习题答案第5章时变电磁场和平面电磁波解读.doc

第5章 时变电磁场和平面电磁波5.1 / 5.1-1 已知z2=1+j，求复数z的两个解。2解 z=1+j=jj2e z1=2e=1.189ej22.5=1.099+j0.455j22.5 z2=-1.189e=-1.099-j0.4555.2 / 5.1-2 已知是正实数，试证：(a)若1,解 ( a) 1:+2ejtan-1e(j= cos+jsin 1+j 222+j=+2ejtan-1 ej= co+jsi 44=(1+j)2=e+je，H（t）的复振幅为H =h+jh，试证5.3 / 5.1-3设E（t）的复振幅为Eii H ejt，并求E（t）E(t)H(t)ReE、H（t）。ejt=1E ejt+E *e-jt 解 E(t)=ReE(2)1 jt *e-jt He+H21 * * H ej2t+E *H *e-j2t 得 E(t)H(t)=EH+EH+E41 H *+E H ej2tReE H ejt =ReE2H(t)=()()E(t)=Re(e+jei)ejt=Re(e+jei)(cost+jsint)=ecost-eisint 1 H(t)=Re(h+jhi)ejt=hcost-hisint E(t)H(t)=ehcos2t+eihisin2t-ehicostsint-eihcostsint =1eh+eihi+(eh-eihi)cos2t-(ehi+eih)sin2t 2可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换： E0sin(t-kz)+y3E0cos(t-kz)； (a) (t)=xE0sint+3E0cos t+(b) (t)=x+jy)e(c) =(xjH0e(d) =-y； 6-jkz； 。 -jkzsin-j-jkzE0ee2+y3E0e-jkz=(-jx+y3)E0e-jkz 解 (a) =xj-j3311=x E0e2+3E0e6=xE0-j+3 E0 (b) =x+j+j 2 222cos(t-kz)+ycos t-kz+(c) (t)=xcos(t-kz)-ysin(t-kz) =x2H0co (d) (t)=yst-kzsin-H0sin(t-kzsin) =y2E0sin(t-kz)5.5 / 5.2-1 已知自由空间某点的电场强度(t)=x(a) 磁场强度(t)；(b) 坡印廷矢量(t)及其一周T=2/内的平均值S解 (a） v(Vm)，求 。Ekjt=y0sin(t-kz) (t)=ReE0cos t-kz-=y020式中 0k=0=00E020=0 022Ey01-cos2(t-kz) sin(t-kz)=z(b) (t)=(t)(t)=x020av1=TT0E0 (t)dt=z2025.6 / 5.2-2 对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。解 无源区限定形式麦氏方程为=-j (1) =j (2) (3) (4) +=0 =0, 即()=0 (由(1), =-j2) ()-=-j(+) (22+=-+j 利用(2)(3)后, 再利用(1)式代入, 得 +2+ 2 =0 +-jk1zE10e5.7 / 5.3-1设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为1=x试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。证1 av122E10E20av=z， 2=z 202022E10+E20=z=1av+2av 20E20e，2=y-jk2z，故 avE10-jk1z-jk1z=1z=y=xEee证2 ， 1101100E20-jk2z-jk2z=1z=-x=yEee， 2202200av12E102E101*=Re11=Rez， =z20220av22E20*=Re22=z 20E10jk1zE20jk2z1*+*=Re1x-jk1z-jk2z Sav=Re+Ee+yEeye-xe 12121020 0220()()()222E102E20E10+E20=Rez+z=1av+2av =z202020，外5.8 / 5.3-2同轴线内导体半径为a，外导体内半径为b，某截面处内外导体间电压的复振幅为U。试用复坡印廷矢量计算内、外导体间向负载传输的总功率。 导体上电流的复振幅为II *b1U1 *22d=UI 解 P=ds=Sab24lna5.9 / 5.3-3在理想导体平面上方的空气区域（z0）存在时谐电磁场，其电场强度为E0sinkzcost。 (t)=x(a) 求磁场强度(t)；(b) 求在z=0，/4k和/2k处的坡印廷矢量瞬时值及平均值；(c) 求导体表面的面电流密度。解 (a) (t)=Rek=yjt2E0coskzsint, 0=E0coskzcos t+=-y200 0E0sn2kzsin2t (b) (t)=(t)(t)=-z40z=0, (t)=0E0sin2t z=, (t)=-z404k2z=2k, (t)=0av1=TavT0E10sin2kz(t)dt=-z40T2T0sin4t=0 T或 j1*2=Re=RezE0sin2kz=0 240(c) s=nz=0jy=zE0E00j=-xE00 j s(t)=Re-x5.10 / 5.3-4EE0co 0sinejt=xst-=xt 0200已知时谐电磁场瞬时值为2Eecos(t+30 )，Ee(t)=xe和，求坡印廷矢量瞬时值2Hecos(t+30 )。请写出其复矢量He(t)=yEeHe。 (t)=e(t)e(t)，并证明其一周平均值为Sv=z2Eee解 e=xj30 =yj30 2He ee22EeHecos (t)=Ee(t)He(t)=zav=EH(t+30)=z ee+EeHecos(2t+60 ) 1T1T EeHe, 得证. ()tdt=zEH+EHcos2t+60dt=zeeee00TT()5.11 / 5.3-5 设时谐电磁场瞬时值为jt,(t)=Imjt (t)=Im试求坡印廷矢量瞬时值(t)=(t)(t)，并求其一周内平均值S解 (t)=Imv。 =21jjtjt*e-jt -(t)=Im=21jjtjt*e-jt -1j2t*-j2t -+e41 *-j2t =ReE2 (t)=(t)(t)=-av=1T11T*j2t1* ()tdt=Re-dt=Re2T02T0()5.12 / 5.4-1 氦氖激光器发射的激光束在空气中的波长为6.32810-7m，计算其频率、周期和波数（标出单位）。解 k=2c=2=9.929106m-1 -76.328103108f=4.7411014Hz -76.32810T=1 =2.10910-15secf5.13 / 5.4-2 人马座星离地球4.33光年，1光年是光在一年中传播的距离。问该星座离地球多少km?解 r=ct=3104.33365243600=4.09710m=4.110km5.14 / 5.4-3 地球接收太阳全部频率的辐射功率密度约为1.4kW/m2。问：(a) 若设到达地面的是单一频率的平面波，则其电场强度和磁场强度振幅多大？(b) 地球接收太阳能总功率约为多少？地球半径为6380km。(c) 若太阳的辐射是各向同性的，那么太阳总辐射功率约为多大？太阳与地球相距约1.5108km。 81613E2=1.3103 解 (a) 20E=201.310=990V/m, H=23263E0=2.63A/m 1711(b) P=S4a=1.410638010=7.1610W=7.1610MW(c) P=S4R2=1.410341.521016106=3.681026W=3.681020MW 65.15 / 5.4-4图5-1所示为对称振子天线。若用它来接收波长的电视信号，当其长度L/2时最有效。问接收下列频道时，L应取多长：(a) 5频道（f0=88MHz）； (b) 8频道（f0=187MHz）；(c) 26频道（f0=618MHz）。 c3108解 (a) =3.41m,f881062c3108=1.604m, (b) =f187106L=L=1.71m 2=0.802mc3108=0.485m(c) =, L=0.243m=24.3cm f6181062E0e5.16 / 5.4-5 设=z-jkz，该电场是否满足无源区麦氏方程组？若满足，求出其场；若不满足，请指出为什么。=-jkE解 =-jkz0e-jkz0 该电场不满足无源区麦氏方程组.)的坡印廷矢量,即不可能沿纵向传播,与假 这是因为该电场无横向分量,因而不会形成沿纵向(z设矛盾.5.17 / 5.4-6 在理想介质中一平面波的电强度为5cos2108t-z(t)=x()(Vm)(a) 求介质中波长及自由空间波长；(b) 已知介质0，=0r，求介质的r；(c) 写出磁场强度的瞬时表示式。5cos210t-z解 (a) (t)=x8()(Vm)f=108Hz, =2f=2108 c31080=3m f108k=2=2, =2=1m k(b) =0 r= 0=9 r或由k=00r, 223108r=3, r=9 210800kkc(c) (t)=1(t)=z10r5cos2108t-z xz()=115cos2108t-z=y0.0398cos2108t-zA/m ycos2108t-z=y37738()()()-y)e5.18 / 5.4-7某一自由空传播的电磁波，其电场强度复矢量为=(x(a) 写出磁场强度复矢量；(b) 求平均功率流密度。