刚体一章习题解答.doc

刚体一章习题解答习题41 如图所示，X轴沿水平方向，Y轴竖直向下，在t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点对原点O的力矩；在任意时刻t，质点对原点的角动量。解：作用于质点上的重力为X Y O a b 习题41图 v=gt 任一时刻t质点 (也是重力的作用点) 的位置矢量为据定义，该重力对原点O点的力矩为任一时刻t质点的动量为据定义，质点对原点O的角动量为卫星 A1 A2 R l1 l2 O 习题42图 习题42 我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为椭圆的一个焦点(如图)，已知地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离l1=439km，与地面的最远距离l2=238km。若卫星在近地点A1的速度v1=8.1km/s，则卫星在远地点的速度v2=。解：卫星受到地球引力(有心力)的作用，对地心O的角动量守恒。因此解得 km/s习题43 光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，栓在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，物体距离圆盘中心O的距离为r0，并以角速度绕圆盘中心O作圆周运动，现向下拉绳，当物体A的径向距离由r0减少到时，向下拉的速度为v，求下拉的过程中拉力所作的功。分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程中的任一时刻，物体的速度不是刚好沿半径为r的切线方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此题可以考虑用动能定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度。 习题43图 A O 解：设在末态物体的速度的切向分量为vt，法向分量为vn(亦为下拉速度)。同时考虑到速度的法向分量vn与矢径r反平行，其相应的角动量为零，由角动量守恒可得所以，末态速度的切向分量由质点动能定理，下拉的过程中拉力所作的功习题44 质量为m1的粒子A受到第二个粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动。最初，当A离B很远(r = )时，A具有速度，方向沿图中所示直线Aa，B与这条直线的垂直距离为D。粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动，已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB。 A a D B 习题44图 d 解：粒子A在粒子B的有心力场中运动，系统的角动量和机械能均守恒。因此，我们可以得到联立、两式解得B的质量为习题45 在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以初速度vA=4m/s垂直于OA向右滑动，如图所示，设以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。则此刻物体对O点角动量的大小LB=，物体速度的大小vB=。解：由质点角动量守恒定律有习题45图 A B d O 因此，物体在B点时对O点的角动量为物体在B点时的速度为习题46 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义为：，其中a、b、皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩；该质点对原点的角动量。解：依定义，质点的加速度质点受到的力为因此力矩因为所以质点角动量为 习题47 两个匀质圆盘A和B的密度分别为和，若，但两圆盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为JA和JB，则：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 、哪个大不能确定。解：圆盘的转动惯量又因为所以有这样一来因为已知，因而，故应选择答案(B)。习题48 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F=Mg ，设A、B两滑轮的角加速度分别为和，不计滑轮轴的摩擦，则有：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 开始时，以后。A B M F 习题48图 解：由牛顿定律及转动定律对A：对B： 从以上各式可解得，显然所以，应当选择答案(C)。l m 习题49图 习题49 一长为l，质量可以忽略的细杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m的小球，如图所示。现将杆由水平位置无初速度地释放，则杆刚被释放时的角加速度，杆与水平方向夹角为60时的角加速度。解：细杆对轴的转动惯量为J=ml2，由转动定律，当杆刚被释放时的角加速度为当杆与水平方向夹角为60时的角加速度为 m A O 习题410图 习题410 长为l、质量为M的匀质细杆可绕通过杆的一端O的水平光滑固定轴转动，转动惯量为，开始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为m的子弹以水平速度v0射入杆上A点，并嵌在杆中，OA=，则子弹射入后瞬间杆的角速度。解：子弹射入杆内并嵌在其中，射击过程系统角动量守恒容易解得 习题411 两个质量都是100kg的人，站在一质量为200kg、半径为3m的水平转台的直径两端，转台的固定转轴通过其中心且垂直于台面，初始时，转台每5s转动一圈，当这两个人以相同的快慢走到转台中心时，转台的角速度。(转台对转轴的转动惯量，计算时忽略转台在转轴处的摩擦)解：系统角动量守恒式中为系统的初始角速度，其值为所以，当两个人以相同的快慢走到转台中心时，转台的角速度为l1 l2 d1 d2 轴题解412图 习题412 一飞轮由一直径为30cm、厚度为2.0cm的圆盘和两个直径都为10cm、长为8.0cm的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8kgm3，求飞轮对轴的转动惯量。解：转动惯量具有可加性，而且圆盘和两个圆柱体共轴，因此飞轮对轴的转动惯量为习题413 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03103Nm，涡轮的转动惯量为25kgm2。