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线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 1.(1987 , )设 A 为 n 阶方阵 ,且 A 的行列式 0Aa ,而 *A 是 A 的伴随矩阵 ,则 *A 等于 （ C ） (A)a . (B)1 a . (C) 1na . (D) na . 【 考点 】伴随矩阵的性质 . 解 1* nAA . 2.(1987 , )假设 A 是 n 阶方阵 ,其秩 rn ,那么在 A 的 n 个行向量中（ ） (A) 必有 r 个行向量线性无关 . (B) 任意 r 个行向量线性无关 . (C) 任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组 . (D) 任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表出 . 【考点】 矩阵的秩 ,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组 . 解 ()R A r n A 的行秩 r n A 的行向量组的最大无关组含 r 个行向量 .选 (A). 3.(1988 , )n 维向量组 12, , , (3 )s sn 线性无关的充分必要条件是（ D ） (A)存在一组不全为零的数 12, , , sk k k ,使 1 1 2 2 0ssk k k . (B) 12, , , s 中任意两个向量都线性无关 . (C) 12, , , s 中存在一个向量 ,它不能用其余向量线性表出 . (D) 12, , , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 . 【 考点 】向量组线性相关的性质 . 解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示 ”的逆否命题是 (D). 对 (A):“存在 ”改为“任意”就正确 . 对 (B):如 1 2 31 0 1,0 1 1 中任意两个向量都线性无关 ,但 1 2 3, 线性相关 . 对 (C): 1 2 31 0 0,0 1 2 中 1 不能由 23,线性表示 ,但 1 2 3, 线性相关 . 4.(1989 , , , )设 A 是 n 阶方阵 ,且 A 的行列式 0A ,则 A 中（ ） (A)必有一列元素全为零 . (B)必有两列元素对应成比例 . (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 . (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 . 【 考点 】向量组线性相关的判别定理 . 解 0A ()R A n A 的列 (或行 )秩 nA的列 (或行 )向量组线性相关 .选 (C). 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 5.(1989 )设 A 和 B 均为 nn 矩阵 ,则必有（ ） (A) A B A B . (B) AB BA . (C) AB BA . (D) 1 1 1()A B A B . 【 考点 】矩阵的性质 . 解 AB A B BA.选 (C). 6.(1989 )设 n 元齐次线性方程组 0Ax 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则 0Ax 有非零解的充分必要条件 是（ ） (A)rn . (B)rn . (C)rn . (D)rn . 【 考点 】齐次线性方程组解的理论 . 解 齐次线性方程组 110m n n mAx 有非零解的充分必要条件是 ()RA n .选 (B). 7.(1990 , )已知 12,是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同的解 , 12,是对应齐次线性方程组 0Ax 的基础解系 , 12,kk为任意常数 ,则方程组 Ax b 的通解（一般解）必是（ ） (A) 12 1 1 2 1 2() 2kk . (B) 12 1 1 2 1 2() 2kk . (C) 12 1 1 2 1 2() 2kk . (D) 12 1 1 2 1 2() 2kk . 【 考点 】非齐次线性方程组解的结构 . 解 1 1 2, 线性无关且为对应齐次线性方程组的解 ,故 1 1 2, 是对应齐次线性方程组 0Ax 的基础解系 ;又 1 2 1 2 22AAAb ,故 12 2 为 Ax b 的一个特解 ;由非齐次线性方程组 解的结构 ,知选 (B). 对 (A): 12 2 为 0Ax 的解 . 