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第四章、课后习题详解一、概念题 1.年百分比率（annual percentage rate）答：年百分比率又称“名义年利率”，是指不考虑复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行一年期定期存款的利率。 2.实际年收益率（effective annual yield）答：实际年收益率又称为“实际年利率”，是指考虑一年内若干期复利计息的一年期实际利率。由于复利计息的缘故，实际年收益率高于名义年利率。其计算公式为：(1+r/m)m-1,其中r为名义年利率，m为一年内计息的次数。3.年金（annuity）答：年金是指在一定期间内，每隔相同时期（一年、半年、一季等）收入或支出相等金额的款项。根据收入或支出发生的情况的不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。不论哪种年金，都是建立在复利基础上的，都有终值和现值之分。4.终值（future value）答：终值是指现在某一特定金额按规定利率折算到未来某一时点的价值，亦称“本利和”。它是现值的对应概念，是计算货币时间价值的重要概念。 一笔投资在多期后的终值可以按以下公式计算：FV=C0*（1+r）T,其中T为投资持续期数，r为对应的利率。5.年金系数（annuity factor）答：年金系数是指在适当贴现率为r的情况下，T期内每年获得1美元的年金的现值。用公式可以表达为：年金系数=1/r-1/r(1+r)n=ArT。6.增长年金（growing annuity）答：增长年金是指在某一有限时期内现金流以一定速度增长的年金。其现值计算公式为：PV=C1/(r-g)-1/(r-g)*(1+g/1+r)T式中，C是指第1期末开始支付的现金流;r是利率；g是每期的增长率（用一个百分比来表示）；T是年金支付的持续期。7.适当贴现率（appropriate discount rate）答：适当贴现率是指投资者回报的收益率。在计算资金（或货币）的时间价值时，将未来的一笔金额（终值），按给定的利息率折算成现在的价值（现值）。其中用于把终值转化为现值的利息率，称为“贴现率”或“折现率”。资金的风险大小决定了投资者能够接受的适当贴现率水平，两者相匹配。风险越大，适当贴现率越高，未来资金的现值也越小。8.永续增长年金（growing perpetuity）答：永续增长年金是指其增长趋势将永远持续下去的现金流序列，无限期的收入或支出金额为无穷等比数列。该年金是永久性的，一般只有永续增长年金的现值，而不计算永续年金的终值。其现值计算公式为：PV=C/(r-g) 其中，C是现在开始一期以后收到或支出的现金流；g是每期的增长率；r是适当贴现率。此时，贴现率高于增长率，才使永续增长年金公式有意义。9.复利（compounding）答：“复利”是指在计算终值时，不仅本金要计算利息，本金所产生的利息也要计算利息，即通常所说的“利滚利”，与“单利”相对应。复利值是指若干年以后包括本金在内的未来价值，又称本利和。其计算公式：复利本利和=本金*（1+利率）n。式中，n为期数。10.净现值（net present value）答：净现值（net present value，NPV）是指投资项目投入使用后的净现金流，按资本成本或企业要求达到的报酬率及适当贴现率折算为现值，减去初始投资以后的余额（如果投资超过一年，则应是减去初始投资的现值以后的余额）。其计算公式为：NPV=(NCFt/(1+r)t)-C。其中NCFt为第t期净现金流，r为贴现率，C为初始投资额。11.复利利息（compound interest）答：复利利息是指按照复利方式计算终值时，本金所产生的利息也要计算利息，并且逐期滚动计算所获的超过本金的额外现金流。其计算公式为：复利利息=本金*（1+利率）n-本金。其中，n为期限数，利率即为复利利率。12.永续年金（perpetuity）答：永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无限期债券，这些债券的利息可视为永续年金。优先股因为有固定的股利而又无到期日，因而有时可以看作是永续年金。其现值计算公式为：PV=C/(1+r) +C/(1+r)2 +C/(1+r)3 +=C/r13.复利值（compound value）答：复利值又可称为复利终值，是指一笔资金经过一个时期或多个时期以后包括本金和利息在内的未来价值。它是现值的对应概念，其实质内容为当前所持有的本金在将来特定时间的本利之和。计算公式为：复利值=本金*（1+利率）n.其中，n为期限数，利率即为复利利率。14.现值（present value）答：现值是指未来某一特定时间的货币资金按照适当贴现率折算成的当前价值。它是货币时间价值的内涵概念之一，与终值共同形成一种对立统一的货币时间价值概念，其实质内容为将来特定时间的本利和（即终值）所需的本金。