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,欢迎进入数学课堂,高斯的故事,高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他。,思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？,？,100999821,n(n-1)(n-2)21,？,问题1,如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，10.问共有多少根圆木？请用简便的方法计算.,？,问题2,数列前n项和的意义,数列an：a1，a2，a3，an，,我们把a1a2a3an叫做数列an的前n项和，记作Sn,这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列an的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。,设等差数列an的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an),=n(a1+an),此种求和法称为倒序相加法,n个,思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？,公式的推导,等差数列的前n项和公式的其它形式,分析公式的结构特征,例:等差数列10,6,2,的前多少项的和为54？,解：设题中的等差数列是an，前n项和为Sn.,则a110，d6（10）4，Sn54.,由等差数列前n项和公式，得,解得n19，n23（舍去）.,因此，等差数列的前9项和是54.,举例,1.an？,an=4n-14,Sn=2n2-12n,2.Sn呢？,an=4n-14,Sn=2n2-12n,Sn的深入认识,课外探索,1、已知等差数列16，14，12，10，(1)前多少项的和为72？(2)前多少项的和为0？(3)前多少项的和最大？,2、求集合的元素个数，并求这些元素的和.,解：,所以集合M中的元素共有14个.,将它们从小到大列出，得,即7，14，21，28，98,这个数列是成等差数列，记为,答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.,3、已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.,证明：,将成等差数列的三条边的长从小到大排列，,它们可以表示为,a-d,a,a+d(这里a-d0,d0),由勾股定理，得到,解得,从而这三边的长是,3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：5,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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