考研数学一试题及答案解析.pdf

2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学 年全国硕士研究生入学统一考试数学 年全国硕士研究生入学统一考试数学 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 一 一 一试题 试题 试题 试题 一 一 一 一、 、 、 、选择题 选择题 选择题 选择题: : : :1 1 1 1 8 8 8 8 小题 小题 小题 小题, , , ,每小题 每小题 每小题 每小题 4 4 4 4 分 分 分 分, , , ,共 共 共 共 32 32 32 32 分 分 分 分. . . .下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四个选项中, , , ,只有一个选项符合题 只有一个选项符合题 只有一个选项符合题 只有一个选项符合题 目要求的 目要求的 目要求的 目要求的, , , ,请将所选项前的字母填在 请将所选项前的字母填在 请将所选项前的字母填在 请将所选项前的字母填在答题纸 答题纸 答题纸 答题纸 指定位置上 指定位置上 指定位置上 指定位置上. . . . (1)已知 0 -arctan lim = k x x x c x ，其中 , k c 为常数，且 0 c ，则 （ ） (A) 1 =2, 2 k c - = (B) 1 =2, = 2 k c (C) 1 =3, 3 k c - = (D) 1 =3, = 3 k c 【答案】D 【解析】因为 0 c 2 2 2 3 1 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1- arctan 1 1+ lim lim lim lim lim (1 ) k k k k k x x x x x x x x x x c x x kx kx x kx k - - - - - = = = = = + 洛 1 1 3 0, 3, , 3 k k c k - = = = = 所以 故选D (2) 曲面 2 cos( ) 0 x xy yz x + + + = 在点 ( ) 0,1, 1 - 的切平面方程为 （ ） （A) 2 x y z - + = - (B) 0 x y z + + = (C) 2 3 x y z - + = - (D) 0 x y z - - = 【答案】A 【解析】曲面在点 (0,1,-1)处的法向量为 (0,1,-1) =( , , ) x y z n F F F (0,1,-1) =(2 - sin ( )+1,- sin ( )+ , ) x y xy x xy z y =(1,-1,1) 故曲面在点 (0,1,-1)处的切面方程为 1 ( -0)-( -1)+( +1)=0, x y z 即 2 x y z - + = - ，选 A (3) 设 1 0 1 ( ) , 2 ( )sin ( 1, 2, ) 2 n f x x b f x n xdx n p = - = = . 令 1 ( ) sin n n s x b n x = = p , 则 9 ( ) 4 s - = （ ） (A) 3 4 (B) 1 4 (C) 1 4 - (D) 3 4 - 【答案】C 【解析】 1 1 - , 0, 2 2 1 ( )= - = 2 1 1 - , ,1 2 2 x x f x x x x 将 ( ) f x 作奇延拓，得周期函数 ( ) F x ，周期 T=2 则 ( ) F x 在点 9 4 x = - 处连续，从而 9 9 1 1 1 1 ( )= ( ) ( )= ( )= f( )= 4 4 4 4 4 4 S F F F - - = - - - - 故选 C (4) 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 : 1, : 2, : 2 2, : 2 2 L x y L x y L x y L x y + = + = + = + = 为四条逆时针方向 的 平 面 曲 线 ， 记 3 3 ( ) (2 ) ( 1,2,3, 4) 6 3 i i L y x I y dx x dy i = + + - = . 则 1 2 3 4 max , , , I I I I = （ ） （A） 1 I （B） 2 I （C） 3 I (D) 4 I 【答案】D 【解析】记 3 3 + , =2 6 3 y x P y Q x = - ，则 2 2 2 2 2 1 =1 + 2 2 Q P y y x x x y - = - - - - ， 3 3 2 2 = + + 2 = = 1 + 6 3 2 i i i i L D D y x Q P y I y dx x dy dxdy x dxdy x y - - - . 用D i 表示L i 所围区域，则有 1 2 3 4 4 1 3 2 5 1 3 2 2 = , = , = , = , . 