计息标准决定实际的货币资金现值，如按复利标准计息的现值称为复利现值，按单利标准计息的现值称为单利现值，按年金计息的称为年金现值等。15.连续复利计息（continuous compounding）答：连续复利计息是指在无限短的时间间隔内按复利计息。按照连续复利计息，T年后的终值可以表达为：CO*erT16.现值系数（present value factor）答：现值系数是指由确定的货币时间价值规律确定的用来计算未来现金流现值的系数。它有两种表达方式，一是按时间价值的定义确定下来的计算现值的公式；二是按计算公式编列的现成的函数表。现值系数可用专门的符号表示它，如一次支付的现值系数表示为（P/F,i，n），年金现值系数表示为（P/A，i，n）等。17.贴现（discounting）答：贴现是指计算未来现金流当前价值的过程。它是计算复利终值的反过程。其计算公式为PV=FVn*1/(1+r)n,其中r为适当贴现率，n为计算期数。18.单利利息（simple interest）答：单利利息是指在本金经过一个或多个时期以后，所派生的利息均不加入本金本金重复计算利息所获得的利息。其计算公式为：单利利息=本金*利率*期数。19.实际年利率（effective annual interest rate）答：实际年利率又称为“实际年收益率”，是指考虑一年内若干期复利计息的一年期实际利率。由于复利计息的缘故，实际年收益率高于名义年利率。其计算公式为：(1+r/m)m-1,其中r为名义年利率，m为一年内计息的次数。20.名义年利率（stated annual interest rate）答：名义年利率又称“年百分比率”，是指不考虑复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行一年期定期存款的利率。二复习题1.复利与阶段 当你增加时间的长度时，终值会发生什么变化？现值会发生什么变化？答:假设现金流量和利率都为正，则终值增加，现值减少。2.利率 如果利率增加，年金的终值会有什么变化？现值会有什么变化？答：假设现金流量和利率都为正，现值会下跌，而终值会上升。3.现值 假设有2名运动员均签署了一份10年8000万美元的合同。一种情况是8000万美元分10次等份支付。另一种情况是8000万美元分10次、支付金额为每年5%递增。哪一种情况更好？答：8000万美元分10次等份支付的情况更好。4.APR和EAR 贷款法是否应该要求贷款者报告实际利率而不是名义利率？为什么？答：是的，他们应该报告实际利率。APR一般不提供其他相关的利率。唯一的好处是他们容易计算,但是随着现代计算机设备的进步,这种优势就显得不是很重要了。5时间价值 有津贴斯坦福联邦贷款（subsidized Stafford loans）是为大学生提供财务帮助的一种普遍来源，知道偿还贷款才开始计息。谁将收到更多的津贴，新生还是高年级学生？请解释。答：新生会收到更多津贴。原因是在开始计息以前新生可以使用贷款的时间更长。根据下面的信息回答接下去的5个问题： 在1982年12月12日，通用汽车的一个辅助部门，即通用汽车金融服务公司（GMAC）公开发行了一些债券。根据交易的条款，GMAC许诺在2012年12月1日偿还给这些证券的所有者10000美元，但在这之前，投资者什么都不能得到。投资者在1982年12月2日向GMAC支付500美元购得一张债券，从而得到30年后偿还10000美元的承诺。6.货币的时间价值 为什么GMAC愿意接受如此小的数额(500美元)来交换在未来偿还20倍数额（10000美元）的承诺？答：它是一种货币时间价值的体现。GMAC可以立即使用500美元。如果GMAC有效地使用它，在以后它的价值将超过10000美元。7.赎回条款 GMAC有权力在任意时候，以10000美元的价格赎回该债券（这是该特殊交易的一个条款）。这一特性对投资者投资该债券的意愿有什么影响？答：这会使债券的吸引力下降。GMAC只会在对它有利的时候赎回债券，如果利率下降。考虑到利率需下降到对GMAC有力的程度，公司不太可能会回购债券。这是一个“看涨”特性的例子，这些特性在后面章节会详细讨论。8.货币时间价值 你是否愿意今天支付500美元来换取30年后10000美元的偿付？回答是或不是的关键因素是什么？你的回答是否取决于承诺偿还的人是谁？答：关键的因素是:(1)隐含在其中的回报率相对于其他类似风险投资更具有吸引力？(2)投资风险有多高，也就是说，将来得到10000美元的确定性程度如何？因此，这一答案的确取决于承诺偿还的人是谁。9.投资比较 假设当GMAC以500美元的价格发行该债券时，财政部也提供实质上是一样的债券。你认为后者的价格应该更高还是更低？为什么？答：财政部提供的债券价格更高些，因为财政部是所有借款人中信誉最高的。10.投资时间 长期GMAC的债券可以在纽约证券交易所进行购买与销售。如果你今天在看价格，你是否认为该价格应该超过之前的价格500美元？为什么？如果你在2010年看价格，你认为价格会比今天的更高还是更低？