对 (C): 12 为 2Ax b 的解 ,且 12 2 为 0Ax 的解 . 对 (D): 1 1 2, 不一定线性无关 . 8.(1990 , )向量组 12, , , s 线性无关的充分条件是（ ） (A) 12, , , s 均不为零向量 . (B) 12, , , s 任意两个向量的分量不成比例 . (C) 12, , , s 中任意一个向量均不能由其余 1s 个向量线性表示 . (D) 12, , , s 中有一部分向量线性无关 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 【 考点 】向量组线性无关的性质 . 解 向量组 12, , , s 线性无关的充分必要条件是 12, , , s 中任意一个向量均不能由其余 1s 个向量线性表示 .选 (C). 对 (A):如 1 2 31 0 1,0 1 1 均不为零向量 ,但 1 2 3, 线性相关 . 对 (B):如 1 2 31 0 1,0 1 1 中任意两个向量的分量不成比例 ,但 1 2 3, 线性相关 . 对 (D):如 1 2 31 0 1,0 1 1 中 1 线性无关 . 9.(1990 )设 A 是 n 阶可逆矩阵 , *A 是 A 的伴随矩阵 ,则（ ） (A) 1* nAA . (B) *AA . (C) * nAA . (D) *1AA . 参考 1.(1987 , ). 选 (A). 10.(1991 , )设 n 阶方阵 ,ABC 满足关系式 ABC E ,其中 E 是 n 阶单位阵 ,则必有（ ） (A) ACB E . (B)CBA E . (C)BAC E . (D) BCAE . 【 考点 】可逆矩阵的判别定理之推论 . 解 由 ()E ABC A BC 知 BC 是 A 的逆矩阵 .选 (D). 11.(1991 )设 A 为 n 阶可逆矩阵 , 是 A 的一个特征值 ,则 A 的伴随矩阵 *A 的特征值之一是（ ） (A) 1 nA . (B) 1A . (C) A . (D) nA . 【 考点 】特征值的性质 . 解 选 (B). * * * *( ) ( ) ( ) AAx x A Ax A x A x A x A x x . 12.(1991 )设 ,AB为 n 阶方阵 ,满足等式 AB O ,则必有（ ） (A) AO 或 BO . (B) A B O . (C) AO 或 BO . (D) A B O. 【 考点 】矩阵的性质 . 解 选 (C). 00A B O A B A B . 13.(1991 )设 A 是 mn 矩阵 , 0Ax 是非齐次线性方程组 Ax b 所对应的齐次线性方程组 ,则下列 结论正确的是（ ） (A)若 0Ax 仅有零解 ,则 Ax b 有唯一解 . (B)若 0Ax 有非零解 ,则 Ax b 有无穷多个解 . (C)若 Ax b 有无穷多个解 ,则 0Ax 仅有零解 . (D)若 Ax b 有无穷多个解 ,则 0Ax 有非零解 . 【 考点 】非齐次线性方程组解的理论 . 解 选 (D). Ax b 有无穷多个解 ( ) ( ) ( )R A R B n R A n 0Ax 有非零解 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 对 (A):如 12 12 12 0 20 0 xx xx xx 仅有零解 ,但 12 12 12 0 20 1 xx xx xx 无解 . 对 (B):如 12 12 02 2 0 xxxx 有非零解 ,但 12 12 02 2 2xxxx 无解 . 对 (C): Ax b 有无穷多个解 ,则 0Ax 有非零解 . 14.(1992 , )要使 12 10 0 , 1 21 都是线性方程组 0Ax 的解 ,只要系数矩阵 A 为（ ） (A) 2 1 1 . (B) 2 0 1 0 1 1 . (C) 1 0 2 0 1 1 . (D) 0 1 1 422 0 1 1 . 【 考点 】齐次线性方程组解向量的定义 . 解 选 (A). 【 注意 】只需验证 12,AO . 15.(1992 )设 A 为 mn 矩阵 ,齐次线性方程组 0Ax 仅有零解的充分条件是（ ） (A)A 的列向量线性无关 . (B)A 的列向量线性相关 . (C)A 的行向量线性无关 . (D)A 的行向量线性相关 . 【 考点 】齐次线性方程组解的理论 ,矩阵的秩及向量组的 线性相关性 . 解 0Ax 仅有零解 ()R A nA 的列秩 nA的 列向量线性无关 .选 (A). 16.(1992 )设 11, , ,A B A B A B均为 n 阶可逆矩阵 ,则 1 1 1()AB 等于（ ） (A) 11AB . (B) AB . (C) 1()A A B B . (D) 1()AB . 【 考点 】逆矩阵的性质 . 