8 2 8 2 I I I I I I I I p p p 故选 D (5)设 , , A B C 均为n阶矩阵， 若AB C = ,且B可逆， 则 （ ） (A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】B 【解析】将 , A C 按列分块， 1 1 ( ,., ), ( ,., ) n n A C a a g g = = 由于AB C = ,故 11 1 1 1 1 . ( ,., ) . . . ( ,., ) . n n n n nn b b b b a a g g = 即 1 11 1 1 1 1 . ,., . n n n n nn n b b b b g a a g a a = + + = + + 即C的列向量组可由A的列向量线性表示 由于B可逆，故 1 A CB - = ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选 B (6) 矩阵 1 1 1 1 a a b a a 与 2 0 0 0 0 0 0 0 b 相似的充要条件为 （ ） (A) 0, 2 a b = = (B) 0, a b = 为任意常数 (C) 2, 0 a b = = (D) 2, a b = 为任意常数 【答案】B 【解析】令 1 1 1 1 a A a b a a = ， 2 0 0 0 0 0 0 0 B b = ， 因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为 2, ,0 b A的特征方程 1 1 1 0 1 1 1 a a E A a b a b a a a l l l l l l l l - - - - - - = - - = - - - - - - - - 1 0 0 1 a b a a l l l - - = - - - - = ( )( ) 2 2 2 b a l l l - - - ， 因为 2 l = 是A的特征值，所以 2 0 E A - = 所以 2 2 0 a - = ，即 0 a = . 当 0 a = 时， ( )( ) 2 E A b l l l l - = - - ， A的特征值分别为 2, ,0 b 所以b为任意常数即可. 故选 B. (7) 设 1 2 3 , , X X X 是随机变量，且 1 (0,1) X N , 2 2 (0, 2 ) X N , 2 3 (5,3 ) X N ， 2 2 ( 1,2,3) i i p P X i = - = ,则 （ ） (A) 1 2 3 p p p (B) 2 1 3 p p p (C) 3 1 2 p p p (D) 1 3 2 p p p 【答案】A 【解析】 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 (2) ( 2) 2 (2) 1, 0 2 0 2 0 2 2 (1) ( 1) 2 (1) 1, 2 2 2 5 2 5 2 5 7 7 2 2 ( 1) (1), 3 3 3 3 3 p P X X p P X P X p P X P = - = F - F - = F - - - - - = - = = F - F - = F - - - - - = - = = F - - F - = F - F 由下图可知， 1 2 3 p p p ,选 A. (8) 设随机变量 ( ) X t n ， (1, ) Y F n ，给定a (0 0.5) a =（ ） (A) a (B) 1 a - (C) 2a (D)1 2a - 【答案】C 【解析】 ( ) X t n ，则 2 (1, ) X F n 2 2 2 2 2 P Y c P X c P X c P X c P X c a = = + = ,选 C. 二 二 二 二、 、 、 、填空题 填空题 填空题 填空题： ： ： ：9 9 9 9 14 14 14 14 小题 小题 小题 小题, , , ,每小题 每小题 每小题 每小题 4 4 4 4 分 分 分 分, , , ,共 共 共 共 24 24 24 24 分 分 分 分. . . .请将答案写在 请将答案写在 请将答案写在 请将答案写在答题纸 答题纸 答题纸 答题纸 指定位置上 指定位置上 指定位置上 指定位置上. . . . (9) 设函数 ( ) y f x = 由方程 (1 ) x y y x e - - = 确定，则 1 lim ( ) 1 n n f n - = _ 【答案】1 【解析】 0 x = 时， 1 y = 方程两边对x求导得 (1 ) 1 (1 ) x y y e y xy - - = - - 所以 (0) 1 y = y x 1 2 7/3 ( ) y x j = O 1 ( ) (0) 1 lim ( ) 1 lim (0) 1 1 n n f f n n f f n n - - = = = （10）已知 3 2 2 2 1 2 3 , , x x x x x y e xe y e xe y xe = - = - = - 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解y = _ 【答案】 3 2 1 2 ( ) x x x x y c e e c e xe = - + - 【解析】 3 1 2 2 3 , , x x x y y e e y y e - = - - = 对应齐次微分方程的通解 2 3 1 2 ( ) x x x y c e e c e = - + 非齐次微分方程的通解 3 2 1 2 ( ) x x x x y c e e c e xe = - + - (11) 设 sin sin cos x t y t t t = = + （t为常数） ，则 2 2 d y dx 4 t p = =_ 【答案】 2 【解析】 1 sin cos sin cos dy dy t t t t t dx dx dt t dt + - = = = ， 2 2 2 2 4 1 1 1 , 2 cos cos 4 t dy d d y dt d y dx dx dx dt dx t dx dt p p = = = = = = (12) 2 1 ln (1 ) x dx x + = + . 