固体物理习题整理.doc

第一章1.矢量，构成简单正交系。证明晶面族的面间距为解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：由此可求得其倒格子基矢为：根据倒格子矢量的性质有： 2.平面正六角形晶格（见图5.30），六角形2个对边的间距是，其基矢为 ； 试求：图5.30 （1）倒格子基矢；（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区；（3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？解：（1）由题意可取，那么根据倒格子基矢的定义有 （2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图5.2所示图5.2 平面正六边形晶格的布里渊区示意图（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为 3.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。第二章1.在一维双原子链中，如，（1）求证：；。（2）画出与的关系图（设）。解：（1）在一维双原子链中，其第个原子与第个原子的运动方程为 （1）为解方程组（1）可令 （2）将（2）式代入（1）式可得出 （3）从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得 （4）当（4）式中取“”号时，有 （5），（5）式中有，那么（5）式可简化为 当（4）式中取“”号时，有 （6），（6）式中有，那么（6）式可简化为 （2）当时，则（4）式可化为O此时，与的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线2.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子静止，而光学支格波中所有重原子静止。画出这时原子振动的图像。解：设第个原子为轻原子，其质量为，第个原子为重原子，其质量为，则它们的运动方程为 （1）为解方程组（1）可令 （2）将（2）式代入（1）式可得出 （3）从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得 （4）令，则可求得声学支格波频率为，光学支格波频率为由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子与重原子的振幅之比为 由此可知，声学支格波中所有轻原子静止。而在光学支中，重原子与轻原子的振幅之比为 由此可知，光学支格波中所有重原子静止。此时原子振动的图像如下图3.6所示：图3.6 （a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图3.从一维双原子晶格色散关系出发，当逐渐接近和时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。解：一维双原子晶格的色散关系为O由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图 图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线由上图可以看出，当逐渐接近时，在第一布里渊区边界，即处，声学波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当时，则声学波的频率和光学波的频率在处相等，都等于。而在一维单原子链中，其色散关系为，由此可见，在一维单原子链中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即处，其格波频率为，是双原子链的格波在布里渊边界的频率值的2倍。第三章1.一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。若晶格常数为，电子的波函数为（1）；（2）；（3）（其中为某个确定的函数）。试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成，其中，或写成（1）故 显然有 故的波矢是。（2）所以 显然有 故的波矢。（3）故 故的波矢为0。2.已知一维晶体的电子能带可写成：。式中是晶格常数。试求（1）能带的宽度；（2）电子在波矢的状态时的速度；（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）在能带底处，电子能量为 在能带顶处，电子能量为 故能带宽度为（2）电子在波矢的状态时的速度为 （3）电子的有效质量为 于是有在能带底部电子的有效质量为在能带顶部电子的有效质量为3.限制在边长为的正方形中的个自由电子，电子的能量为。试求：（1）能量之间的状态数；（2）此二维系统在绝对零度的费米能量；（3）电子的平均能量。解：（1）K空间中，在半径为和的两圆面之间所含的状态数为 （1）这也就是能量在之间的状态数，由电子的能量表达式可得 （2）将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量在之间的状态数为（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为 在绝对零度下，由下式 由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为 （3）电子的平均能量为 4.用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带的表达式可写为 上式中， （其中表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和；为最近邻格点的原子势场；为最近邻格点的位矢）。对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为（，0），（，0），（，0），（，0）（，0，），（，0，），（，0，），（，0，）（0，），（0，），（0，），（0，）将上述的12套坐标值代入上述的的表达式，可得 由于，所以当时，有最小值，即为能带底部。选取，轴沿张量主轴方向，则有，而在能带底部有