解 (a) j -kz4(Vm)。 j -kzj -kz1-34=(x-y)e=zz=(x+y)2.6510e4(A/m) 3771(b) Sav11-y)(x+y)2.6510-3 =Re*=Re(x222.6510-3W/m2 =z5.19 / 5.5-1 分别在3kHz和3GHz计算下列媒质中传导电流和位移电流振幅之比，并指出是否是介质或导体：(a) 海水，r=80，=410-4S/m；(b) 聚四氟乙烯，r=2.1，=10-16S/m；(c) 铜，r=1，=5.8107S/m。解 JcEE =DJdjEt410-4=30; (a) f=3kHz:23103110-98036f=3GHz: =310-5 为介质 10-16(b) f=3kHz=2.8610-10; :23103110-92.136f=3GHz: =2.8610-16 为介质 5.8107(c) f=3kHz=3.481014; :23103110-9136f=3GHz: =3.48108 为导体 5.20 / 5.5-2频率为550kHz的广播信号通过一导电媒质，r=2.1，r=1，/=0.2，求：（a) 衰减常数和相位常数；(b) 相速和相位波长；(c) 波阻抗。解 (a) + =-1221=25501031083212+0.2-1 2=1.6610-3NP/m+ =+122.04+1-3=1.6610.04-1=1.6810-2m-1 2550103=2.06108m/sec (b) vp=-21.6810=2=2=374m 1.6810-2(c) = 1-j=00r-j=3772.1-j0.2=260 1.01-5.65=2575.65 ()5.21 / 5.5-3 对高速固态电路中常用的砷化镓（GaAs）基片，若样品足够大，通过10GHz均匀平面波，r=12.9，r=1，tge=5104，求：(a) 衰减常数（NP/m）; (b) 相速vP（m/s）; (c) 波阻抗c（）。解 (a) 取tane1,则 2+ =-12=210102 112.95104=1.19105(NP/m) 8231021010=5.28105(m/s) (b) vp=51.1910(c) c= 1-j=0.469ej1ej4=377.915104ej44=(1-j)0.332()5.22 / 5.5-4平面波在导电媒质中传播，f=1950MHz，媒质r=r=1，=0.11 S/m。 (a) 求波在该媒质中的相速和波长；(b) 设在媒质中某点E=10-2V/m，求该点的磁场强度； (c) 波传播多大距离后，场强衰减为原来的1/1000？+解 (a) = +11 22 0.11=1+1 9c221.951010-9 362+1=c1.101c3108vp=2.721082.06108m/sec1.1011.1012.72108=0.14m 9f1.95102vp(b) = 1-j=00-j=377-j1.0154=377 () =31622.7 1.194-22.710-2H=.1610-5-22.7 (A/m) 31622.7E1+ (c) =-122=c+1.0154-122=21.951093102-l80.652=18.8NP/m 令 E0e=E0 得 1000l=1ln1000=6.91=0.367m 18.85.23 / 5.5-5 证明电磁波在良导体中传播时，每波长内场强的衰减约为55dB。证 在良导体中, 2, 故每波长内场强的衰减为A1=2=2(NP)=28.686dB=55dB5.24/ 5.6-6铜导线的半径a=1.5mm,求它在f=20MHz时的单位长度电阻和单位长度直流电阻。（注：只要（集肤深度），计算电阻时可把导线近似为宽2的平面导体。）7 解 对铜, =5.8010S/m, =0.0661f=0.066120106=1.4810-5mRs=1=1-3=1.1710 7-55.8101.4810RS1.1710-3=0.124/m 单位长度射频电阻 R1=2a21.510-3单位长度直流电阻 R0=11-3=2.4410/m 2-72-6a5.8101.5105.25/ 5.5-7 若要求电子仪器的铝外壳至少为5个集肤深度厚，为防止20kHz200MHz的无线电干扰，铝外壳应取多厚？解f=20kHz: 1=2=2-4=5.9810m 3-77220104103.5410f=200MHz: 2=5.9810-6m取h=5 1=55.9810-4=2.9910-3m3mm5.26/ 5.5-8 若10MHz平面波垂直射入铝层，设铝层表面处磁场强度振幅H0=0.5A/m，求： (a) 铝表面处的电场强度E0；经5（集肤深度）后，E为多少？