2019年中考数学专题复习第二十六讲相似图形含详细参考答案.doc

2019年中考数学专题复习第二十六讲 相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度单位的两条线段，的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比，即：= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做成比例线段，简称 3、比例的基本性质：= 4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段 ，推论：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段 。【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须采用相同的 ，在采用了相同单位的前提下，两条线段的比值与采用的单位无关 即比值没有单位。2、黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC）如果 那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫黄金比，即= 】二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两边是延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似 两边对应 且夹角 的两三角形相似 两角 的两三角形相似 三组对应边的比 的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证 判定方法中最常用的是 ，三组对应边成比例的两三角形相似多用格点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】四 位似： 1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点的连线 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】【重点考点例析】考点一：平行线分线段成比例例1 （2018嘉兴）如图，直线l1l2l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则= 【思路分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答【解答】解：，=2，l1l2l3，=2，故答案为：2【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键考点二：位似例2（2018潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（）A（2m，2n）B（2m，2n）或（-2m，-2n）C（m，n）D（m，n）或（-m，-n）【思路分析】根据位似变换的性质计算即可【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（m2，n2）或（m（-2），n（-2），即（2m，2n）或（-2m，-2n），故选：B【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k考点三：相似三角形的性质及其应用例3 （2018江西）如图，在ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长【思路分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出BC=CD=4，证AEBCED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE， ， ，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=4【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出AE=2CE和ABECDE是解此题的关键考点四：相似三角形的判定例4（2018邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF写出图中任意一对相似三角形： 【思路分析】利用平行四边形的性质得到ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了平行四边形的性质考点五：相似三角形的判定和性质例5（2018福建）如图，在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D（1）求BDF的大小；（2）求CG的长【思路分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，ABD=45，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出ADE=ACB，进而得出ADEACB，得出比例式求出AE，即可得出结论【解答】解：（1）线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，DAB=90，AD=AB=10，ABD=45，EFG是ABC沿CB方向平移得到，ABEF，BDF=ABD=45；（2）由平移的性质得，AECG，ABEF，DEA=DFC=ABC，ADE+DAB=180，DAB=90，ADE=90，ACB=90，ADE=ACB，ADEACB， ，AC=8，AB=AD=10，AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出ADEACB是解本题的关键考点六：相似形的综合题例6（2018宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BAC=ADC求证：ABC是比例三角形（3）如图2，在（2）的条件下，当ADC=90时，求 的值【思路分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得；（2）先证ABCDCA得CA2=BCAD，再由ADB=CBD=ABD知AB=AD即可得；（3）作AHBD，由AB=AD知BH=BD，再证ABHDBC得ABBC=BHDB，即ABBC=BD2，结合ABBC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案【解答】解：（1）ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，当AB2=BCAC时，得：4=3AC，解得：AC=；当BC2=ABAC时，得：9=2AC，解得：AC=；当AC2=ABBC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，ABC是比例三角形；（2）ADBC，ACB=CAD，又BAC=ADC，ABCDCA， ，即CA2=BCAD，ADBC，ADB=CBD，BD平分ABC，ABD=CBD，ADB=ABD，AB=AD，CA2=BCAB，ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AHBD于点H，AB=AD，BH=BD，ADBC，ADC=90，BCD=90，BHA=BCD=90，又ABH=DBC，ABHDBC， ，即ABBC=BHDB，ABBC=BD2，又ABBC=AC2，BD2=AC2，【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质【备考真题过关】一、选择题1（2018白银）已知（a0，b0），下列变形错误的是（）A B2a=3bC D3a=2b2（2018昆明）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算-1的值（）A在1.1和1.2之间B在1.2和1.3之间C在1.3和1.4之间D在1.4和1.5之间3.（2018乐山）如图，DEFGBC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）AEG=4GCBEG=3GCCEG=GCDEG=2GC4（2018邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作ABx轴于点B将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到COD，则CD的长度是（）A2 B1 C4 D2 5（2018重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A3cmB4cmC4.5cmD5cm6（2018内江）已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为（）A1：1B1：3C1：6D1：97（2018临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD8（2018自贡）如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若ADE的面积为4，则ABC的面积为（）A8B12C14D16二、填空题9（2018成都）已知 ，且a+b-2c=6，则a的值为 10（2018常州）如图，在ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 11（2018广州）如图，CE是ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：四边形ACBE是菱形；ACD=BAE；AF：BE=2：3；S四边形AFOE：SCOD=2：3其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）12（2018连云港）如图，ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DEBC，AD：DB=1：2，则ADE与ABC的面积的比为 三、解答题13 （2018安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1，画出线段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位14（2018宁夏）已知：ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-2），B（-5，-4），C（-1，-5）（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将ABC放大为原来的2倍，得到A2B2C2，请在网格中画出A2B2C2，并写出点B2的坐标15（2018上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点E、F（1）求证：EF=AE-BE；（2）连接BF，如果 求证：EF=EP16（2018陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线已知：CBAD，EDAD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽AB17（2018郴州）在矩形ABCD中，ADAB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PFBC，交对角线BD于点F（1）如图1，将PDF沿对角线BD翻折得到QDF，QF交AD于点E求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2，将PDF绕点D逆时针方向旋转得到PDF，连接PC，FB设旋转角为（0180）若0BDC，即DF在BDC的内部时，求证：DPCDFB如图3，若点P是CD的中点，DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此时tanDBF的值，如果不能，请说明理由2019年中考数学专题复习第二十六讲 相似图形参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解【解答】解：由得，3a=2b，A、由等式性质可得：3a=2b，正确；B、由等式性质可得2a=3b，错误；C、由等式性质可得：3a=2b，正确；D、由等式性质可得：3a=2b，正确；故选：B【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积2.【思路分析】根据2.236，可得答案【解答】解：2.236，-11.236，故选：B【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用2.236是解题关键3.【思路分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案【解答】解：DEFGBC，DB=4FB， 故选：B【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键4.【思路分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案【解答】解：点A（2，4），过点A作ABx轴于点B将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到COD，C（1，2），则CD的长度是：2故选：A【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键5.【思路分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： ，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等6.【思路分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为1：9，故选：D【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键7.【思路分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=180-45=135，A、C、D图形中的钝角都不等于135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，图B中的三角形（阴影部分）与ABC相似，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键8.【思路分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC， =， ，ADE的面积为4，ABC的面积为：16，故选：D【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADEABC是解题关键二、填空题9.【思路分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案【解答】解：，设a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12故答案为：12【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键10.【思路分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围【解答】解：如图所示，过P作PDAB交BC于D或PEBC交AB于E，则PCDACB或APEACB，此时0AP4；如图所示，过P作APF=B交AB于F，则APFABC，此时0AP4；如图所示，过P作CPG=CBA交BC于G，则CPGCBA，此时，CPGCBA，当点G与点B重合时，CB2=CPCA，即22=CP4，CP=1，AP=3，此时，3AP4；综上所述，AP长的取值范围是3AP4故答案为：3AP4【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等11.【思路分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可；【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，EC垂直平分AB，OA=OB=AB=DC，CDCE，OADC， ，AE=AD，OE=OC，OA=OB，OE=OC，四边形ACBE是平行四边形，ABEC，四边形ACBE是菱形，故正确，DCE=90，DA=AE，AC=AD=AE，ACD=ADC=BAE，故正确，OACD， ， ，故错误，设AOF的面积为a，则OFC的面积为2a，CDF的面积为4a，AOC的面积=AOE的面积=3a，四边形AFOE的面积为4a，ODC的面积为6aS四边形AFOE：SCOD=2：3故正确，故答案为【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型12.【思路分析】根据DEBC得到ADEABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解【解答】解：DEBC，ADEABC，AD：DB=1：2，AD：AB=1：3，SADE：SABC是1：9故答案为：1：9【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键三、解答题13.【思路分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；（3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；（2）如图所示，线段A2B1即为所求；（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，四边形AA1B1A2的面积是 故答案为：20【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键14.【思路分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1即为所求：（2）如图所示：A2B2C2即为所求；B2（10，8）【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键15.【思路分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用和AF=BE得到，则可判定RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和DAF中 ，ABEDAF，BE=AF，EF=AE-AF=AE-BE；（2）如图，而AF=BE，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即BE平分FBP，而BEEP，EF=EP【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质16.【思路分析】由BCDE，可得 ，构建方程即可解决问题【解答】解：BCDE，ABCADE， ， ，AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型17.【思路分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知DFQ=ADF，所以DEF是等腰三角形；（2）由于PFBC，所以DPFDCB，从而易证DPFDCB；由于DFB是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论【解答】解：（1）由翻折可知：DFP=DFQ，PFBC，DFP=ADF，DFQ=ADF，DEF是等腰三角形，（2）若0BDC，即DF在BDC的内部时，PDF=PDF，PDF-FDC=PDF-FDC，PDC=FDB，由旋转的性质可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCB ，DPCDFB当FDB=90时，如图所示，DF=DF=BD，tanDBF=，当DBF=90，此时DF是斜边，即DFDB，不符合题意，当DFB=90时，如图所示，DF=DF=BD，DBF=30，tanDBF=。【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识