当轮的转速由2.80103rmin1增大到1.12104rmin1，所经历的时间t为多少? 解：根据转动定律，涡轮的角加速度为再由刚体转动运动学公式所经历的时间t为习题414 质量为0.50kg、长为0.40m的均匀细棒，可以绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下。求：(1) 当棒转过60时的角加速度和角速度；(2) 下落到竖直位置时的动能；(3) 下落到竖直位置时的角速度。mg 题解414图 m，l O 轴正向解：(1) 当棒转过时所受的力矩为根据转动定律，棒的角加速度为当时 根据定义分离变量再积分棒的角速度为当时(2) 下落到竖直位置时的角速度为所以棒的动能为此步还可用机械能守恒定律求得棒的动能：设重力势能零点在棒原来的水平位置处，则有所以(3) 由(2)可知，下落到竖直位置时 A B C 习题415图 习题415 如图所示，A和B两个飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为JA=10kgm2和JB=20kgm2，开始时，A轮转速为600rev/min，B轮静止，C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计，A、B分别与C的两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的速度相等为止，设轴光滑，求：(1) 两轮啮合后的转速；(2) 两轮各自所受的冲量矩。解：(1) rad/s； 由角动量守恒有解得rad/s=200rev/min(2) 由角动量定理Nms Nms或者 NmsA B L 习题416图 O x dx 习题416 一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于棒中心的一方L/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度。(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴的转动惯量为，式中的m和l分别为棒的质量和长度)解：棒与O点碰撞前后其角动量守恒。但棒碰撞前的角动量须作积分才能求得，为此，我们在棒上距支点O为x处取线元dx ,其元角动量为式中为棒的质量线密度。由此，我们可以得到碰撞前棒的角动量为 碰撞后棒的角动量为式中J为棒对O点的转动惯量令即解得R M m 习题417图 习题417 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相连，绳子质量可以忽略不计，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M，半径为R，其转动惯量为，滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解法：对物体m：对定滑轮(圆盘刚体)：由角量与线量的关系 联立以上三式可得可见，物体下落的加速度是常量。又因为其下落的初速度为零，所以，物体下落速度与时间的关系为解法：把圆盘和物体作为定轴系统，由角动量定理有又因为，由上述关系可以解得习题418 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量为J=3.0kgm2，角速度，现对物体加一恒定的制动力矩M=12Nm，当物体的角速度减慢到时，物体已转过了角度。解：物体的角加速度为由于角加速度为恒量，所以满足公式因此习题419 一定滑轮半径为0.1m，相对于中心轴的转动惯量为110-3kgm2，一变力F=0.5t(SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦，试求它在1s末的角速度。解：作用于定滑轮上的外力矩为定滑轮的角加速度为因此应用初始条件t=0时，对上式积分所以，定滑轮在1s末的角速度为习题420 电风扇在开启电源后，经过t1时间达到了额定转速，此时相应的角速度为，当关闭电源后，经过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知推算电机的电磁力矩。解法：设电机的电磁力矩为M，摩擦阻力矩为Mf。由转动定律，从开启电源到达到额定转速的过程中有从关闭电源到风扇停转的过程中有由刚体运动学公式有联立以上四式可得电机的电磁力矩为解法：由刚体角动量定理可得联立以上两式可得电机的电磁力矩为习题421 转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，角速度为，设它所受阻力矩与角速度成正比，即(k0)，求圆盘的角速度从变为所需要的时间。解：由转动定律分离变量并积分解得2m m m，r m，r 习题422图习题422 一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示，绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力。解：对滑轮和重物分别列式可得2m 2mg T1 T1 T3 T3 T2 T2 m mg 题解422图 联立以上五式可求得两滑轮之间绳内的张力2r m m m 2m r 习题423图 习题423 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑轴转动，对轴的转动惯量为，大小圆盘边缘均绕有绳子，绳子下端都挂有一个质量为m的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。解：由示力图可得如下方程mg mg T1 T2 T2 T1 题解423图 N Mg 2r r 联立以上五式可解得(俯视图) m1，l m2 O A 习题424图 习题424 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其水平端点O且与桌面垂直的光滑固定轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和 ，如图所示，求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕O点转动的转动惯量)解：碰撞过程时间极短，小滑块与细棒之间内力矩远大于外力矩（摩擦力矩），因此系统角动量守恒解得该角速度是细棒开始转动的初角速度。细棒转动中所受到的摩擦力矩可用积分求达得，在细棒上距O为x处取一小段dx，其受到的元摩擦力矩为细棒所受到的摩擦力矩为细棒转动的角加速度为由角速度公式有解得求时间还可以用角动量定理：因为摩擦力矩为常量，因而有解得与上面用运动学方法得到的结果相同。