数学分析选讲参考答案.docx

数学分析选讲A/B模拟练习题参考答案1、 选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ）A、若，则是的不定积分，其中为任意常数 B、若在上无界，则在上不可积C、若在上有界，则在上可积D、若在上可积，则在上可积2、设，则当时，有（ B ）A与是等价无穷小 B与同阶但非是等价无穷小C是比高阶的无穷小D是比低阶的无穷小3、若为连续奇函数,则为( A )A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.4、函数在上连续是在上可积的（ A ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件.5、若为连续奇函数,则为( B )A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.6、设 则是的（ B ）A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点7、设,当时,恒有,已知,.则正确的选项是( A )A、 B、 C、 D、A和B的大小关系不定.8、函数f(x,y) 在点连续是它在该点偏导数都存在的（ A ）A.既非充分也非必要条件 B充分条件C.必要条件 D.充要条件9、极限( D )A、 B、 C、 D、不存在.10、部分和数列有界是正项级数收敛的( C )条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要11、极限( A )A、 B、 C、 D、不存在.12、与的定义等价的是（ B D ） A、 总有B、 至多只有的有限项落在之外C、存在自然数N，对当，有D、存在自然数N，对有13、曲线( D )A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线 C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线14、下列命题中，错误的是（ A D ）A、若在点连续，则在既是右连续，又是左连续 B、若对在上连续，则在上连续C、若是初等函数，其定义域为，则D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相等15、设 为单调数列，若存在一收敛子列，这时有（ A ）A、B、不一定收敛C、不一定有界D、当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立16、设在R上为一连续函数，则有（ C ） A、当为开区间时必为开区间B、当为闭区间时必为闭区间C、当为开区间时必为开区间D、以上A,B,C都不一定成立17、下列命题中错误的是（ ）A、若，级数收敛，则收敛；B、若，级数收敛，则不一定收敛；C、若是正项级数，且有则收敛；D、若，则发散18、设 为一正项级数，这时有（ D ）A、若,则 收敛B、若 收敛，则C、若 收敛，则 D、以上A,B,C都不一定成立2、 填空题：（共15题，每题2分）1、设，则 2或-2 2、= 3、= 4、= 2 5、设收敛，则= 10 6、= 7、 2 8、 8 9、设，则 10、设，则 11、幂级数的收敛半径为 1 12、积分的值为 0 13、曲线与轴所围成部分的面积为 36 14、 15、= 0三、计算题：（共15题，每题8分）1、求.解： =2、将展开成的幂级数，并指出其收敛域。解： = = 且由 知 3、求解：原式（有界量乘以无穷小量）4、求解：令，原式 5、求解：原式 6、求极限解：7、设 , 求解：当时，； 8、设，其中为何值时，在x=0处可导，为什么，并求。解：，故要使存在，必须又要使有导数存在,必须b=0.综上可知,当A=b=0,为任意常数时，在x=0处可导，且9、计算下列第一型曲面积分：其中为解: 由平面构成:10、解：11、解：由洛必达（LHospital）法则得12、解：13、 解: 14、 解: 15、解: 四、证明题（共17题，共156分）1、（6分）设函数在上连续，在内可导，且。试证：如果，则方程在内仅有一个实根。证明：因为在上连续，在内可导，于是由零点存在定理知，至少存在一点使得，又，因此知在上为严格格单调增加的，故方程在内仅有一个实根。2、（10分）指出函数的不连续点，并判定不连续点的类型.解： 的不连续点为 又 而在点没有定义，于是知为的第一类不连续点； 为的第二类不连续点；为的第三类不连续点。 3、（10分）设在上连续，在内可导，又，证明在内有.证明：由于又在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，使得，从而在内有4、（12分）设（1）证明在（0，0）点连续（2）求（3）证明在（0，0）点可微解：（1）令则 故在（0，0）点连续。 （2） （3）由于 即在（0，0）点可微. 5、（6分）设在严格单调递减，存在，且试证明.证明：令，则由题意有 6、(10分) 设为可微函数.求，其中（1）解：将已知等式两边对x求导得 （2）将x=0代入(1)式解得，再将x=0代入（2）得7、(10分)在-1x1有意义，证明证明：令，则，即（1）将x=0代入（1）但8、(10分)求幂级数的收敛域。解：由于，则R=2，即当时其绝对收敛又当x+1=2，即x=1时，原级数为发散当，即时，原级数为收敛故原级数的收敛域为9、（7分）证明：当时，.证明：设，则在连续. 则在单调增加。则对任意有，即10、（10分）设在上可微，且满足 (1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使.证明：由(1)式及积分中值定理知，存在，使 (2)令,则由(2)式及假设可知在上满足罗尔定理的条件，故存在使11、(10分) 求的收敛域，并求其和函数.解：设，则由及都发散，可知的收敛域为(1,-1).再由于12、(10分)设 试证明：在x=0处连续.证明： 则因此在x=0处连续.13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：设在上连续，若，则，使得.证明：用反证法. 若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得.14、（10分）设在上连续,且满足.试证:,使得.证明：取变换,则,已知积分等式变为.注意到时,也有,因而在上连续,于是.由此可得,使得.15、（12分）设在上连续,在内可导,且,记,(1)求;(2)求证:,使得;解：(1) ;(2) 因为,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,使得,即;16、（7分）设，试证数列存在极限，并求此极限。证明：由知，。假设，则，由归纳法知为单调下降数列，又显然有，所以有下界。由单调有界原理知，数列收敛，所以可令，对两边取极限得，解得,故17、（10分）设，证明：在处可微；在处不可微。证明：因为，所以函数在处可导，由可导与可微的关系知在处可微；又当时，而极限不存在，故在处不可导，由可导与可微的关系知在处不可微。19