【答案】 ln 2 【解析】 1 1 2 1 1 ln ln ln ln 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x x dx x dx x x x x x + + + + = - + = = + + + + (13) 设 ( ) ij A a = 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， ij A 为 ij a 的代数余子式，若 0( , 1,2,3) ij ij a A i j + = = 则 A =_ 【答案】 1. - 【解析】方法一：取矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A = - ，满足题设条件， 1. A = - 方法二： * T A A = - ，则 * T A A = - ，整理得到 3 1 3 ( 1) A A - = - ，即 1 A = - 或者 0 A = . ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 i i i i i i i i i A a A a A a A a a a = + + = - + + 又因为A O ，所以至少有一个 0 ij a ，所以 ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 i i i i i i i i i A a A a A a A a a a = + + = - + + = _. 【答案】 1 1 e - 【解析】 0 ( ) 0 0 y e y f y y - = ， ， ， ， 1 ( 1) ( ) , 1 1 1 1 ( ) a a a a a a f y dy P Y a Y a e e P Y a Y a e e P Y a f y dy + - - + + - + - + = = = = - 三 三 三 三、 、 、 、解答题 解答题 解答题 解答题： ： ： ：15 15 15 15 23 23 23 23 小题 小题 小题 小题, , , ,共 共 共 共 94 94 94 94 分 分 分 分. . . .请将解答写在 请将解答写在 请将解答写在 请将解答写在答题纸 答题纸 答题纸 答题纸 指定位置上 指定位置上 指定位置上 指定位置上. . . .解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明、 、 、 、证 证 证 证 明过程或演算步骤 明过程或演算步骤 明过程或演算步骤 明过程或演算步骤. . . . (15)(本题满分10 分) 计算 1 0 ( ) f x dx x ，其中 1 ln( 1) ( ) x t f x dt t + = 【解析】 1 ln( 1) ( ) x t f x dt t + = ，则 ln( 1) ( ) x f x x + = , (1) 0 f = 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) f x dx f x d x f x x xf x dx x = = - 1 1 1 0 0 0 ln( 1) ln( 1) 2 (1) 2 2 4 ln( 1) x x f xdx dx x d x x x + + = - = - = - + 1 1 1 0 0 0 4 ln( 1) 4ln 2 4 1 1 x x x x dx dx x x = - + - = - + + + 其中 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 2 1 .2 2 2 2 1 1 1 1 = x t x t dx tdt x t t dx tdt dt dt dt x t t t = = = = = - + + + + 1 0 2 arctan 2(1 ) 4 t t p = - = - 所以原式 4ln 2 8(1 ) 4 p = - + - 8 2 4ln 2 = - p - (16)(本题满分10 分) 设数列 n a 满足条件： 0 1 2 3, 1, ( 1) 0( 2), n n a a a n n a n - = = - - = ( ) S x 是幂级数 0 n n n a x = 的和函数 (I)证明： ( ) ( ) 0 S x S x - = (II)求 ( ) S x 的表达式 【解析】 1 0 1 ( ) , ( ) , n n n n n n S x a x S x na x - = = = = 2 2 2 0 ( ) ( 1) ( 2)( 1) n n n n n n S x n n a x n n a x - + = = = - = + + 2 0 ( ) ( ) ( 2)( 1) n n n n S x S x n n a a x + = - = + + - 因为 2 ( 1) 0, 2 n n n n a a n - - - = ，所以 2 ( 2)( 1) 0( 0). n n n n a a n + + + - = 所以 0 1 ( ) ( ) 0, (0) 3, (0) 1. S x S x S a S a - = = = = = （II） 2 1 2 1 0, 1, 1 l l l - = = = - ，所以 1 2 ( )= x x S x Ce C e - + . 