(b) 铝层每单位面积吸收的平均功率。解 (a) Zs=(1+j2107410-7=(1+j 223.54107=(1+j)1.05610-3=1.49310-345 ()E0=H0Zs=0.51.49310-345 =7.4710-445 (V/m) E1=E0e(b) Sav1-5=E0e-5=5.0310-645 (V/m) 11=ReE0H*=Re7.4710-4ej450.5 221=7.4710-4cos45 =1.3210-4W/m2 4()5.27/ 5.5-9飞机高度表利用接收所发射的电脉冲的地面回波来测高。若地面上有d=20cm厚的雪，对3GHz的电磁波，雪的参数为r=1.2，tane=310-4。问：(a) 雪层引起的测高误差多大？（设高度表按h=（1/2）高度，c为空气中光速，t为地面回波延迟的时间，参看题图5-2）。(b) 由雪层引起的回波信号衰减约多少dB？（忽略各交界面处的反射损失。）解 (a） v=ct计算cr=3108.2=2.74108来回通过雪层时间为t=2d20.2-9=1.4610sec 8v2.7410测高误差h=1(c-v)t=1(3-2.74)1081.4610-9=1.910-2m=1.9cmb）22=2f1+ -1=+tg2e-122v2121122=2310922.74108+910-8-1 12=0.0103NP/m=0.0895dB/m雪层引起的衰减为：2d=0.089520.2=0.0358dB5.28 / 5.6-1 证明：在等离子体中vBv，v是电子速度。E0e证 设E=z-jkz=-j 由Maxwell方程组（a） =-j 即 -jkz得 E=Bk1=cr当ffp（fp为等离子体频率），电磁波通过等离子体的传播条件成立，有 r=1-fpf22cv Br5.29 / 5.7-1 以下各式表示的是什么极化波？E0sin(t-kz)+yE0cos(t-kz)； (a) =xE0cos(t-kz)+y2E0cos(t-kz)； (b) =xE0cos t-kz+ (c) =x+yEcost-kz- ； 044E0sin t+kz+ (d) =xE0cos t+kz-。 +y43答 (a) 左旋圆极化波(b) 线极化波(c) 右旋圆极化波(d) 右旋椭圆极化波5.30 / 5.7-2 将下列线极化波分解为圆极化波的叠加：E0e (a) =x-jkz；E0e-jkz-yE0e-jkz。 (b) =xE0e 解 (a）=x-jkz+jy)+(x-jy)=(xE0-jkz+RE0e-jkz e=L22()=(x=(x+jy)/2,R-jy)/2分别为左右旋圆极化波的电场单位矢量 式中，L-y)E0e-jkz=(x-y)+j(x+y)+(x-y)-j(x+y)(b）=(x-y)+j(x+y)(x-y)-j(x+y)(x-jkz=+2E0e 2222E0-jkze 2-y)E0e或 =(x-jkz+jy)+(x-jy)+(jx-y)+(-jx-y)=(xE0-jkze 2E0-jkzE0-jkzj-j-jkz=L+R+jL-jRe=L(1+j)+R(1-j)e= Le+ReE0e55.31 / 225.7-3在r=5，r=2，=0的媒质中，一椭圆极化波的磁场强度有二相互垂直的分量（都垂直于传播方向），振幅分别为3A/m和4A/m，后者相位引前45o。试求： (a) 轴比rA，倾角及旋向；(b) 通过与其传播方向相垂直的5m2面积的平均功率。 3+y4e解a）=x(j45 )e-jkz -jkz4ej45-y3= =-z xe Ey 33=-e-j45=ej135 Ex44=3=0.75,=135 , 为右旋椭圆极化波 4220.75 tg2=cos=cos135=-2.424,2=-67.58,=-33.79221-1-0.7514a2+2cos2+t=2sin212=0.752+1+122=3.34,rA=t+-1=6.53 20.75rA=2.56或2rA324sin33.79 +sin-67.58 cos35 +cos233.79 asin+sin2cos+acos1.806565=6.5272-12340.276768acos-sin2cos+asincos233.79 +sin67.58 cos135 +sin233.79432-12()rA=2.56b）Sav=Ex+Ey22242+322252=377r=4712.5=2980W2 m22r5P=SavA=29805=1.49104W=14.9KW