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第一章 随机事件及其概率一、选择题：1设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是： （ ） A BC D2设 则 （ ） A=1-P（A） BC P(B|A) = P(B) D3设A、B是两个事件，P（A） 0，P（B） 0,当下面的条件（ ）成立时，A与B一定独立A BP（A|B）=0CP（A|B）= P（B） DP（A|B）= 4设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则 为： （ ）Aa-b Bc-bCa(1-b) Db-a5设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是 （ ）AA与B互不相容 BA与B相互独立CA与B互不独立 D与互不相容6设A与B为两个事件，P（A）P（B） 0，且，则一定成立的关系式是（ ）AP（A|B）=1 BP(B|A)=1C D7设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A BC D8设事件A与B互不相容，则有 （ ）AP（AB）=p（A）P（B） BP（AB）=0C与互不相容 DA+B是必然事件9设事件A与B独立，则有 （ ）AP（AB）=p（A）P（B） BP（A+B）=P（A）+P（B）CP（AB）=0 DP（A+B）=110对任意两事件A与B，一定成立的等式是 （ ）AP（AB）=p（A）P（B） BP（A+B）=P（A）+P（B）CP（A|B）=P（A） DP（AB）=P（A）P（B|A）11若A 、B是两个任意事件，且P（AB）=0，则 （ ）AA与B互斥 BAB是不可能事件CP（A）=0或P（B）=0 DAB未必是不可能事件12若事件A、B满足，则 （ ）AA与B同时发生 BA发生时则B必发生CB发生时则A必发生 DA不发生则B总不发生13设A、B为任意两个事件，则P（A-B）等于 （ ）A BC D 14设A、B、C为三事件，则表示 （ ）AA、B、C至少发生一个 BA、B、C至少发生两个CA、B、C至多发生两个 DA、B、C至多发生一个15设0 P (A) 1. 0 P (B) a）= P（X 0, 则为 （ ）A任意正数 B = b + 1C D5设 是X的概率函数，则，c一定满足（ ）A 0 Bc 0Cc 0 Dc 0 且 06若y = 是连续随机变量X的概率密度，则有 （ ）Af (x)的定义域为0，1 Bf (x)的值域为0，1Cf (x)非负 Df (x)在上连续7设分别是随机变量与的分布函数，为使是某有随机变量X的分布函数，则应有 （ ）Aa = 3/5 , b = 2/5 Ba = 3/5 , b = -2/5Ca = 1/2, c = 1/2 Da = 1/3, b = -1/38设随机变量X服从正态分布XN（0，1） Y=2X-1，则Y （ ）AN（0，1） BN（-1，4）CN（-1，1） DN（-1，3）9已知随机变量X服从正态分布N（2，22）且Y=aX+b服从标准正态分布，则 （ ）Aa = 2 , b = -2 Ba = -2 , b = -1Ca = 1/2 , b = -1 Da = 1/2 , b = 110若XN（1，1）密度函数与分布函数分别为与 ，则 （ ）A BC D11设，则随的增大，概率 （ ）A单调增加 B单调减少C保持不变 D增减不定12如果，而 ，则P（X1.5）= （ ）A BC D13设随机变量，且，则c= （ ）A0 BC D/14设随机变量X的概率密度为是X的分布函数，则对任意实数有 （ ）A B C D15设随机变量X的分布函数为，则的分布函数为 （ ）A BC D16设随机变量X的分布函数为为 （ ）A B0C D17设分别是随机变量、的分布函数，若为某一随机变量的分布函数，则 （ ）A= 0.5，b = 0.5 B= 0.3，b = 0.6C= 1.5，b = 0.5 D= 0.5，b = 1.518设 ，且EX=3， P=1/7，则 = （ ） A7 B14C21 D4919如果是连续随机变量的分布函数，则下列各项不成立的是 （ ）A在整个实轴上连续 B在整个实轴上有界 C是非负函数 D严格单调增加20若随机变量X的 概率密度为 则c 为 （ ）A任意实数 B正数C1 D任何非零实数21若两个随机变量X与Y相互独立同分布，且PX = -1 = PY = -1=PX = 1= PY = -1=1/2，则下列各式成立的是 （ ）APX = Y = 1/2 BPX = Y = 1CPX + Y = 0 = 1/4 DPX Y = 1 = 1/4 22设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为与，则Z = max (X,Y)的分布函数为 （ ）A BC D23设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为与，则Z = min (X,Y)的分布函数为 （ ）A BC D24设X，Y是两个随机变量，且，则= （ ）A BC D25若随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则X与Y的随机变量 （ ）A独立同分布 B独立不同分布C不独立同分布 D不独立也不同分布26若随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则X与Y的随机变量 （ ）A独立同分布 B独立不同分布C不独立同分布 D不独立也不同分布27若随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则X与Y的随机变量 （ ）A独立同分布 B独立不同分布C不独立同分布 D不独立也不同分布28若X与Y独立且都在0，1上服从均匀分布，则服从均匀分别的随机变量是A（X ，Y） BX + YCX2 DX - Y70若X与Y独立同分布，U = X + Y，V = X Y，则U与V必有 （ ）A相互独立 B不相互独立C相关系数为0 D相关系数不为029设随机变量（X，Y）的可能取值为（0，0）、（-1，1）、（-1，2）与（1，0）相应的概率分别为，则c的值为 （ ）A2 B3C4 D530若X与Y独立，且，则以下正确的是 （ ）A BCPX = Y=0 D均不正确二、填空题：1. 已知，其中 0, 则C = 。2. 如果随机变量X的可能取值充满区间 ，则可以成为X的概率密度。 3.如果随机变量X的概率密度为 ，则 。4. 如果随机变量X的概率密度为，则X的分布函数为 。5. 如果随机变量X的概率分布为，则为 。6. 若随机变量X的分布函数为，则A = .B = .7. 若随机变量X的概率密度为 ，则C = .8. 若 ，其中，则 .9. 若随机变量X的分布函数为 ，则A = .10. 若随机变量X的分布函数为 ，则X的概率密度为 .11. 若随机变量X的概率密度为 ，则X的分布函数为 .12. 若随机变量X的概率密度为 ，则事件= .13. 若随机变量X的概率密度为 ，则C = .14. 若随机变量X在0，1上服从均匀分布，Y = 2X +1 的概率密度为 .15. 若随机变量X的概率密度为 ，则系数A = .16. 若随机变量X的概率密度为，则事件= .17. 若随机变量X的概率密度为，则X的分布函数为 .18. 设随机变量X B（4，0.1）, Y = X2 , 则PY1 = .19. 设随机变量X B（2，P）, Y B (3, P ) ，且，则= .20. 若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 .21. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，PX = -1 = PY = -1= PX = 1= PY = 1 = 1/2，则PX = Y = .22. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，PX = -1 = PY = -1= PX = 1= PY = 1 = 1/2，则PX +Y = 0 = .23. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，PX = -1 = PY = -1= PX = 1= PY = 1 = 1/2，则PX Y = .24. 设随机变量X与Y相互独立且同分布，PX = -1 = PY = -1= PX = 1= PY = 1 = 1/2，则PX Y = .25. 设随机变量X与Y相互独立且，则= 。26. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则随机变量X的边缘分布密度为= 。27. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则随机变量Y的边缘分布密度为= 。28. 若随机变量X与Y独立，其概率密度分别为，则（X、Y）的联合概率密度为 = 。29. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则C = 。30. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则C = 。31. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则X的边缘概率密度为= .32. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则Y的边缘概率密度为= 。33. 若随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ，则= 。34. 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为，则系数A、B、C分别为 = 。35. 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为，则随机变量X的边缘分布函数为= 。36. 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为，则随机变量Y的边缘分布函数为= 。37. 若随机变量（X，Y）的联合分布函数为，则随机变量（X，Y）的联合概率密度为= 。38. 若随机变量（X，Y）在以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，则随机变量（X，Y）的联合概率密度为= 。三、判断题：1. 若是随机变量X的概率密度，则有。2. 若是随机变量X的概率密度，则。3. 若是随机变量X的概率密度，则。4. 若是随机变量X的概率密度，则。5. 若是连续变量X的概率密度，则连续。6. 若是连续变量X的分布函数，则。7. 若是连续变量X的分布函数，则。8. 若是连续变量X的分布函数，则。