为什么？答：价格会更高，因为随着时间的推移,该证券的价格将趋于上升至10000美元。这种上升只是货币时间价值的反映。随着时间的推移，距收到1万美元的时间变短，导致现值上升。到2010年，价格由于同样的原因可能会更高。但是不能肯定，由于利率可能会高得多，或GMAC的财务状况可能恶化。无论哪种情况发生都将倾向于压低证券的价格。11.计算终值 计算以下情况下1000美元的复利终值：a.以6%的利率复利10年。b.以9%的利率复利10年。c.以6%的利率复利20年。d.为什么c题中计算得到的数值不是a题中数值的两倍？答：计算终值：FV=PV(1+r)ta.FV=1000(1+0.06)10 =1790.85美元b.FV=1000(1+0.07)10=1967.15美元c.FV=1000(1+0.06)20=3207.14美元d.因为在复利的计算中，利息也产生利息，在（c）中利息所获得的利息比（a）中利息获得的利息2倍还多，因此，终值较高。12.计算现值 Imprudential 公司有一笔尚未支付的养老金，金额为7.5亿美元，将要在20年内进行支付。为了确定公司股票的价值，财务分析师希望能将这项债务折现为现值。如果相关折现率为8.2%，请问这项负债的现值是多少？答：为了得到总金额的现值，利用公式，可得：PV=FV/(1+r)t=750000000/(1.082)20=155065808.54(美元)13. 永续年金 一名购买了英国金边债券的投资者将永远享有在英国政府领取利息的权利。请问该金边债券下一次是1年后，每年支付120美元，那么请问这份金边债券的价格是多少？假设市场利率为5.7%。答：金边债券是一种永续年金。为了得到永续年金的现值，利用公式PV=C/r，可得：PV=120/0.057=2105.26（美元）14.连续复利 请计算以下情况下1900美元连续复利的终值：a.利息率为12% ，连续复利5年。b.利息率为10%， 连续复利3年。 c.利息率为5%， 连续复利10年。d.利息率为7%， 连续复利8年。答：为了得到连续复利下的终值，用到公式：.FV=PVeRT a.FV=1900e0.125=3462.03(美元) b.FV=1900e0.013=2564.73(美元) c.FV=1900e0.0510=3132.57(美元) d.FV=1900e0.078=3326.28(美元) 15.计算年金现值 一项投资在15年内每年支付4300美元，其中第一次支付期为1年后。如果必要收益率为9%，请问投资的价值是多少？如果在40年内持续支付，或75年内持续支付，或是永续支付，这项投资的价值又各是多少？答：为了得到年金现值，用到以下公式：PVA=C(1-1/(1+r)T)/r15年的年金现值：PVA=4300（1-1/(1+0.09)15）/0.09=34660.96(美元)40年的年金现值：PVA=4300（1-1/(1+0.09)40）/0.09=46256.65(美元)75年的年金现值：PVA=4300（1-1/(1+0.09)75）/0.09=47703.26(美元)为了得到永续年金的现值，根据公式PV=C/r，有PV=4300/0.09=47777.78(美元)注意，随着年金的支付时间的增长，年金现值也逐渐接近永续年金的现值。从75年期的年金现值和永续年金现值的对比中可以看出，永续年金的现值仅仅比75年期的年金现值多了74.51美元。16.计算实际年利率 计算以下情况的实际年利率（EAR） (%)名义年利率（APR） 复利次数 实际年利率（EAR） 8 每季一次 18 每月一次 12 每天一次 14 无限期答：对于离散复利，得到实际年利率（EAR）,用到以下公式：EAR=(1+APR/m)m-1EAR=(1+0.08/4)4-1=8.24%EAR=(1+0.18/12)12-1=19.56%EAR=(1+0.12/365)365-1=12.75%为了得到连续复利下的EAR,根据公式EAR=eq-1，可得：EAR=e0.14-1=15.03%17. 计算名义年利率 计算以下情况下的名义年利率（APR）: (%)名义年利率（APR） 复利次数 实际年利率（EAR） 每季一次 10.3 每月一次 9.4 每天一次 7.2 无限期 15.9答：这里已知实际年利率（EAR），需要得到名义年利率(APR).根据离散复利的公式：EAR=(1+APR/m)m-1 可以得到：APR=m(1+EAR)1/m-1EAR=10.3%=(1+APR/2)2-1 APR=2(1.103)1/2-1=10.05%EAR=9.4%=(1+APR/12)12-1 APR=12(1.094)1/12-1=9.02%EAR=7.2%=(1+APR/52)52-1 APR=52(1.072)1/52-1=6.96%解连续复利下的EAR公式：EAR=eq-1可得：APR=Ln（1+EAR）=Ln（1+15.9%）=14.76%
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