（ D ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个22 . 剩余类加群Z8的子群有( B )。A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23. 下列含有零因子的环是 （ B ）A. 高斯整数环Zi B.数域P上的n阶全矩阵环 C. 偶数环 2Z D. 剩余类环24 设(R,+,)是一个环，则下列结论正确的是（ D ） A. R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C. R一定含有单位元 D. R的理想一定是子环25设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（ A ） A 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个26. 设A = a, b, c，B = 1,2,3, 则从集合A到集合B的满射的个数为 ( D )。A. 1B. 2 C. 3 D. 627. 设集合 A = a, b, c, 则以下集合是集合A的分类的是 ( C )A. = a, b,a, c B. = a,b, c,b,aC. = a,b,c D. = a,b,b,c,c28. 设R = ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环29. 设S3=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S3的子群的个数是( D )。A. 1B. 2C. 3D. 630. 在高斯整数环Zi中，单位元是( B )。A. 0B. 1C. D. 31. 设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是 ( B )。A. 任意两个子群的乘积还是子群 B. 任意两个子群的交还是子群 C. 任意两个子群的并还是子群 D. 任意子群一定是正规子群32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。A. 1 B. 2 C. 6 D. 733. 设A=a,b,c，B=1,2,3, 则从集合A到集合B的映射有( D )。A. 1 B. 6 C. 18D. 2734. 设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ D ）A.0和； B.1和0； C.和； D.和35. 设和都是群中的元素，且，那么（ A ）A.； B.； C.； D.。36. 下列正确的命题是（ A ）A.欧氏环一定是唯一分解环； B.主理想环必是欧氏环；C.唯一分解环必是主理想环； D.唯一分解环必是欧氏环。37设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ B ）A.6； B.24； C.10； D.12。38. 设G是有限群，则以下结论正确的是（ A ） A. G的子群的阶整除G的阶 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群39设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ）A.的同态核是的正规子群； B.的正规子群的原象是的正规子群；C.的子群的象是的子群； D.的正规子群的象是的正规子群。40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）A. 半群可以有无穷多个右单位元 B. 半群一定有一个右单位元C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元 D. 半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分)1. 设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有 （ ）个. 2. n次对称群的阶是（ ！ ）.3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（ 个.5.除环的理想共有（ 2 ）个.6.剩余类环的子环S=0,2,4，则S的单位元是（ 4 ）.7.在 i+3, , e-3中，（ ）是有理数域Q上的代数元.8. 在有理数域Q上的极小多项式是（ ）.9. 设集合A =a,b， B=1,2,3，则AB=（）10. 设R是交换环，则主理想=（ ）11设 则12 . 设F是9阶有限域，则F的特征是（ 3 ）.13设是两个循环置换，则（）14 . 设F是125阶有限整环，则F的特征是 （ 5 ）.15. 设集合A含有3个元素，则的元素共有（ 9 ）个.16. 设群G的阶是 2n,子群H是G的正规子群，其阶是n, 则G关于H的商群所含元素的个数是（ 2 ）.17.设a、b是群G的两个元，则 =（ ）.18. 环的可逆元是（ ）.19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）.20如果是与间的一一映射，是的一个元，则。21.设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为（）。22设是一个5-循环置换，那么。23有限群G的阶是素数p，则G是（ 循环 ）群。24若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为（）。25群的子群有（ 6 ）个。26由凯莱定理，任一个抽象群都同一个（ 群的变换群 ）同构。27设A、B分别是m、n个元组成的集合，则=（ ）。28设A=a,b,c，则可定义A的（ 5 ）个不同的等价关系。A的分类M=a,c,b确定的等价关系是R）。29. 设G是6阶循环群，则G的生成元有（ 2 ）个。30. 非零复数乘群C*中由-i生成的子群是（ ）。31. 剩余类环Z7的零因子个数等于（ 0 ）。32. 素数阶有限群G的子群个数等于（ 2 ）。33. 剩余类环Z6的子环S=0,3,则S的单位元是（ ）。34群:G，e是G的单位元，则是（的单位元 ）。35. 