北航动力学习题.doc

5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物和质量为8kg的重物，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物的加速度及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力。假设重物的加速度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向上，两个重物惯性力为： (1)该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有：M1gM2gFI2x2x1 （2）根据运动学关系可知： （3）将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意有：FI1方向竖直向下。取重物为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：M2gTa2解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，则系统的势能为：拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：整理得摆的运动微分方程为：5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为，式中是以O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为：h取为零势位，系统的势能为：由题可知，因此有：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得摆的运动微分方程为：，解得质点的运动规律为：，其中为积分常数。5-13质量为m的质点沿半径为的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩。解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得质点的运动微分方程为：2.求维持圆环作匀速转动的力偶如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为：力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圆环绕铅垂轴AB匀速转动，即：，代入上式可得：5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴转动，轴又绕铅垂轴以匀角速度转动。物体的质心G在垂直于的直线上，。设和是物体过点的惯量主轴，转动惯量为和，物体对另一过点的惯量主轴的转动惯量为，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解：zyxzyGO3垂直于O1O2的平面以该物体为研究对象，有一个自由度，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则物体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以角速度绕轴的定轴转动，物体的绝对角速度是和的矢量之和。为了方便起见，以为轴，为轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度可表示成：由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理后，可得物体的运动微分方程为：5-17重的楔块可沿水平面滑动，重的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水平力，如图所示。忽略摩擦，角已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度，楔块B的速度，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：xs系统的动能为：取过轴的水平为零势面，系统的势能为： 则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加速度：，方向水平向右。楔块B的相对加速度：，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为，半径为的均质圆柱沿楔块的AB边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度，圆柱轴心O的速度，以及轴心O相对于A的相对速度满足x如下的矢量关系（方向如图所示）：圆柱在斜面上作纯滚动有：系统的动能为： 取过楔块上A点的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块的加速度：，方向水平向左。圆柱的角加速度：，顺时针方向。5-21系统由定滑轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物的质量分别为，滑轮的质量忽略不计。若初始时系统静止，试求欲使下降，质量和之间的关系。解：x1x2以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图所示）。设重物的坐标为，重物相对于滑轮B的轮心的位置为。系统的动能为：取时为系统零势能位，则任意位置系统的势能为：拉格朗日函数：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得重物的加速度：， 初始时刻系统静止，若使下降则，即：5-22重的平台AB置于水平面上，物体重，弹簧的刚度系数为k，如图所示。在平台上施加水平力，忽略摩擦。如果系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和物体的加速度。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标，以及物体相对于平台的坐标（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为：sx取弹簧未变形时势能为零，则系统的势能为：则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所作的虚功为， 因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得： （1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)可得： （3）代入方程(2)得： （4）解微分方程（4）得：，其中：。求导得：代入方程(3)可得：平台的加速度：，方向水平向右。物体M的加速度：，方向水平向右。5-27质量为的滑块可沿光滑水平面滑动，质量为的小球用长为l的杆AB与滑块连接，杆可绕轴A转动，如图所示。若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的水平坐标，以及杆AB与铅垂方向的夹角为广义坐标。系统的动能为：设时势能为零，系统的势能为：拉格朗日函数：拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：常数常数5-28图示质量为的滑块B沿与水平成倾角的光滑斜面下滑，质量为的均质细杆OD借助铰链O和螺旋弹簧与滑块B相连，杆长为l，弹簧的刚度系数为k。试求系统的首次积分。解：C取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块B沿斜面的坐标，以及杆OD与铅垂方向的夹角为广义坐标。杆OD作平面运动，有：则系统的动能为：设时势能为零，系统的势能为：拉格朗日函数中不显含时间t，存在广义能量积分，即： 常数5-29半径为、质量为的圆柱，沿半径为、质量为的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为和。试求系统的首次积分。解：以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取为广义坐标。系统的动能为：其中：，圆柱相对于圆筒作纯滚动，由圆柱轴心以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得：代入动能有：设为零势位，系统的势能为：，拉格朗日函数：拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：