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习题二 1. 设随机变量的分布函数为试求的概率分布列及，. 解: 随机变量的分布列为则 ； ； ； . 2. 设离散型随机变量的分布函数为且，试求，和的分布列. 解：由分布函数的定义可知 又因为，则故 ， . 3. 设随机变量的分布函数为试求，. 解: 根据题意为连续型随机变量，则 ， ， 。 4. 若，其中，试求. 解: . 5. 一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以表示取出的3个球中的最大号码. (1)求的分布列； (2)写出的分布函数，并作图. 解：(1)根据题意表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5， 故 其分布列为 ，.即 (2)由分布函数的定义可知作图略. 6. 有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以表示所取到的白球数. (1)试求的概率分布列； (2)取到的白球数不少于2个的概率为多少？ 解：(1)根据题意表示所取到的白球数，则其可能取值为， 故 其分布列为 ，.即(2)根据题意，所求概率为 . 7. 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布. 解：以表示骰子点数出现6的次数，则 故 其分布列为 ，.即 8. 一批产品共有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件中不合格品数的分布列； (2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？ 解：(1)以表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5. 故 其分布列为 ，. (2)根据题意，所求概率为 . 9. 设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数的分布列. 解：以表示目标被击中的次数，则 故 其分布列为 ，. 10. 某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求 (1)同一时刻至少有3台车床用电的概率； (2)同一时刻至多有3台车床用电的概率. 解： 以表示同一时刻用电车床的台数，则 故 其分布列为 ， (1)根据题意所求概率为 ； (2)根据题意所求概率为 . 11. 某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率？ 解：以表示射击手命中环10的次数，则 故 其分布列为 ，.根据题意所求概率为 . 12. 设随机变量和均服从二项分布，即，.若，试求? 解：根据题意随机变量，则 ，.又因为，则 .则 . 故 . 13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有8次呼唤的概率； (2)每分钟呼唤次数大于8的概率. 解：以表示交换台每分钟的呼唤次数，则 故 其分布列为 ， (1)根据题意所求概率为 ； (2)根据题意所求概率为 . 14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？ 解：以表示300件产品中的次品数，则 用参数为的泊松分布作近似计算，得所求概率为 . 15. 保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率. 解：以表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则 用参数为的泊松分布作近似计算，得所求概率为 . 16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？ 解：以表示该汽车站每天出事故的车辆数，则 用参数为的泊松分布作近似计算，得所求概率为 . 17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，则失败的概率为 . (1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数的分布列. (2)将试验进行到第次成功为止，求所需试验次数的分布列.（此分布被称为负二项分布） 解：(1)根据题意，以表示试验第一次成功为止所需试验次数，则服从参数为的几何分布，其分布列为 ， (2)根据题意，以表示试验第次成功为止所需试验次数，则的可能取值为，（即在次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前面次中一定有次是成功的，由二项分布得其概率为，再乘以最后一次成功的概率），则其分布列为 ，. 18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数的分布列，并计算为偶数的概率. 解：根据题意，以表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为 ， 故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为 . 19. 设随机变量的概率密度为试求. 解：由概率密度函数的定义可知 . 20. 设随机变量的概率密度为试求： (1)常数; (2)落在区间内的概率. 解：(1)由概率密度函数的正则性可知 ； (2)根据题意，所求概率为 . 21. 设随机变量的分布函数为 试求： (1)常数； (2)落在区间内的概率； (3)的概率密度. 解：(1)由分布函数的连续性可知 ； (2)根据题意，所求概率为 ； (3)由分布函数和密度函数的关系可知 22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其概率密度为试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？ 解：设该油站的储油罐容量为升，以表示该加油站每周油品销售量，则根据题意 . 23. 在区间上任意投掷一个质点，以表示这个质点的坐标.设该质点落在区间中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求的分布函数和概率密度. 解：设的分布函数为，则 当时，因为是不可能事件，所以； 当时，因为是必然事件，所以； 当时，有，其中为比例系数，由分布函数的右连续性可知， 则的分布函数为 由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为 24. 设随机变量服从区间上的均匀分布，求对进行4次独立观测中，至少有3次的观测值大于5的概率？ 解：根据题意，随机变量，则其概率密度函数为 故 对进行独立观测中观测值大于5的概率为 以表示对进行独立观测中观测值大于5的次数，则 故 所求概率为 . 25. 设随机变量，求方程无实根的概率和有实根的概率. 解：根据题意，随机变量，则其密度函数为 根据韦达定理可得， 当 时，方程无实根，其概率为 ； 当 或时，方程有实根，其概率为 . 26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他便离开，他每月要到银行5次，以表示他未等到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率. 解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间服从指数分布，则等候时间超过10分钟的概率为 以表示他未等到服务而离开窗口的次数，则 故 所求概率为 。 27. 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（以小时计）都服从同一指数分布试求：此仪器在最初使用的300小时内，至少有一个该种电子元件损坏的概率. 解：根据题意，以表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于300小时的概率为 以表示该型号电子元件损坏数，则 故 所求概率为 . 28. 设随机变量，求 (1)； (2)； (3) 确定，使得？ 解：由正态分布标准化可得 (1) ； (2) ； (3)根据题意，则 故 。 29. 设随机变量，求 (1) (2) (3)设为参数，使得，问最多取为多少？ 解：由正态分布标准化可得 (1) ； (2) ； (3)根据题意，则 即 (，)故 由标准正态分位数定义可得 即 参数最大取为0.145. 30. 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差(以m计)具有概率密度 ，试求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率. 解：根据题意，以表示测量中随机产生的误差，由其密度函数的定义可知，则误差绝对值超过30m的概率为 ,以表示测量中误差绝对值超过30m的次数，则 故 所有概率为. 31. 某单位招聘员工，共有10000人报考.假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，现按考试成绩从高分到低分一次录用2500人，试问被录用者中最低分数是多少？ 解：根据题意，以表示报考人的成绩分数，则 故 （查表得） （查表得） 由、可得 ，即， 设录用者中最低分数为，则 ， ，(，) 故 32. 已知离散型随机变量的分布列为试求与的分布列. 解：根据题意可得 故 合并整理得的分布列的分布列 33. 设随机变量的概率密度为对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求分布列. 解：根据题意，由概率密度函数定义可知，对进行独立观测中观测值大于的概率为 . 以表示对进行4次独立观测中观测值大于的次数，则 故 其分布列为 ，.即故 34. 设随机变量，试求以下随机变量函数的概率密度： (1)； (2)； (3)； (4). 解：根据题意，随机变量，则其密度函数为 (1)由，且有，则的密度函数为 (2)由，且有，则的密度函数为 (3)由，且有，则的密度函数为 (4)由，故当时，有，从而 当时，且有，则的密度函数为 35. 设随机变量，试求以下随机变量函数的概率密度： (1)； (2)； (3). 解：(1)由于，故当时，有，从而. 当时，由，且有，则的密度函数为 (2)由于，故当时，有，从而. 当时，有此时的分布函数为因为 ，故 (3)由于，故当时，有，从而. 当时，有 此时的分布函数为 因为 ， 故 36. 某物体的温度（华氏）是随机变量，且有，已知，试求（摄氏）的概率密度. 解：根据题意，则其概率密度函数为 ， 由 由，且有，则由分布函数的定义可知 又因为 故 ， 。
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