复数域的特征是（ 0 ）.36. 在剩余类环中， =（ ）.37. 在3-次对称群中 ， 元素的阶为：（ 3 ）.38. 设和分别表示整数环和模剩余类环， 则环同态的同态核为（ ）39. 在有理数域上的极小多项式为（ ）40. 无限循环群一定和（ 整数加群 ）同构. 三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“”，错误的请打“”，每小题3分)1. 设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（ ）2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。（ ）3. 设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f: GG是一个映射，且f(x) =7, xG. 则f是G到G的同态映射。（ ）4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（ ）5. 设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（ ）6. 设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群 。 （ ）7. 设是群同态，则将G的单位元不一定映射为的单位元。（ ）8. 设R是环，A，B是R的任意两个理想，则也是环R的理想。（ ） 9. 域的特征可以为任何自然数. （ ）10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群. （ ）11. 4次交错群在4次对称群中的指数为4. （ ）12. 复数域是实数域的单代数扩张。 （ ）13. 除环一定是域. （ ）14.3-次对称群的中心是. （ ）15. 整数环的商域是有理数域. （ ）16. 无限循环群和整数加群同构. （ ）17. 多项式 在有理数域上可约。 （ ）18. 在特征为的域中始终有 （ ）19. 高斯整数环是唯一分解环. （ ）20有限集合到有限集合的单射不一定是满射。 （ ）21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。 （ ）22. 设是群的同态， 则同态核是的正规子群. （ ）23.素数阶群不一定是循环群。 （ ）24.设为整数环，为素数， 则是的极大理想。 （ ）四、证明题1. 设为有理数域，设， 则按数的乘法和加法构成一个域.（6分）证明： 非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且这样我们就得关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此按数的乘法和加法构成一个域.。2. 设E是的扩域，且（E：F）=1，则E=F. （6分）证明：用反证法：若， 则存在， 这样， 矛盾！3. 证明：交换群的商群是交换群.（8分）证明：设G为交换群， 且，则 G关于正规子群H的商群，且对任意有, 故是交换群.4. 设，“”是数的乘法，证明：（A，）（B，）。（这里“”表示（A，）与（B，）是满同态）（8分） 证明：构造映射：，则容易验证f 是映射.5. 证明：设G=， 则关于矩阵乘法构成（）的子半群.（6分）证明：对任意的， 故由子半群的判定知，关于矩阵乘法构成（）的子半群，得证.6. 设a是群G的任一元素，若的阶|a|=2，求证： .（6分）证明：由题设我们知道： 对这个式子的两边同时乘以得利用群G中逆元和单位元的性质，即得，.7. 设=，即=1，G=，证明：有如下的群同构：（，）（G，），这里（0）=1，（1）=，（2）=。（8分）证明：容易验证下述映射 ：是双射，且保持运算， 即：.由同构映射的定义，即得（，）（G，）. 8. 设G是R22中所有可逆矩阵组成的集合，（i）. 证明G关于矩阵的乘法成群。（6分）(ii). 的阶是多少？（4分）(iii). 的阶是多少？（4分）(iv). 证明G不是交换群.（6分）解：（i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零， 而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积， 由此, 故G关于矩阵的乘法成群.(ii). 注意到此时群的单位元是：，经过简单计算，我们可知 的阶是3.(iii). 的阶是.(iv). 通过简单计算，得， 故G是非交换群。解答题：1. 设Q是有理数集，“+”是数的加法，找（Q，+）的所有不同的自同构映射。（8 分）解：对任意， 定义 则集合为的所有自同构映射.设G = ，其中= = =列出G的乘法（矩阵乘法）运算表。解：运算表如下： （）写出次对称群的所有元素；（分）（）求出中所有元素的阶；（分）（）求出中所有元素的逆元.（分）解：()的全部元素为： ， ， ， ， ， （）各元素的阶为：（） ， ， ，的逆元分别为：，找出中的所有零因子（分）解：2,3,4,6,8,9,10为所有的零因子在有理数域的扩域Q（）中，求1+的逆。（分）解：由于在Q上的最小多项式是p(x)= -2，因此由定理4.3.3，得到由于1+在Q的逆元仍然是Q中的元素，故可设1+在Q的逆元为,则（1+）（）=1将p()= -2=0代于上式，并经过简单计算，得到 = 设，写出关于陪集分解式。（分）解：关于H的陪集分解式为 = 列出整数模6剩余类环 中元素的加法和乘法运算表.（分）解：= 0 1 2 3 4 5 中元素的加法和乘法运算表如下:+012345001234511234502234501334501244501235501234012345000000010123452024024303030340420425054321 写出中每个元所含整数。（分）解 在中，计算(1 2)(2 3)与(2 3)(1 2)。（分）解： (1 2)(2 3) = (1 2 3)， (2 3)(1 2) = (1 3 2)。求出的所有正规子群。（分）解： 的所有正规子群为：设A=，写出A的所有双变换的集合G，关于变换的乘法列出G的运算表。（分）解：所有双变换为：， 则， 其运算表如下：fgfgfggf求模8的剩余类环的所有子环。（分）解：的所有子环为：；