解 选 (C). 1 1 1 1 1 1 1 1( ( ) ) ( ) ( )A A B B B A B A A B E A A B . 或 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A A B B E B A A B B B A B A B B E . 17.(1992 )设 12, , , m 均为 n 维向量 ,那么 ,下列结论正确的是（ ） (A)若 1 1 2 2 0mmk k k ，则 12, , , m 线性相关 . (B) 若 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 12, , , mk k k , 都有 1 1 2 2 0mmk k k , 则 12, , , m 线性无关 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 (C)若 12, , , m 线性相关 ,则对任意一组不全为零的数 12, , , mk k k ,都有 1 1 2 2 0mmk k k . (D)若 120 0 0 0m ,则 12, , , m 线性无关 . 【 考点 】向量组 线性相 (无 )关的定义 . 解 选 (B).由线性相关定义的逆否命题可得 . 18.(1993 , )已知 1 2 3 2 4 , 3 6 9 Q t P 为 3 阶非零矩阵 ,且满足 PQO ,则（ ） (A) 6t 时 P 的秩必为 1. (B) 6t 时 P 的秩必为 2. (C) 6t 时 P 的秩必为 1. (D) 6t 时 P 的秩必为 2. 【 考点 】矩阵的秩及其性质 . 解 ( ) ( ) 3 1 ( ) 3 ( )P Q O R P R Q R P R Q . 当 6t 时 , ( ) 1 1 ( ) 2 ( )R Q R P R P 1 或 2,则 (A)和 (B)都错 ; 当 6t 时 , ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1R Q R P R P .选 (C). 【 注 】 (1) ( ) ( )m s s nA B O R A R B s . (2) m s s nA B O ,则 B 的列向量组为 m s s nA x O 的解向量 . 19.(1993 )n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的（ ） (A)充分必要条件 . (B)充分而非必要条件 . (C)必要而非充分条件 . (D)既非充分也非必要条件 . 【 考点 】矩阵能对角化的判别定理 (充分条件 ). 解 选 (B). 20.(1993 )若 1 2 3 1 2, , , , 都是四维列向量 ,且 4 阶行列式 1 2 3 1, , , m , 1 2 2 3, , , n ,则 4 阶行列式 3 2 1 1 2, , , ( ) 等于（ ） (A)mn . (B) ()mn. (C)nm . (D)mn . 【 考点 】矩阵的运算及行列式的性质 . 解 选 (C). 3 2 1 1 2 3 2 1 1 3 2 1 2, , , ( ) , , , , , , 1 2 3 1 1 2 2 3, , , , , , nm . 21.(1993 )设 2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值 ,则矩阵 211() 3A 有一特征值等于（ ） (A)4 3 . (B)3 4 . (C)1 2 . (D)1 4 . 【 考点 】特征值的性质 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 解 21 3A 有一特征值 214 33 ,则 211() 3A 有一特征值 3 4 .选 (B). 22.(1994 , )已知向量组 1 2 3 4, , , 线性无关 ,则向量组（ ） (A) 1 2 2 3 3 4 4 1, 线性无关 . (B) 1 2 2 3 3 4 4 1, 线性无关 . (C) 1 2 2 3 3 4 4 1, 线性无关 . (D) 1 2 2 3 3 4 4 1, , , 线性无关 . 【 考点 】判别向量组 线性相 (无 )关的方法 . 解 对 (A): 1 2 3 4 2 3 4 1( ) ( ) ( ) ( ) , 则 1 2 2 3 3 4 4 1, 线性相关 . 对 (B): 1 2 2 3 3 4 4 1( ) ( ) ( ) ( ) , 则 1 2 2 3 3 4 4 1, 线性相关 . 对 (D): 1 2 2 3 3 4 4 1( ) ( ) ( ) ( ) , 则 1 2 2 3 3 4 4 1, , , 线性相关 . 故选 (C). 