9. 若是连续变量X的分布函数，则。0. 若是连续变量X的分布函数，则是单调不减函数。11. 若X是连续型随机变量，则对任意实数有。12. 若对存在实数，使，则X是连续型随机变量。13. 若随机变量X的概率函数为 ，则。14. 若随机变量X的概率函数为 ，则。15. 若X是离散随机变量，则X的分布函数处处不连续。16. 若X是连续随机变量，则X的分布函数是连续的。17. 若是可连续随机变量的密度函数，则一定有界。18. 若是可连续随机变量的分布函数，则一定有界。19. 若与分别是随机变量X的概率密度与分布函数，则。20. 若与分别是随机变量X的概率密度与分布函数，则。21. 若是（X，Y）的联合分布函数，与分别是X与Y的边缘分布函数，则。22. 若是（X，Y）的联合分布函数，与分别是X与Y的边缘分布函数，且，则X与Y独立。23. 若（X，Y）的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式， ，则X与Y独立。24. 若随机变量X与Y独立，则， 。25. 若是二维连续随机变量（X，Y）的分布函数，则是连续的。26. 若是二维连续随机变量（X，Y）的密度函数，则一定连续。27. 若是二维连续随机变量（X，Y）的分布函数，则是非负有界函数。28. 若是二维连续随机变量（X，Y）的密度函数，则是非负有界函数。29. 若（X，Y）是二维均匀分布，则边缘分布X也是均匀分布。30. 若（X，Y）是二维正态分布，则X的边缘分布也是正态分布。31. 若X与Y独立，且X与Y均服从均匀分布，则X+Y也服从均匀分布。32. 若X与Y独立，且X与Y均服从正态分布，则X+Y也服从正态分布。33. 若X与Y独立，且X与Y均服从二项分布，则X+Y也服从二项分布。34. 若X与Y独立，且X与Y均服从泊凇分布，则X+Y也服从泊凇分布。35. 若和分别是X与Y的分布函数，则可以作为某个随机变量的分布函数。36. 若和分别是X与Y的密度函数，则可以作为某个随机变量的密度函数。37. 若和分别是X与Y的分布函数，则可以作为某个随机变量的分布函数。38. 若和分别是X与Y的密度函数，则可以作为某个随机变量的密度函数。39. 若和分别是X与Y的分布函数，且X与Y独立，则是X+Y的分布函数。40. 若和分别是X与Y的密度函数，且X与Y独立，则的密度函数。四、计算题：1设连续随机变量X的概率密度为，求：（1）常数A的值；（2）X落在区间0，1内的概率；（3）随机变量X的分布函数。2若随机变量X在区间0，2上服从均匀分布，求：（1）X的概率密度；（2）X的分布函数。3设随机变量X的概率密度为 ，求：（1）系数A；（2）X落在区间内的概率；（3）X的分布函数。4设随机变量X的概率密度为，求：（1）系数A；（2）X落在区间（0，1）内的概率；（3）X的分布函数。5设随机变量X在上服从均匀分布，即概率密度为， 求：（1）随机变函数的概率密度；（2）X的分布函数。6设随机变量X的概率密度为 ， 求：（1）X的分布函数。（2）的概率密度。7设连续随机变量X的分布函数， 求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（-1，1）内的概率；（3）X的概率密度。8设随机变量X的分布函数为 求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（0，1）内的概率；（3）X的概率密度。9设随机变量X的分布函数为 求：（1）系数A的值。（2）X的概率密度函数。10设X在区间2，6上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，用Y表示观测值大于3的次数，求：（1）Y的概率密度分布；（2）。11袋中有2个白球与3个黑球，每次从其中任取1个球后不放回，直到取得白球为止，求：（1）取球次数X的概率分布；（2）X的分布函数。12一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现有4颗子弹，求命中后尚余子弹数X的概率分布及分布函数。13从五个数1，2，3，4，5中任取3个数，求：（1）的概率分布；（2）。14直线上一质点从原点开始作随机游动，每单位时间可以向左或向右移动一步，向左的概率为p，向右的概率为q=1-p，每步保持定长L，求：（1）三步后质点位置X的概率分布；（2）。15对某一目标进行射击，直到击中为止，如果每次射击命中率为p，求：（1）射击次数X的概率分布；（2）X的分布函数。16设随机变量,即X的概率函数为 求：（1）为何值时，最大；（2）最大值是多少。17设随机变量，即X的概率函数为 求：（1）为何值时，最大；（2）最大值是多少。18设随机变量X的概率分布为X -2-101230.10.20.250.20.150.1 求：（1）X的分布函数；（2）的概率分布。19设随机变量X的概率函数为 ， 求：的概率分布。20若随机变量X B（3，0.4），即X的概率分布为 求：（1）X的分布函数；（2）的概率分布。21已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，从这批产品中任取4件产品，用X及Y分别表示取出的4件产品中一等品及二等品的件数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。22一批产品中共有100件产品，其中5件是次品，现进行不放回抽样，抽取2件产品，用X与Y分别表示第一次与第二次取得的次品数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y的边缘分布。