数学分析高等数学导数与微分习题有答案.doc

导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数例题:例1 试确定a、b之值,使函数在(-,+)内可导,并求fx例2 设 证明在处连续,可微,且导函数在处连续,但在处不可导例3 设在处可导,求例4 求下列函数的导数() () () 例5 设和是可导函数,求函数的导数.例6 设由方程确定,其中是的可微函数,试求.例7 已知例8 设且处处可微,求.例9 求下列函数的高阶导数() () () () .例10 设函数满足:() 对于任意实数,有() 在可导,且.证明: 可导且作业题:求平面曲线与的公切线方程. 答案：例1 试确定a、b之值,使函数 在(-,+)内可导,并求fx解: 欲使在(-,+)内可导,只需在处连续,可导,由 而在处连续,得 （1）由在处可导,得 （2）联立(1)与(2)解得,.所以当,时,在处可导,且 例2 设 证明在处连续,可微,且导函数在处连续,但在处不可导证: 因为,故在处连续,又故在处可导,也可微.当时,故导函数在处连续,但故导函数在处不可导例11 设在处可导,求解: 例12 求下列函数的导数() () () () 解: .令故()解:()解: 例13 设和是可导函数,求函数的导数.解:例14 设由方程确定,其中是的可微函数,试求.解:对原式左右求导有解得例15 已知解:例16 设且处处可微,求.解:例17 求下列函数的高阶导数() () () () .()解: 其中为的次多项式,故() 解:将原函数变形得,故() 解:将原函数变形得故() 解:将原函数变形得故例18 设函数满足:() 对于任意实数,有() 在可导,且.证明: 可导且证:首先不恒为零,否则有,与题设矛盾.于是至少存在一点,使.这样,由可得.设为内任一点,则即可导且.作业题:求平面曲线与的公切线方程. 解:设公切线分别与曲线和相切于点, ,并与轴交于点,见图,因为公切线是曲线在点处切线,故其斜率为（1）其方程为,即 ()或,即 ()公切线也是曲线在点处的切线,故其斜率为（）其方程为,即 ()或,即. ()由()、()可得, 由()、()可得, 所以由()、()、()可解得,.故所求公切线方程为