或 对 (A): 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 1 0 0 , , , , , , 0 1 1 0 0 0 1 1 , 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 , 所以 1 2 2 3 3 4 4 1( , , , ) 3 4R ,则 1 2 2 3 3 4 4 1, 线性相关 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 同理可讨论 (B),(C),(D). 【 注意 】判别向量组 线性相 (无 )关的常见方法如下 . (1)用定义 :一般对抽象的向量组 .理论根据 : n 维 向量组 12, , , m 线性相 (无 )关 齐次线性方程组 1 1 2 2 0mmx x x 有非 零解 (只有零解 ). (2)用向量组的秩 :对具体的向量组直接求秩 ;对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来 .理论根据 : 向量组 12, , , m 线性相 (无 )关 ( ) ( ( ) )R A m R A m. (3)用相关理论推导 . (4)特殊情形 : 若向量组 12, , , m 可由 12, , , m 线性表示 ,且 12, , , m 线性无关时 ,设 1 2 1 2, , , , , ,mm K , 则向量组 12, , , m 线性相 (无 )关 ( ) ( ( ) )R K m R K m. 23.(1994 )设 A 是 mn 矩阵 ,C 是 n 阶可逆矩阵 ,矩阵 A 的秩为 r ,矩阵 B AC 的秩为 1r ,则 ( ) (A) 1rr . (B) 1rr . (C) 1rr . (D)r 与 1r 的关系依 C 而定 . 【 考点 】矩阵秩的性质 . 解 1 ( ) ( ) ( )r R B R A C R A r .选 (C). 【 注 】设 ,PQ为可逆矩阵 ,则 ( ) ( ) ( ) ( )R A R P A R A Q R P A Q . 24.(1994 )设 ,AB都是 n 阶非零矩阵 ,且 AB O ,则 A 和 B 的秩 ( ) (A)必有一个等于零 . (B)都小于 n . (C)一个小于 n ,一个等于 n . (D)都等于 n . 【 考点 】矩阵秩的性质 . 解 ( ) ( )A B O R A R B n ;又 ( ) 1 , ( ) 1 ( , )R A R B A O B O ,则 ( ) , ( )R A n R B n. 选 (B). 25.(1994 )设有向量组 1 2 3( 1 , 1 , 2 , 4 ) , ( 0 , 3 ,1 , 2 ) , ( 3 , 0 , 7 ,1 4 ) , 45(1 , 2 , 2 , 0 ) , ( 2 ,1 , 5 ,1 0 ) ,则该向量组的最大线性无关组是 ( ) (A) 1 2 3, . (B) 1 2 4, . (C) 1 2 5, . (D) 1 2 4 5, . 【 考点 】具体 向量组的最大线性无关组的求法 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 解 1 2 3 4 5 1 0 3 1 2 1 0 3 1 2 1 3 0 2 1 0 1 1 0 1 , , , , 2 1 7 2 5 0 0 0 1 0 4 2 14 0 10 0 0 0 0 0 TTTTTA , 则 向量组的最大线性无关组是 1 2 4, .选 (B). 【 注意 】 (1)初等 行 变换保持矩阵的 行 向量组等价 ,保持矩阵的 列 向量组的线性相关性不变 ; (2)初等 列 变换保持矩阵的 列 向量组等价 ,保持矩阵的 行 向量组的线性相关性不变 . 26.(1995 , )设 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3 0 1 0 , , 1 0 0 , 0 0 1 a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 P ,则必有（ ） (A) 12APP B . (B) 21APP B . (C) 12PPA B . (D) 21PPA B . 【 考点 】初等变换与初等矩阵的关系 . 解 B 可将 A 的第一行加到第三行 ,再将 A 的第一行与第二行交换得到 .故选 (C). 【 注 】在矩阵的左 (右 )边乘以一个初等矩阵 ,相当于对矩阵作相应的初等行 (列 )变换 . 27.(1995 , )设矩阵 mnA 的秩为 ( ) , mR A m n I 为 m 阶单位矩阵 ,下述结论中正确的是 ( ) (A)A 的任意 m 个列向量必线性无关 . (B)A 的任意一个 m 阶子式不等于零 . (C)若矩阵 B 满足 0BA ,则 0B . (D)A 通过初等行变换 ,必可以化为 mIO的形式 . 