又 (0) 3, (0) 1 S S = = ，所以 1 2 1, 2 C C = = , ( )= 2 . x x S x e e - + (17)(本题满分 10分) 求函数 3 ( , ) ( ) 3 x y x f x y y e + = + 的极值 【解析】令 3 2 ( ) 0 3 x y x x f e x y + = + + = ， 3 (1 ) 0 3 x y y x f e y + = + + = 解得 1 4 3 x y = = - 或 1 2 3 x y = - = - 3 2 (2 2 ) 3 x y xx x f e x x y + = + + + 3 2 (1 ) 3 x y xy x f e x y + = + + + 3 (2 ) 3 x y yy x f e y + = + + 1 3 4 1, 3 3 xx A f e - - = = ， 1 3 4 1, 3 xy B f e - - = = ， 1 3 4 1, 3 yy C f e - - = = 2 2 2 2 3 3 3 3 2 0 AC B e e e - - - - = - = 又 0 A 所以 4 1, 3 - 为 ( , ) f x y 的极小值点，极小值为 1 3 4 1, 3 f e - - = - 5 3 2 1, 3 xx A f e - - = = - ， 5 3 2 1, 3 xy B f e - - = = ， 5 3 2 1, 3 yy C f e - - = = 因为 2 0 AC B - ，所以 2 ( 1, ) 3 - - 不是 ( , ) f x y 的极值点. (18)(本题满分 10分) 设奇函数 ( ) f x 在 1,1 - 上具有 2阶导数，且 (1) 1 f = . 证明： （I）存在 (0,1) x ，使得 ( ) 1 f x = . （II）存在 ( 1,1) h - ，使得 ( ) ( ) 1 f f h h + = . 【解析】 （I）由于 ( ) f x 在 1,1 - 上为奇函数，故 ( ) ( ) f x f x - = - ，则 (0) 0 f = 令 ( ) ( ) F x f x x = - ，则 ( ) F x 在0,1上连续，在 (0,1)内可导，且 (1) (1) 1 0 F f = - = (0) (0) 0 0 F f = - = ，由罗尔定理，存在 (0,1) x ，使得 ( ) 0, F x = 即 ( ) 1. f x = （II）由于 ( ) f x 在 1,1 - 上为奇函数，则 ( ) f x 在 1,1 - 上为偶函数，所以由（1） ( ) ( ) 1 f f x x - = = . 令 ( ) ( ) 1 x G x e f x = - ，则 ( ) G x 在 1,1 - 上连续，在 ( ) 1,1 - 内可导，且 ( ) ( ) 0 G G x x = - = ，由罗尔定理存在 ( , ) (0,1) h x x - ，使得 ( ) 0 G h = 即 ( ) ( ) 1 f f h h + = . (19)(本题满分 10分) 设直线L 过 (1,0,0) A ， (0,1,1) B 两点，将L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 S ， S 与平面0, 2 z z = = 所围成的立体为 W .(I)求曲面 S 的方程，(II)求 W 的形心坐标. 【解析】 (I) ( 1,1,1) = - AB ， 所以直线 L方程 1 1 1 1 - = = - x y z 设 S 上任一点y 由直线 L上的点 ( ) F y 绕z 轴旋转一周得到，则 2 2 2 2 0 0 0 + = + = x y x y z z 又 0 0 0 1 1 1 1 - = = - x y z ，所以 S 方程为 2 2 2 2 2 (1 ) 2 2 1 + = - + = - + x y z z z z (II) 2 2 2 1 1 2( ) 2 2 + - - = x y z 设形心坐标 ( , , ) x y z ，几何体关于 , xoz yoz 对称， 0 x y = = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2 2 0 0 2 2 1 (2 ) 7 . 5 (2 2 1) x y z z x y z z zdz dxdy zdv z z z dz z dv dz dxdy z z dz p p + - + W W + - + - + = = = = - + (20)(本题满分 11分) 设 1 1 0 a A = ,B = 0 1 1 b ，当a b ， 为何值时，存在矩阵C 使得 . AC CA B - = 并求所 有矩阵C . 【解析】设 1 2 3 4 x x C x x = ,由于AC CA B - = ,故 1 1 0 a 1 2 3 4 x x x x - 1 2 3 4 x x x x 1 1 0 a = 0 1 1 b , 即 1 2 1 1 3 2 4 3 4 3 1 2 x x ax x ax x ax x x ax x x + + + - = + 0 1 1 b . 