23把3个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，用X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。24一整数X随机地在1、2、3中取一值，另一整数随机地在1到X中取一值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。25一枚均匀硬币连掷两次，用X与Y分别表示第一次及第二次出现正面的次数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。26设二维随机变量（X,Y）在矩形域上服从均匀分布，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。27设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 ，求：（1）X与Y的边缘概率密度；（2）X与Y是否独立。28设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 求：（1）系数A、B及C；（2）（X，Y）的联合概率密度。29设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 ， 求：（1）系数A；（2）（X，Y）的联合分布函数。30设随机变量X与Y独立，X U（0，2），Ye (2)，即 ， ， 求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）PXY31设随机变量（X，Y）的联合概率分布为 求：（1）X与Y的边缘分布；（2）的概率密度。32设随机变量（X、Y）的联合概率分布为 YX -112-12求：（1）X与Y的边缘分布；（2）Z = X+Y的概率分布。33设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的概率分布为 X -3-2-1Y 123 求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。34设随机变量X与Y独立，且都服从二项分布： 求：Z = X+Y的概率分布。35设随机变量X与Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）Z = X+Y的概率分布。36已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为 ， 求：（1）联合分布函数；2）X与Y的边缘概率密度。37设U与V独立同分布，且 又设， 求：（X，Y）的联合概率分布。38已知 令求：（X、Y）的联合概率分布。39已知随机变量X与Y的概率分布为X -101Y 01 且PXY = 0=1，求：（1）（X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y是否独立。40设随机变量U在-2，2 上服从均匀分布，令，求：（X，Y）的联合概率分布。第二章、随机变量极其分布1解：（1）由 得 （2）所求的概率为 （3）由 得 2解：（1）由题设X的概率密度为 再由 得 （2）根据 得 当 时， 当时， 当时，有综上所述，得 3解：（1）根据得 （2）所求的概率为 （3）根据 得 当时， 当时， 当时， 综上所述，得 4解：（1）根据 得 （2）所求的概率为 （3）根据得 当 时 当 时 综上所述，得 5解：对于任意的实数y, 我们有 因为随机变量X的取值区间是0，所以随机变量Y的取值区间是0，1，易知：（1） 当时，（2） 当时，（3） 当时，所以，随机变量Y的分布函数 上式两边对y求导，得Y的概率密度为6解：（1）根据 得 当 时， 当时， 当时， 综上所述，得 （2）由于X的可能取值区间为0，1，故的可能取值区间为0，1， 的分布函数为 当时， 当时， 当时，故综上所述，得故的概率密度为 7解：（1）由 解之得 ， （2）所求的概率为 （3） 8解：（1）由 解之得 （2）所求的概率为 （3） 9解：（1）由的连续性有 得 A = 1 （2） 10解：（1）由题设X的概率密度为 从而 由于Y表示观测值大于3的次数，故Y服从参数为 的二项分布，即， Y的概率分布为 （2）故所求的概率为 11解：（1）设随机变量X是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以X的可能值是1，2，3，4. 易知 因此，所求的概率分布为：X 1 2 3 4 P（xi） 0.4 0.3 0.2 0.1（2）根据 得 12解：（1）X的可能值是0，1，2，3. 易知因此，所求的概率分布为X 0 1 2 3 P（xi） 0.064 0.096 0.24 0.6（2）根据 得13解：（1）X的可能值是3，4，5. 易知因此，所求的概率分布为X 3 4 5 P（xi） 0.1 0.3 0.6（2）故所求的概率为14解：（1）X的可能值是. 易知因此，所求的概率分布为X 2）故所求的概率为15解：（1）X的可能值是. 易知 这就是X的概率函数。（2）根据 得 当 时， 当时 综上所述，得 16解：已知X的概率密度函数为 考虑比值 由此可知 当时，上式右端大于1，有 即概率函数单调增加 当时，上式右端小于1，有
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