【 考点 】向量组 线性无关的判别 ,矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形 . 解 选 (C). 0 TTBA A B O .由 ()TR A m ,则齐次线性方程组 TAx O 只有零解 ,即 TB 的列 向量全为零 ,故 TB O B O . 28.(1995 )设 n 维行向量 11( , 0, , 0, ) 22 ,矩阵 ,2TTA I B I ,其中 I 为 n 阶 单位矩阵 ,则 AB 等于 ( ) (A)0. (B) I . (C)I . (D) TI . 【 考点 】矩阵的运算 . 解 选 (C). 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 29.(1996 , )四阶行列式 11 22 33 44 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于（ ） (A) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b . (B) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b . (C) 1 2 1 2 3 4 3 4( )( )a a b b a a b b. (D) 2 3 2 3 1 4 1 4( )( )a a b b a a b b. 【 考点 】行列式的计算 . 解 选 (D).将行列式按第一行展开 . 30.(1996 , )设 n 阶矩阵 A 非奇异 , *A 是 A 的伴随矩阵 ,则 ( ) (A) 1*() nA A A . (B) 1*() nA A A . (C) 2*() nA A A . (D) 2*() nA A A . 【 考点 】矩阵运算的性质 . 解 选 (C). * 1 * * * * 1 1 1 1( ) ( ) ( )A A A A A A A A A A 211nnA A A A AA . 31.(1996 , )设有任意两个 n 维向量组 1,m和 1,m,若存在两组不全为的数 1,m 和 1,mkk,使 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0m m m m m mk k k k ,则 ( ) (A) 1,m和 1,m都线性相关 . (B) 1,m和 1,m都线性无关 . (C) 1 1 1 1, , , , ,m m m m 线性无关 . (D) 1 1 1 1, , , , ,m m m m 线性相关 . 【 考点 】向量组线性相 (无 )关的定义 . 解 由 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0m m m m m mk k k k ,得 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )m m m m m mk k O , 所以 1 1 1 1, , , , ,m m m m 线性相关 .选 (D). 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 32.(1997 )设 1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 3 3 , a b c a b c a b c ,则三条直线 0 ( 1, 2 , 3 )i i ia x b y c i （其中 22 0, 1, 2, 3iia b i ） 交于一点的充分必要条件（ ） (A) 1 2 3, 线性相关 . (B) 1 2 3, 线性无关 . (C)秩 1 2 3( , , )R 秩 12( , )R . (D) 1 2 3, 线性相关， 12,线性无关 . 【 考点 】齐次线性方程组解的理论 . 解 三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 0 a x b y c a x b y c a x b y c 有惟一解 1 2 1 2 3( , ) ( , , ) 2RR 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , ) 2 ,( , , ) 2 ( , , ) 2 , ,RRR 线 性 无 关 ； 线 性 相 关 . 33.