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 0 1 1 x ax ax x ax x x x x ax b - + = - + + = - - = - = (I) 由于矩阵C存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换： 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a a a a b b - - - - - - - - + - 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a a b - - - + 方程组有解，故 1 0 a + = , 0 b = ，即 1, 0 a b = - = ，此时存在矩阵C使得 . AC CA B - = 当 1, 0 a b = - = 时，增广矩阵变为 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 3 4 , x x 为自由变量，令 3 4 1, 0 x x = = ，代为相应齐次方程组，得 2 1 1, 1 x x = - = . 令 3 4 0, 1 x x = = ，代为相应齐次方程组，得 2 1 0, 1 x x = = . 故 ( ) 1 1, 1,1,0 T x = - , ( ) 2 1,0,0,1 T x = ,令 3 4 0, 0 x x = = ，得特解 ( ) 1,0,0,0 T h = ，方程组的通解 为 1 1 2 2 1 2 1 1 2 + + =( + +1,- , , ) T x k k k k k k k x x h = ,所以 1 2 1 1 2 1 k k k C k k + + - = . (21)(本题满分11 分) 设二次型 2 2 1, 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( , ) ( ) ( ) f x x x a x a x a x bx b x b x = + + + + + ，记 1 2 3 a a a a = ， 1 2 3 b b b b = （I） 证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T aa bb + ； （II） 若 , a b 正交且为单位向量，证明 f 在正交交换下的标准形为 2 2 1 2 2y y + . 【解析】证明：(I) 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( , , ) 2( ) ( ) f x x x a x a x a x bx b x b x = + + + + + 1 1 2 3 2 3 2( , , ) a x x x a a = 1 1 2 3 2 3 ( , , ) x a a a x x + 1 1 2 3 2 3 ( , , ) b x x x b b 1 1 2 3 2 3 ( , , ) x b b b x x = ( ) 1 1 2 3 2 3 ( , , ) 2 T T x x x x x x aa bb + T x Ax = ，其中 2 T T A aa bb = + ，其中 1 2 3 ( , , ) T x x x x = . 所以二次型 f 对应的矩阵为 2 T T aa bb + . (II)由于 2 T T A aa bb = + ,a 与 b 正交,故 0 T a b = ， a , b 为单位向量,故 1 T a a a = = , 故 1 T a a = ,同样 1 T b b = . Aa = (2 ) T T aa bb a + = 2 2 T T aa a bb a a + = ,由于 0 a ,故A有特征值 1 2 l = . Ab = (2 ) T T aa bb b + b = ,由于 0 b ,故A有特征值 2 1 l = . ( ) r A = (2 ) T T r aa bb + (2 ) ( ) T T r r aa bb + = ( ) ( ) T T r r aa bb + =1 1 2 3 + = . 所以 0 A = ,故 3 0 l = . 因此, f 在正交变换下的标准形为 2 2 1 2 2y y + . (22)(本题满分 11 分) 设随机变量X 的概率密度为 2 1 , 0 3 ( ) 9 0, x x f x = 其他, ，令随机变量 2, 1 ,1 2 1, 2 X Y X X X = （I）求Y 的分布函数; （II）求概率 P X Y . 【解析】设y 的分布函数为 ( ) F y ，则 ( ) , 1 ,1 2 , 2 F y P Y y P Y y X P Y y X P Y y X = = + + 2 , 1 ,1 2 1 , 2 P y X P X y X P y X = + + 当 1 y 时， ( ) 0 F y = ， 当1 2 y 时， ( ) ,1 2 2 F y P X y X P X = + 1 2 P X y P X = = 时， 2 3 1 ( )= ( ) i n x i i L e x q q q - = 3 1 lnL( = 2ln ln n i i i x x q q q = - - ） 1 1 ln ( ) 2 1 2 1 ( ) 0 n n i i i i d L n d x x q q q q = = = - = - = 解得 1 2 1 n i i n x q = = 所以q 的最大似然估计量 1 2 1 n i i n X q = =