(1997 , )设向量组 1 2 3, 线性无关 ,则下列向量组中 ,线性无关的是 ( ) (A) 1 2 2 3 3 1, (B) 1 2 2 3 1 2 3, , 2 (C) 1 2 2 3 3 12 , 2 3 , 3 (D) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, 2 3 2 2 , 3 5 5 解 参考 22.(1994 , ).选 (C). 34.(1997 )设 ,AB为同阶可逆矩阵 ,则 ( ) (A) AB BA (B)存在可逆阵 P ,使 1P AP B (C)存在可逆阵 C ,使 TC AC B (D)存在可逆阵 P 和 Q ,使 PAQ B 【 考点 】矩阵等价 ,合同 ,相似的判别 . 解 ,AB为同阶可逆矩阵 ,则 ,AB都与同阶的单位矩阵等价 ,从而 ,AB等价 .故选 (D). 【 注意 】两个 同型 矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等 .如果不是同型矩阵 ,则必要性不成立 . 35.(1997 )非齐次线性方程组 Ax b 中未知量个数为 n ,方程个数为 m ,系数矩阵 A 的秩为 r ,则 ( ) (A)rm 时 ,方程组 Ax b 有解 . (B)rn 时 ,方程组 Ax b 有惟一解 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 (C)mn 时 ,方程组 Ax b 有惟一解 . (D)rn 时 ,方程组 Ax b 有无穷多解 . 【 考点 】线性方程组解的理论 . 解 选 (A). ( ) ( ) ( ) ( )m R A R B m R A R B m . 36.(1998 )设矩阵 111 222 333 a b c a b c a b c 是满秩的，则直线 3 3 3 1 2 1 2 1 2 x a y b z ca a b b c c 与直线 1 1 1 2 3 2 3 2 3 x a y b z ca a b b c c （ ） (A)相交于一点 . (B)重合 . (C)平行但不重合 . (D)异面 . 【 考点 】空间两条直线位置的判别 . 解 设 1 1 1 3 3 3( , , ) , ( , , ) ,P a b c Q a b c 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3( , , ) , ( , , )s a a b b c c s a a b b c c . 由 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 , , 0 , , a a b b c c s s Q P a a b b c c s s Q P a a b b c c 共面 ,则两直线共面 .又 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c , 则 12,ss不平行 ,即两直线不平行 .选 (A). 37.(1998 )设 A 是任一 ( 3)nn 阶方阵 , *A 是其伴随矩阵 ,又 k 为常数 ,且 0, 1k,则必有 *()kA （ ） (A) *kA . (B) 1*nkA . (C) *nkA. (D) 1*kA . 【 考点 】伴随矩阵的定义 . 解 * 1 *() nkA k A (由伴随矩阵的定义得到 ).选 (B).或由 * * 1 *( ) ( ) ( ) ( )n n nk A k A k A E k A E k A A k A k A 看出 . 38.(1998 )齐次线性方程组 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 x x x x x x x x x 的系数矩阵记为 A .若存在三阶矩阵 0B 使得 0AB ,则 ( ) (A) 2 且 0B . (B) 2 且 0B . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 (C) 1 且 0B . (D) 1 且 0B . 【 考点 】矩阵的性质 ,齐次线性方程组解的理论 . 解 0 , 0 0A B B A x 有非零解 01A .若 0B ,由 0AB 得 0A ,矛盾 . 故选 (C). 39.(1998 )设 ( 3)nn 阶矩阵 1 1 1 1 a a a a a a A a a a aaa ,如果矩阵 A 的秩为 1n ,则 a 必为 ( ) (A)1. (B) 1 1n . (C) 1 . (D) 1 1n . 【 考点 】含参数的矩阵的秩的讨论 . 解 ( ) 0 1R A n A a 或 1 1n .当 1a 时 ,显然 ( ) 1RA .故选 (B). 40.(1998 )若向量组 , 线性无关 ; , 线性相关 ,则 ( ) (A) 必可由 , 线性表示 . (B) 必不可由 , 线性表示 (C) 必可由 , 线性表示 . (D) 必不可由 , 线性表示 . 【 考点 】向量组线性相 (无 )关的性质 . 解 , 线性无关 ,有 ,线性无关 ;又 , 线性相关 ,得 必可由 ,线性表示 ,也必可由 , 线性表示 .选 (C). 41.(1999 )设 A 是 mn 矩阵 ,B 是 nm 矩阵 ,则（ ） (A)当 mn 时 ,必有行列式 0AB . (B)当 mn 时 ,必有行列式 0AB . (C)当 nm 时 ,必有行列式 0AB . (D)当 nm 时 ,必有行列式 0AB . 【 考点 】矩阵秩的性质 . 解 ( ) m in ( ) , ( ) m in , R AB R A R B m n.选 (B). 42.(1999 )记行列式 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 2 4 5 3 5 4 4 3 5 7 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x 为 ()fx,则方程 ( ) 0fx 的根的个数为（ ） (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 【 考点 】行列式的计算 . 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 解 12 1 () 1111 2 2 2 1 2 2 2 3( ) 5 ( 1 ) 3 3 3 2 4 5 3 5 4 4 3 5 7 4 3 rr rx x x x x f x x x xx x x x x x x x .选 (B). 43.(1999 , )设向量 可由向量组 12, , , m 线性表示 ,但不能由向量组 ( ): 1 2 1, , , m 线 性表示 ,记向量组 ( ): 1 2 1, , , ,m ,则 ( ) (A) m 不能由 ( )线性表示 ,也不能由 ( )线性表示 . (B) m 不能由 ( )线性表示 ,但可由 ( )线性表示 . (C) m 可由 ( )线性表示 ,也可由 ( )线性表示 . (D) m 可由 ( )线性表示 ,但不可由 ( )线性表示 . 【 考点 】向量组的线性表示的定义及其判别 . 解 方法一 : 若 m 可由 ( )线性表示 ,则 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( , , , ) ( , , , , )( , , , , , ) ( , , , , )m m m m m m RR 与 不能由 1 2 1, , , m 线性表示 ,矛盾 ,则 m 不能由 ( )线性表示 .故 (C),(D)错 .且 1 2 1 1 2 1( , , , , ) ( , , , ) 1m m mRR , 由 不能由 1 2 1, , , m 线性表示 ,则 1 2 1 1 2 1( , , , , ) ( , , , ) 1mmRR . 所以 1 2 1 1 2 1( , , , , ) ( , , , , )m m mRR 1 2 1 1 2 1( , , , , , ) ( , , , , , )m m m m , 则 m 可由 1 2 1, , , ,m 线性表示 .故选 (B). 方法二 : 可由向量组 12, , , m 线性表示 .若 m 可由 1 2 1, , , m 线性表示 ,则 可由向量组 1 2 1, , , m 线性表示 ,矛盾 .故 (C),(D)错 . 可由向量组 12, , , m 线性表示 ,则存在一组数 11, , ,mmk k k ,使得 线性代数历年考研试题之选择题解析（ 1987-1999 年） 武汉理工大学线性代数 MOOC 教学团队 1 1 1 1m m m mk k k , 其中 0mk .若 0mk ,则 可由向量组 1 2 1, , , m 线性表示 ,矛盾 . m 可由 1 2 1, , , ,m 线性表示 .故 (A)错 .选 (B). 44.(1999 )设 ,AB为 n 阶矩阵 ,且 A 与 B 相似 ,E 为 n 阶单位矩阵 ,则 ( ) (A) E A E B . (B)A 与 B 有相同的特征值和特征向量 . (C)A 与 B 都相似于一个对角矩阵 . (D)对任意常数 t ,tEA 与 tEB 相似 . 【 考点 】矩阵相似的性质 . 解 选 (D).A 与 B 相似 ,存在可逆矩阵 P ,使得 1P AP B ,则 1 1 1 1( ) ( )tE B tE P A P P tE P P A P P tE A P , 即 tEA 与 tEB 相似 . 对 (A): E A E B A B . 对 (B):A 与 B 相似 ,则 A 与 B 有相同的特征值 ,但特征向量不一定相同 . 对 (C):A 与 B 不一定能对角化 .